Düzbucaqlı koordinat sistemində məsafə

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin: bazar səhəridir, siz Bakıdasınız. Dənizdən sərin meh əsir, qağayılar səslənir. Əlinizdə bir xəritə var, amma adi xəritə deyil. Dərsliyimizdə olduğu kimi, şəhərin bir hissəsi damalı vərəqə köçürülüb və üstündə koordinat sistemi çəkilib: üfüqi absis oxu, şaquli ordinat oxu, ortada da koordinat başlanğıcı. Xəritədə dörd tanış yer işarələnib: Çəmbərəkənd parkı, İncəsənət muzeyi, Azneft meydanı və Azərbaycan Milli Xalça Muzeyi. Hər yerin öz nöqtəsi, hər nöqtənin də iki koordinatı var: absisi və ordinatı. Dostunuz soruşur: «İncəsənət muzeyindən Azneft meydanına neçə vahid var?» Sonra barmağını xəritəyə qoyur və xanaları saymağa başlayır. Bir, iki, üç. Üç vahid. Yaxşı, bəs xəritə böyük olsaydı? Bəs nöqtələr bir-birindən yüz xana aralı olsaydı? Xanaları saymaq həm uzun çəkir, həm də bir xananı ötürmək çox asandır. Bu gün xanaları saymadan məsafə tapmağı öyrənəcəyik. Bunun üçün iki şey kifayətdir: nöqtələrin koordinatları və bir çıxma əməli. Sonra bu bacarıqla düzbucaqlının perimetrini və sahəsini tapacaq, hətta itmiş nöqtəni də axtarıb tapacağıq. Gəlin əvvəlcə dostunuzun sualına koordinatlarla cavab verək. İncəsənət muzeyinin absisi bir, ordinatı da birdir. Azneft meydanının absisi dörd, ordinatı yenə birdir. Fikir verin: ordinatlar eynidir. Ordinat nöqtənin nə qədər yuxarıda, ya da aşağıda olduğunu göstərir. Ordinatları eyni olan nöqtələr eyni hündürlükdə durur, yəni absis oxuna paralel bir düz xətt üzərində yerləşir. Belə xəttə üfüqi düz xətt deyirik. Xəritədə o, sağa-sola düz uzanan bir küçəyə bənzəyir. Bu küçə ilə gedəndə ordinat dəyişmir, yalnız absis dəyişir. Deməli, məsafəni absislər deyəcək. Böyük absisdən kiçiyini çıxırıq: dörddən biri çıxsaq, üç qalır. İncəsənət muzeyi ilə Azneft meydanı arasında üç vahid var. Dostunuzun barmaqla saydığı da elə üç idi, amma biz bircə çıxma ilə tapdıq. İndi daha maraqlı bir cüt götürək: Çəmbərəkənd parkı və İncəsənət muzeyi. Parkın absisi mənfi üç, ordinatı bir. Muzeyin absisi bir, ordinatı da bir. Ordinatlar yenə eynidir, yenə üfüqi xətt. Amma bu dəfə park ordinat oxunun solunda, muzey isə sağındadır. Absisləri çıxaq: birdən mənfi üçü çıxırıq. Mənfi ədədi çıxmaq onun əksini toplamaq deməkdir, yəni bir üstə gəl üç, dörd. Park ilə muzey arasında dörd vahid var. Sözlə də yoxlayaq: parkdan ordinat oxuna qədər üç vahid, oxdan muzeyə qədər daha bir vahid. Üç üstə gəl bir, yenə dörd. Bəs çıxmanı tərsinə etsək? Mənfi üçdən biri çıxsaq, mənfi dörd alarıq. Amma məsafə mənfi ola bilməz: iki yer arasındakı yol heç vaxt sıfırdan az olmur. Ona görə fərqin modulunu götürürük. Mənfi dördün modulu dörddür. Hansı ardıcıllıqla çıxsanız da, modul eyni cavabı verir. Beləliklə, birinci qayda belədir: üfüqi düz xətt