İki əyri arasındakı fiqurun fırlanması

1 · Əsas fikir

Həcm dilimlərin cəmidir

Fırlanma cisminin həcmi

[a; b] parçasında kəsilməz və mənfi olmayan f(x) funksiyasının qrafiki, absis oxu və x = a, x = b düz xətləri ilə hüdudlanmış fiqur Ox oxu ətrafında fırlandıqda fırlanma cismi alınır. Cismi Ox oxuna perpendikulyar müstəvilərlə nazik dilimlərə bölək: x nöqtəsindəki dilim radiusu f(x), qalınlığı Δx olan kiçik silindrdir, həcmi π(f(x))²Δx-dir. Dilimlərin həcmlərini toplayıb Δx → 0 etdikdə müəyyən inteqral alınır:

V = π∫ba(f(x))² dx

Fiqur iki əyri arasındadırsa (a ≤ x ≤ b, f(x) ≥ g(x) ≥ 0), hər kəsik həlqədir: xarici radius f(x), daxili radius g(x). Onda

V = π∫ba((f(x))² − (g(x))²) dx

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

Tapşırıqİki əyri arasındakı fiqurun fırlanması

y = 2x və y = x² xətləri ilə hüdudlanmış fiqurun absis oxu ətrafında fırlanmasından alınan cismin həcmini tapın.

1. Kəsişmə nöqtələri: 2x = x² ⇒ x(x − 2) = 0 ⇒ x = 0 və x = 2. Fiqur [0; 2] parçasındadır və burada 2x ≥ x² ≥ 0.
2. Fiqur Ox oxuna toxunmur, ona görə x nöqtəsindəki kəsik həlqədir: xarici radius R = 2x, daxili radius r = x². Sahəsi π(R² − r²) = π(4x² − x⁴).
3. Həcm: V = π∫20(4x² − x⁴) dx
4. V = π(4x³3 / − x⁵5 / )|20 = π(323 / − 325 / ) = 64π15 /
5. Cavab: V = 64π/15 kub vahid

İki əyri arasındakı fiqurun fırlanması

İki əyri arasındakı fiqur fırlanır; hər kəsik həlqədir: xarici radius 2x, daxili radius x².

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Bu həcm iki cismin fərqidir: y = 2x-in fırlanmasından konus (r = 4, h = 2): π·16·2/3 = 32π/3; y = x²-in fırlanmasından π∫x⁴dx = 32π/5. Fərq: 32π/3 − 32π/5 = (160π − 96π)/15 = 64π/15.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 16π/15Radiusların fərqi kvadrata yüksəldilib: π∫20(2x − x²)²dx = 16π/15. Kəsik həlqədir; sahəsi π(R² − r²)-dır, π(R − r)² deyil.
• 4π/3Fiqurun sahəsi (4/3) π-yə vurulub; sahə həcm deyil.
• 32π/3Yalnız xarici cisim (y = 2x-in fırlanmasından alınan konus) hesablanıb, içindəki boşluq çıxılmayıb.
• 32π/5Yalnız daxili cisim (y = x²-in fırlanması) hesablanıb.