k-nın hansı qiymətində x³ + kx² − 5x + 2 çoxhədlisini x − 3 və x + 2 ikihədlilərinə böldükdə alınan qalıqlar bərabər olar?
İzahı göstər
Bərabər qalıqlar
k-nın hansı qiymətində x³ + kx² − 5x + 2 çoxhədlisini x − 3 və x + 2 ikihədlilərinə böldükdə alınan qalıqlar bərabər olar?
Əsas fikir
Qalıq haqqında teorem (Bezu teoremi). P(x) çoxhədlisini x − m ikihədlisinə böldükdə alınan qalıq P(m)-ə, yəni çoxhədlinin x = m nöqtəsindəki qiymətinə bərabərdir.
Səbəb: P(x) = (x − m)·Q(x) + r bərabərliyində x = m yazanda (m − m)·Q(m) = 0 olur və r = P(m) qalır. Bölən x + a şəklindədirsə, onu x − (−a) kimi yazırıq: m = −a.
x − 3 ikihədlisinə bölmədə qalıq P(3); x + 2 ikihədlisinə bölmədə qalıq P(−2). Qalıqlar bərabərdir: P(3) = P(−2).
Hər ikihədli öz nöqtəsini verir: x − m üçün qalıq çoxhədlinin m-dəki qiymətidir.
Addım-addım həll
- Çoxhədlini P(x) adlandıraq. x − 3-ə bölmədə qalıq P(3), x + 2 = x − (−2)-yə bölmədə isə P(−2)-dir.
- P(3) = 27 + 9k − 15 + 2 = 9k + 14.
- P(−2) = −8 + 4k + 10 + 2 = 4k + 4 (burada −5·(−2) = +10).
- 9k + 14 = 4k + 4, buradan 5k = −10 və k = −2.
Cavab: −2
Yoxlama
k = −2 olduqda P(3) = 27 − 18 − 15 + 2 = −4 və P(−2) = −8 − 8 + 10 + 2 = −4. Hər iki qalıq −4-dür.
Niyə digər cavablar səhvdir
- 2m-lərin işarələri tərsinə götürülüb: P(−3) = P(2) tənliyi 9k − 10 = 4k, yəni k = 2 verir.
- −6−5x həddi x = −2-də −10 kimi hesablanıb: 9k + 14 = 4k − 16 tənliyi k = −6 verir. −5·(−2) = +10-dur.
- −4Bu, k deyil, ortaq qalığın özüdür: k = −2 olduqda hər iki qalıq −4-ə bərabərdir.
- −105k = −10 bərabərliyində 5k-nın qiyməti k kimi yazılıb; k = −10 : 5 = −2 olmalıdır.
Teorem və isbat: «Riyaziyyat. Dərslik. 11-ci sinif», «Qalıq haqqında teorem (Bezu teoremi)» (s. 11–12).