Audio dərs · Müddət
9:22
Mətn (transkript)
Təsəvvür edin ki, axşamdır və bir şəhərin küçələrindəsiniz. İnsanlar kinoya gedir, teatrın qarşısında bilet növbəsi var. Dərsliyimizdəki bir tapşırıq bu şəhərin iki hekayəsini iki çoxhədli ilə danışır. Birinci hekayə pul haqqındadır. İki mininci ildən iki min yeddinci ilə qədər şəhər əhalisinin kino və teatra xərclədiyi ümumi məbləğ kub çoxhədli ilə modelləşdirilir. İki mininci ildə bu məbləğ dörd milyon səkkiz yüz min manat idi. İkinci hekayə insanlar haqqındadır. Şəhərin əhalisi qırx min nəfərdən başlayır və model üzrə hər il iki yüz nəfər artır. Bu, birinci dərəcəli çoxhədlidir. Tapşırıq soruşur: bir nəfər ildə kino və teatra orta hesabla nə qədər xərcləyir? Bunun üçün birinci çoxhədlini ikinciyə bölmək lazımdır. Və burada maraqlı bir sual yaranır. Bölmə tam alınacaq, yoxsa qalıq qalacaq? Qalıq qalsa, orta xərc səliqəli bir çoxhədli olmayacaq, yanında artıq bir kəsr görünəcək. Bəs uzun bölməni aparmadan bunu əvvəlcədən bilmək mümkündürmü? Bəli, mümkündür. Bu suala cavab verən fikrin adı belədir: qalıq haqqında teorem. Əvvəlcə adi ədədlərə qayıdaq. On yeddini beşə bölsək, qismət üç, qalıq isə iki olur. Yəni on yeddi, beş ilə üçün hasilinə ikini əlavə etməyə bərabərdir. Qalıq həmişə böləndən kiçik olur, çünki böyük olsaydı, bölməyə davam edərdik. Çoxhədlilərdə də eyni quruluş var. Bölünən çoxhədli bölən ilə qismətin hasilinə, üstəgəl qalığa bərabərdir. Burada “kiçik” sözü dərəcə deməkdir: qalığın dərəcəsi bölənin dərəcəsindən kiçik olur. Bölən iks minus em kimi birinci dərəcəli ikihədlidirsə, qalıqda artıq heç bir iks qalmır. Qalıq sadəcə bir ədəddir. Əvvəlki dərsdə belə bölməni iki yolla aparırdıq: budaqlı bölmə ilə və sintetik qayda ilə, yəni Hörner sxemi ilə. Sxemdə yalnız əmsallar yazılır. Hər addımda alınan ədəd em-ə vurulur və növbəti əmsala əlavə olunur. Sətrin sonuncu ədədi isə qalıqdır. Bu, sürətli yoldur, amma qalığa çatmaq üçün yenə də bütün sətri hesablamaq lazımdır. İndi isə əsas fikrə keçək. Qalıq haqqında teorem deyir: çoxhədlini iks minus em ikihədlisinə böldükdə alınan qalıq, bu çoxhədlinin iks em-ə bərabər olduqda aldığı qiymətə bərabərdir. Dərsliyimiz bu teoremi Bezu teoremi adı ilə də təqdim edir. Qısaca desək, qalıq çoxhədlinin em nöqtəsindəki qiymətidir. Bəs niyə belədir? Bölmə bərabərliyini yada salaq: çoxhədli, iks minus em ilə qismətin hasilinə, üstəgəl qalığa bərabərdir. İndi bu bərabərlikdə iks yerinə em yazaq. Onda iks minus em sıfıra çevrilir. Sıfırı hansı ədədə vursanız, nəticə sıfırdır. Ona görə qismət nə qədər mürəkkəb olsa da, bütün hasil yox olur. Bərabərliyin sağ tərəfində təkcə qalıq qalır. Sol tərəfdə isə çoxhədlinin em nöqtəsindəki qiyməti dayanır. Deməli, bu ikisi bərabərdir. Bunu səsi söndürən bir düymə kimi təsəvvür edin. İks em-ə bərabər olan anda bölən ilə qismətin hasili susur və yalnız qalığın səsi eşidilir. Amma bu müqayisənin də həddi var. Teorem bizə yalnız qalığı verir. Qismətin özünü tapmaq üçün yenə bölmə lazımdır, məsələn, Hörner sxemi. İndi bir tələyə diqqət edək. Bölən həmişə iks minus em şəklində gəlmir. Məsələn, iks üstəgəl dörd. Burada em dörd deyil. İks üstəgəl dördü, iks minus mənfi dörd kimi yazırıq. Deməli, em mənfi dördə bərabərdir. Qısa qayda belədir: böləni sıfıra çevirən ədədi tapın. İks üstəgəl dörd ifadəsi iks mənfi dörd olanda sıfır olur. Çoxhədliyə məhz bu ədədi yazırıq. Dərsliyimizdəki nümunəyə baxaq. İks kub minus on bir iks üstəgəl doqquz çoxhədlisini iks üstəgəl dördə bölürük. Teoremə görə, iks yerinə mənfi