P(x) = (2x² − 3x)⁵ + (x + 3)² çoxhədlisini x − 1 ikihədlisinə böldükdə alınan qalığı tapın.
İzahı göstər
Açılmamış çoxhədlinin qalığı
P(x) = (2x² − 3x)⁵ + (x + 3)² çoxhədlisini x − 1 ikihədlisinə böldükdə alınan qalığı tapın.
Əsas fikir
Qalıq haqqında teorem (Bezu teoremi). P(x) çoxhədlisini x − m ikihədlisinə böldükdə alınan qalıq P(m)-ə, yəni çoxhədlinin x = m nöqtəsindəki qiymətinə bərabərdir.
Səbəb: P(x) = (x − m)·Q(x) + r bərabərliyində x = m yazanda (m − m)·Q(m) = 0 olur və r = P(m) qalır. Bölən x + a şəklindədirsə, onu x − (−a) kimi yazırıq: m = −a.
P(x) = (x − 1)·Q(x) + r bərabərliyində x = 1 yazanda (1 − 1)·Q(1) = 0 olur və qalıq r = P(1) alınır.
x = 1 yazanda birinci toplanan sıfır olur, yalnız qalıq qalır.
Addım-addım həll
- P(x) 10-cu dərəcəli çoxhədlidir; onu açmaq lazım deyil. m = 1, qalıq r = P(1)-dir.
- Birinci toplanan: 2·1² − 3·1 = −1 və (−1)⁵ = −1.
- İkinci toplanan: (1 + 3)² = 16.
- P(1) = −1 + 16 = 15.
Cavab: 15
Yoxlama
P(1) çoxhədlinin bütün əmsallarının cəmidir. Açılmış şəkildə P(x) = 32x¹⁰ − 240x⁹ + 720x⁸ − 1080x⁷ + 810x⁶ − 243x⁵ + x² + 6x + 9 olur; əmsalların cəmi 32 − 240 + 720 − 1080 + 810 − 243 + 1 + 6 + 9 = 15. Teorem bu uzun hesablamanı iki sətrə endirir.
Niyə digər cavablar səhvdir
- 17(−1)⁵ müsbət götürülüb: tək qüvvətdə −1 yenə −1 olur, ona görə −1 + 16 = 15.
- 9Bu, P(0) = 0 + 9, yəni sərbəst həddir; x-ə bölmədə qalıq olardı.
- 3(x + 3)² əvəzinə x + 3 = 4 götürülüb: −1 + 4 = 3. 4 kvadrata yüksəldilməlidir.
- −17İki toplanan çıxılıb: −1 − 16. Çoxhədlidə onlar toplanır.
Teorem və isbat: «Riyaziyyat. Dərslik. 11-ci sinif», «Qalıq haqqında teorem (Bezu teoremi)» (s. 11–12).