üzərində yerləşən iki nöqtə arasındakı məsafə bu nöqtələrin absisləri fərqinin moduluna bərabərdir. Burada ən çox edilən səhv mənfi işarəsini itirməkdir. Təsəvvür edin, iki nöqtənin ordinatları eynidir, absislərdən biri mənfi altı, o biri isə üçdür. Tələsən şagird deyir: «Altıdan üçü çıxaq, üç.» Amma bu səhvdir. Üçdən mənfi altını çıxanda üç üstə gəl altı alınır, yəni doqquz. Nöqtələr ordinat oxunun iki tərəfindədirsə, məsafələr toplanır: bir tərəfdə altı vahid, o biri tərəfdə üç vahid, cəmi doqquz vahid. İndi xəritədə yuxarı və aşağı hərəkət edək. Azneft meydanından Milli Xalça Muzeyinə baxın. Azneft meydanının absisi dörd, ordinatı bir. Xalça Muzeyinin absisi də dörd, ordinatı isə mənfi üç. Bu dəfə eyni olan absislərdir. Absisləri eyni olan nöqtələr ordinat oxuna paralel düz xətt üzərində yerləşir. Belə xəttə şaquli düz xətt deyirik; xəritədə o, yuxarıdan aşağıya uzanan küçədir. Bu küçə ilə gedəndə absis dəyişmir, yalnız ordinat dəyişir. Deməli, bu dəfə ordinatları çıxırıq. Birdən mənfi üçü çıxaq: bir üstə gəl üç, dörd. Azneft meydanı ilə Xalça Muzeyi arasında dörd vahid var. Yoxlayaq: meydan absis oxundan bir vahid yuxarıda, muzey isə üç vahid aşağıdadır. Ox iki nöqtənin arasından keçir, ona görə bir ilə üçü toplayırıq. Bəs iki nöqtə oxun eyni tərəfindədirsə? Təsəvvür edin, absisləri iki olan iki nöqtə var. Birinin ordinatı mənfi doqquz, o birinin mənfi dörd. İkisi də absis oxundan aşağıdadır. Burada doqquzla dördü toplamaq səhvdir. Mənfi dörddən mənfi doqquzu çıxırıq: mənfi dörd üstə gəl doqquz, beş. Məsafə beş vahiddir. Eyni tərəfdəki nöqtələrin məsafələri toplanmır, biri o birindən çıxılır. İkinci qayda: şaquli düz xətt üzərində yerləşən iki nöqtə arasındakı məsafə bu nöqtələrin ordinatları fərqinin moduluna bərabərdir. Qısası, əvvəlcə baxın: hansı koordinat eynidir? Eyni koordinat xətti göstərir, fərqli koordinat isə məsafəni verir. Bu dərsdə yalnız belə nöqtələrlə, yəni üfüqi və ya şaquli xətt üzərindəki nöqtələrlə işləyirik. Bu iki qayda ilə artıq bütöv fiqurları ölçə bilərik. Təsəvvür edin, xəritədə düzbucaqlı bir çiçək bağı var, tərəfləri oxlara paraleldir. Bağın ətrafına hasar çəkmək, içinə isə çəmən salmaq istəyirik. Hasar üçün perimetr, çəmən üçün sahə lazımdır. Bağın sol tərəfi absisi mənfi iki olan şaquli xətt üzərindədir, sağ tərəfi isə absisi altı olan xətt üzərində. Yuxarı tərəfi ordinatı dörd olan üfüqi xətt üzərindədir, aşağı tərəfi isə ordinatı mənfi bir olan xətt üzərində. Hər künc iki belə xəttin kəsişdiyi yerdədir. Məsələn, yuxarı sol künc sol tərəflə yuxarı tərəfin görüşdüyü yerdir: absisi mənfi iki, ordinatı dörd. Qalan künclər də belə tapılır. Hər küncün bir qonşusu ilə absisi, o biri qonşusu ilə ordinatı eynidir. İndi tərəfləri ölçək. Yuxarı tərəf üfüqidir, onun uzunluğunu absislər verir: altıdan mənfi