dörd yazıb hesablayırıq və çoxhədlinin qiyməti mənfi on bir alınır. Deməli, qalıq da mənfi on birdir. Dərslik bu cavabı Hörner sxemi ilə də yoxlayır və sxemin son ədədi yenə mənfi on bir çıxır. İki müxtəlif yol, eyni cavab. Teoremin ən faydalı nəticəsi qalığın sıfır olduğu haldır. Əgər çoxhədlinin em nöqtəsindəki qiyməti sıfıra bərabərdirsə, onda qalıq da sıfırdır və çoxhədli iks minus em ikihədlisinə qalıqsız bölünür. Məsələn, iks kvadrat minus doqquzu iks minus üçə bölək. İks yerinə üç yazsaq, doqquzdan doqquz çıxılır və sıfır alınır. Bu bölmə qalıqsızdır. Bəs iks minus ikiyə bölsək? İks yerinə iki yazırıq: dörddən doqquz çıxılır, mənfi beş alınır. Qalıq mənfi beşdir. Bu fikir fəslin növbəti mövzusunda, çoxhədlinin vuruqları haqqında teoremdə yenidən qarşımıza çıxacaq. Bir az da tarixə baxaq. Dərsliyimizin bu fəslin əvvəlində verdiyi qeydə görə, çoxhədlini ikihədliyə sintetik bölmə qaydasını ilk dəfə italyan riyaziyyatçısı Paolo Ruffini vermişdir. Ruffini min yeddi yüz altmış beşinci ildən min səkkiz yüz iyirmi ikinci ilə qədər yaşamışdır. Yəni əvvəlki dərsdə istifadə etdiyimiz əmsallar sxemi iki əsrdən artıq yaşı olan bir fikirdir. Çoxhədlilərin hekayəsi isə daha qədimdir. Eyni səhifədə rübailər ustadı Ömər Xəyyamın adı çəkilir. O, min qırx səkkizinci ildən min yüz otuz birinci ilə qədər yaşamışdır. Dərsliyə görə, müəyyən bir növ kub çoxhədlinin köklərini həndəsi üsulla tapmağı ilk dəfə Ömər Xəyyam vermişdir. Yəni şeirləri ilə tanıdığımız bir şair, eyni zamanda kub çoxhədlinin kökləri üzərində düşünən bir riyaziyyatçı idi. Bu gün isə çoxhədlilər hətta incəsənətə çevrilib. Dərslik polinomoqrafiya adlı bir sahədən bəhs edir. Bu, rəssamlıq, riyaziyyat və kompüter elminin birləşməsindən yaranan incəsənət növüdür. Kompüter proqramı çoxhədlinin köklərini təsvirə çevirir. Təxminən min il əvvəl həndəsi üsulla axtarılan köklər indi kompüter ekranında rəsmə çevrilir. İndi şəhərimizə qayıdaq. Orta xərci tapmaq üçün ümumi xərci əhalinin sayına bölürük. Bölən birinci dərəcəli çoxhədlidir, ona görə qalıq haqqında teoremin fikri burada da işləyir. Böləni sıfıra çevirən ədədi tapıb xərc çoxhədlisinə yazmaq kifayətdir. Əhali modeli qırx min nəfərdən başlayırdı və hər il iki yüz nəfər artırdı. Bu modeli geriyə işlətsək, iki yüz il əvvəl əhali sıfır olardı. Deməli, yoxlama ədədimiz mənfi iki yüzdür. Əlbəttə, model yalnız iki mininci ildən iki min yeddinci ilə qədər olan illər üçün qurulub və iki yüz il əvvəlki şəhər haqqında heç nə demir. Amma cəbr üçün bu, sadəcə bir yoxlama nöqtəsidir. Xərc çoxhədlisinə mənfi iki yüz yazıb hesablasaq, böyük ədədlər bir-birini tam yox edir və nəticə düz sıfır çıxır. Qalıq sıfırdır. Deməli, bölmə tam alınır və orta illik xərc kəsrsiz, səliqəli bir kvadrat çoxhədlidir. Biz bunu uzun bölməni aparmadan, bir yoxlama ilə bildik. Həmin çoxhədlinin özünü tapmağı sizə tapşırıq kimi saxlayıram. Bir ipucu: iki mininci ildə şəhərin ümumi xərci dörd milyon səkkiz yüz min manat, əhalisi isə qırx min nəfər idi. Bölsək, hər nəfərə ildə yüz iyirmi manat düşür. Sizin tapdığınız çoxhədli də iks sıfır olanda məhz yüz iyirmi verməlidir. Gəlin əsas fikri bir daha deyək. Çoxhədlini iks minus em ikihədlisinə böldükdə qalıq, çoxhədlinin em nöqtəsindəki qiymətinə bərabərdir. Bölən iks üstəgəl bir ədəd olanda, həmin ədədin mənfisini yazırıq. Qiymət sıfırdırsa, bölmə qalıqsızdır. Qisməti bölmə verir, amma qalığı bilmək üçün çox vaxt bir dəfə yerinə qoymaq kifayətdir. Addım-addım hesablamaları isə yazılı dərsimizdə tapa bilərsiniz.