Qalıq teoremi · Kvadrat üçhədliyə bölmədə qalıq

Kvadrat üçhədliyə bölmədə qalıq

P(x) çoxhədlisini x − 2 ikihədlisinə böldükdə qalıq 7, x + 3 ikihədlisinə böldükdə isə qalıq −8 alınır.

P(x) çoxhədlisini x² + x − 6 üçhədlisinə böldükdə alınan qalığı tapın.

Əsas fikir

Qalıq haqqında teorem (Bezu teoremi). P(x) çoxhədlisini x − m ikihədlisinə böldükdə alınan qalıq P(m)-ə, yəni çoxhədlinin x = m nöqtəsindəki qiymətinə bərabərdir.

Səbəb: P(x) = (x − m)·Q(x) + r bərabərliyində x = m yazanda (m − m)·Q(m) = 0 olur və r = P(m) qalır. Bölən x + a şəklindədirsə, onu x − (−a) kimi yazırıq: m = −a.

Qalıq r(x) = 3x + 1 düz xəttinin qrafiki (2; 7) və (−3; −8) nöqtələrindən keçir: bu nöqtələrdə qalıq P(x)-in qiymətləri ilə üst-üstə düşür.

Qalıq xətti ifadədir və P(x) ilə x = 2, x = −3 nöqtələrində eyni qiymət alır.

Addım-addım həll

1. Bölən vuruqlara ayrılır: x² + x − 6 = (x − 2)(x + 3).
2. Bölən ikinci dərəcəlidir, ona görə qalığın dərəcəsi 2-dən kiçikdir: qalığı ax + b kimi axtarırıq. P(x) = (x − 2)(x + 3)·Q(x) + ax + b.
3. x = 2 yazanda birinci toplanan sıfır olur: P(2) = 2a + b. Teoremə görə P(2) = 7, deməli 2a + b = 7.
4. x = −3 yazanda: P(−3) = −3a + b = −8.
5. Birinci tənlikdən ikincini çıxırıq: 5a = 15, a = 3; onda b = 7 − 6 = 1. Qalıq 3x + 1-dir.

Cavab: 3x + 1

Yoxlama

Qalığı iki nöqtədə yoxlayırıq: x = 2-də 3·2 + 1 = 7, x = −3-də 3·(−3) + 1 = −8. Hər ikisi verilmiş qalıqlarla üst-üstə düşür. Məsələn, P(x) = (x² + x − 6)(x² + 1) + 3x + 1 çoxhədlisi şərtləri ödəyir.

Niyə digər cavablar səhvdir

• x + 3a və b yerləri dəyişib. Yoxlama: x = 2 olduqda bu ifadə 5 verir, 7 yox.
• −3x + 1m-lərin işarələri tərsinə götürülüb (−2a + b = 7 və 3a + b = −8). x = 2 olduqda bu ifadə −5 verir, 7 yox.
• 7x − 8Verilmiş iki qalıq əmsal kimi yazılıb. x = 2 olduqda bu ifadə 6 verir, 7 yox.
• 3x − 1b-nin işarəsi səhvdir: b = 7 − 6 = 1. x = 2 olduqda bu ifadə 5 verir, 7 yox.

Teorem və isbat: «Riyaziyyat. Dərslik. 11-ci sinif», «Qalıq haqqında teorem (Bezu teoremi)» (s. 11–12).