ikini çıxırıq, altı üstə gəl iki, səkkiz. Sol tərəf şaquludur, onu ordinatlar verir: dörddən mənfi biri çıxırıq, dörd üstə gəl bir, beş. Düzbucaqlının qarşı tərəfləri bərabərdir, ona görə aşağı tərəf də səkkiz, sağ tərəf də beş vahiddir. Hasarın uzunluğu, yəni perimetr, dörd tərəfin cəmidir. Səkkiz üstə gəl beş, on üç. İki dəfə on üç, iyirmi altı vahid. Çəmən üçün isə sahə lazımdır: uzunluğu enə vururuq. Səkkiz vurulsun beş, qırx kvadrat vahid. Perimetr xəttin uzunluğudur, sahə isə səthin ölçüsüdür, ona görə sahə kvadrat vahidlə ölçülür. Burada iki tələ var. Birincisi, künclərin koordinatlarını tərəf uzunluğu ilə qarışdırmaq. İkincisi, perimetrlə sahəni dəyişik salmaq. Yadda saxlayın: əvvəlcə hər tərəfin uzunluğunu məsafə kimi tapırıq, sonra perimetri və ya sahəni hesablayırıq. İndi tərsinə bir məsələ. Bu dəfə məsafəni bilirik, nöqtəni isə axtarırıq. Dostunuz deyir: «Azneft meydanından çıxdım, eyni küçə ilə, yəni üfüqi xətt boyunca beş vahid getdim. İndi haradayam?» Azneft meydanının absisi dörd, ordinatı bir. Dostunuz üfüqi xətt boyunca getdiyi üçün ordinat dəyişmir, yenə bir qalır. Absis isə ya beş vahid artır, ya da beş vahid azalır. Sağa getsə, dörd üstə gəl beş, doqquz. Sola getsə, dörddən beşi çıxırıq, mənfi bir. Deməli, iki cavab var: ya absisi doqquz olan nöqtə, ya da absisi mənfi bir olan nöqtə. Hər ikisinin ordinatı birdir. Məsələdə istiqamət deyilməyibsə, iki halı da yazırıq. Əgər istiqamət, ya da nöqtənin hansı rübdə olduğu bilinirsə, uyğun gəlməyən hal atılır. Məsələn, absisi mənfi bir, ordinatı bir olan nöqtə ordinat oxunun solunda və absis oxunun yuxarısındadır, yəni ikinci rübdədir. Şaquli xətt boyunca da eyni qayda işləyir. Bu dəfə absis yerində qalır, ordinat isə verilmiş məsafə qədər artır, ya da azalır. Yuxarı getmək ordinatı artırır, aşağı getmək isə azaldır. Gəlin bugünkü yolu bir daha keçək. Əvvəlcə baxırıq: hansı koordinat eynidir? Ordinatlar eynidirsə, nöqtələr üfüqi xətt üzərindədir və məsafəni absislərin fərqi verir. Absislər eynidirsə, xətt şaquludur və məsafəni ordinatların fərqi verir. Fərqin həmişə modulunu götürürük, çünki məsafə mənfi olmur. Nöqtələr oxun iki tərəfindədirsə, mənfi ədədi düzgün çıxırıq və məsafələr toplanır. Düzbucaqlının tərəflərini də belə tapırıq, sonra perimetri və sahəni hesablayırıq. Məsafə və bir nöqtə verilibsə, axtarılan nöqtə iki tərəfdən birində ola bilər: sağda və ya solda, yuxarıda və ya aşağıda. İndi o bazar səhərinə, dəniz kənarına qayıdaq. Dostunuz xanaları barmaqla sayırdı: bir, iki, üç. Siz isə sadəcə koordinatlara baxırsınız və bir anda deyirsiniz: dörddən bir, üç vahid. Əgər xəritədə bir vahid, məsələn, yüz metr olsaydı, bu, üç yüz metr yol olardı. Yadda saxlayın: koordinatlar məsafəni artıq özündə saxlayır. Onu oxumaq üçün bir çıxma və bir modul kifayətdir.