f(x) funksiyası [a; b] parçasında kəsilməzdir və bu parçada f(x) ≥ 0. y = f(x), y = 0, x = a və x = b xətləri ilə hüdudlanmış fiqur absis (Ox) oxu ətrafında fırlanır. Alınan cismin həcmi hansı düsturla hesablanır?
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Həcm dilimlərin cəmidir
Fırlanma cisminin həcmi
[a; b] parçasında kəsilməz və mənfi olmayan f(x) funksiyasının qrafiki, absis oxu və x = a, x = b düz xətləri ilə hüdudlanmış fiqur Ox oxu ətrafında fırlandıqda fırlanma cismi alınır. Cismi Ox oxuna perpendikulyar müstəvilərlə nazik dilimlərə bölək: x nöqtəsindəki dilim radiusu f(x), qalınlığı Δx olan kiçik silindrdir, həcmi π(f(x))²Δx-dir. Dilimlərin həcmlərini toplayıb Δx → 0 etdikdə müəyyən inteqral alınır:
V = π∫ba(f(x))² dx
2 · Addım-addım həll
Həll yolu
TapşırıqFırlanma cisminin həcm düsturu
f(x) funksiyası [a; b] parçasında kəsilməzdir və bu parçada f(x) ≥ 0. y = f(x), y = 0, x = a və x = b xətləri ilə hüdudlanmış fiqur absis (Ox) oxu ətrafında fırlanır. Alınan cismin həcmi hansı düsturla hesablanır?
- Fırlanan fiqurun hər nöqtəsi Ox oxu ətrafında çevrə cızır. Ona görə cismin Ox oxuna perpendikulyar hər kəsiyi dairədir.
- x nöqtəsindəki kəsiyin mərkəzi Ox oxu üzərindədir, radiusu isə qrafikin həmin nöqtədəki hündürlüyü, yəni f(x)-dir. Kəsiyin sahəsi: S(x) = π(f(x))².
- Qalınlığı Δx olan nazik dilim təqribən silindrdir: həcmi S(x)·Δx = π(f(x))²Δx.
- Dilimlərin həcmlərini toplayıb Δx → 0 etdikdə cəm müəyyən inteqrala çevrilir: V = ∫baS(x) dx = π∫ba(f(x))² dx
- Cavab: V = π∫ba(f(x))² dx
Fırlanma cisminin həcm düsturu
Fiqur (narıncı) Ox oxu ətrafında fırlanır və cisim alınır; x nöqtəsindəki dilim radiusu f(x) olan nazik silindrdir.
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
Düsturu tanış cisimdə yoxlayaq. f(x) = rh / x, [0; h] üçün fiqur düzbucaqlı üçbucaqdır və fırlananda konus alınır: V = π∫h0r²x²h² / dx = πr²h² / ·h³3 / = πr²h3 / — bu, konusun məlum həcm düsturudur (dərslik, s. 258, Nümunə 3).
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- V = ∫ₐᵇ f(x) dxBu inteqral fiqurun sahəsidir, cismin həcmi deyil: dilimlərin dairə olması nəzərə alınmayıb.
- V = π∫ₐᵇ f(x) dxDilimin sahəsi πr² = π(f(x))²-dir; radius kvadrata yüksəldilməyib.
- V = ∫ₐᵇ (f(x))² dxπ itib: radiusu f(x) olan dairənin sahəsi (f(x))² yox, π(f(x))²-dir.
- V = π(∫ₐᵇ f(x) dx)²Əvvəl sahəni tapıb sonra kvadrata yüksəltmək dilimlərin həcmlərini toplamaq deyil; ümumiyyətlə (∫f dx)² ≠ ∫f² dx.