Audio dərs · Müddət
12:05
Mətn (transkript)
Təsəvvür edin: səhər tezdən sakit bir gölün sahilindəsiniz. Külək hələ oyanmayıb, quşlar təzəcə oxumağa başlayıb. Su elə hamardır ki, sanki göl deyil, yerə qoyulmuş böyük bir güzgüdür. Sahildə bir durna dayanıb. Suya baxırsınız və orada ikinci bir durna görürsünüz: eyni uzun ayaqlar, eyni dimdik, amma başı aşağı. Birdən bir balıq sudan sıçrayıb yenə suya düşür. Əks titrəyir, dağılır, bir neçə saniyədən sonra yenə yığılır. Durna yerindən tərpənməyib, ona görə də onun əksi yenə həmin yerdə görünür. Bir az aralıda balaca bir qayıq var. Qayıqçı avarı yavaşca çəkir və qayıq suyun üstü ilə sürüşür: sahilə paralel, düz sağa. Qayıq çevrilmir, başı aşağı olmur, böyüyüb-kiçilmir. Sadəcə yerini dəyişir. Bu bir səhnədə iki fərqli hərəkət var. Biri güzgü əksidir: durna və onun suda görünən əksi. O biri sürüşmədir: qayığın yeri dəyişdi, amma özü dəyişmədi. Bu gün hər ikisini düzbucaqlı koordinat sisteminə köçürəcəyik. Sonda isə bir sualın cavabını tapacağıq: bir fiqura baxıb onun güzgüdən gəldiyini, yoxsa sadəcə sürüşdüyünü necə bilək? Birinci hissə: absis oxuna nəzərən simmetriya. Əvvəlcə qısaca yadımıza salaq. Düzbucaqlı koordinat sistemində iki ox var: üfüqi ox absis oxudur, şaquli ox isə ordinat oxu. Hər nöqtənin iki koordinatı olur. Birincisi, absis, nöqtənin nə qədər sağda və ya solda olduğunu deyir. İkincisi, ordinat, nə qədər yuxarıda və ya aşağıda olduğunu. İndi gölün səthini absis oxu kimi təsəvvür edin. Durnanın dimdiyi suyun üstündədir. Tutaq ki, dimdiyin absisi birdir, ordinatı dörd. Yəni dimdik ordinat oxundan bir vahid sağda, suyun səthindən isə dörd vahid yuxarıdadır. Bəs suda dimdiyin əksi harada görünür? Güzgü əksi yana qaçmır: o da ordinat oxundan bir vahid sağdadır. Amma suyun səthindən dörd vahid yuxarıda yox, dörd vahid aşağıdadır. Deməli əksin absisi yenə birdir, ordinatı isə mənfi dörd. Dərsliyimiz bunu qayda kimi yazır: nöqtənin absisini dəyişmədən ordinatını əksi ilə əvəz etsək, absis oxuna nəzərən simmetrik nöqtə alınır. Dərslikdəki nümunəyə baxaq: absisi mənfi iki, ordinatı üç olan nöqtə. Absis oxuna nəzərən ona simmetrik nöqtənin absisi yenə mənfi ikidir, ordinatı isə mənfi üç. Bir maraqlı hal da var. Nöqtə absis oxunun özündədirsə, yəni ordinatı sıfırdırsa, o, yerində qalır, çünki sıfırın əksi elə sıfırdır. Durna dimdiyini suya toxundursa, toxunduğu nöqtə ilə onun əksi bir yerdə olar. Bütöv bir fiqur, məsələn, üçbucaq olsa necə? Onda hər təpəyə ayrıca simmetrik nöqtə qururuq və bu nöqtələri eyni ardıcıllıqla birləşdiririk. Dərslik deyir: alınan fiqur əvvəlki fiqurla konqruyentdir. Yəni ölçüsü də, forması da eynidir, sadəcə güzgüdəki kimi çevrilib. İkinci hissə: ordinat oxuna nəzərən simmetriya. Dərsliyimizdə Anar damalı vərəqdə koordinat sistemi çəkir və ikinci rübdə bir fiqur çəkir. Sonra sual verilir: Anar vərəqi ordinat oxu boyunca qatlasa, fiqurun güzgü əksi hansı rübə düşər? Gəlin vərəqi qatlayaq. İndi güzgü ordinat oxudur, qatın xətti də odur. Bu güzgü şaquli dayandığı üçün nöqtələr yuxarı-aşağı yox, sağa-sola əks olunur. Nöqtə ordinat oxundan neçə vahid solda idisə, əksi o qədər vahid sağda olur. Hündürlüyü isə dəyişmir. Qayda belədir: nöqtənin ordinatını dəyişmədən absisini əksi ilə əvəz etsək, ordinat oxuna nəzərən simmetrik nöqtə alınır. Yenə dərslikdəki nöqtəni götürək: absisi mənfi iki, ordinatı üç. Ordinat oxuna nəzərən ona simmetrik nöqtənin absisi iki, ordinatı yenə üçdür. Anarın sualının cavabı da buradan çıxır. İkinci rübdə nöqtələrin absisi mənfi, ordinatı müsbətdir. Absis əksinə çevriləndə müsbət olur, ordinat isə müsbət qalır. Deməli fiqurun əksi birinci rübə düşür. İki qaydanı qarışdırmamaq üçün bir ipucu: güzgü hansı oxdursa, o oxun adını daşıyan koordinat yerində qalır. Absis oxuna nəzərən simmetriyada absis qalır, ordinat işarəsini dəyişir. Ordinat oxuna nəzərən simmetriyada ordinat qalır, absis işarəsini dəyişir. Hər iki işarəni birdən dəyişmək isə bu iki simmetriyanın heç biri deyil. Bu, tez-tez edilən səhvdir. Üçüncü hissə: yerdəyişmə. Gölə, qayığa qayıdaq. Qayıq sürüşəndə nə çevrilir, nə böyüyür, nə də kiçilir. Onun hər nöqtəsi eyni istiqamətdə, eyni məsafə qədər yerini dəyişir. Riyaziyyatda buna yerdəyişmə deyirik. Qayda sadədir. Sağa və ya sola, yəni üfüqi hərəkətdə yalnız absis dəyişir. Yuxarı və ya aşağı, yəni şaquli hərəkətdə yalnız ordinat dəyişir. Sağa getdikcə absis artır, sola getdikcə azalır. Yuxarı getdikcə ordinat artır, aşağı getdikcə azalır. Bir nümunə. Qayığın burnu absisi mənfi üç, ordinatı iki olan nöqtədədir. Qayıq beş vahid sağa sürüşür. Ordinat dəyişmir, yenə ikidir. Absisə beş əlavə edirik: mənfi üç üstə gəl beş, iki edir. Qayığın burnu indi absisi iki, ordinatı iki olan nöqtədədir. Yol sıfırdan keçdi, ona görə tam ədədlərin toplanmasını unutmayın. İndi şaquli hərəkət. Gölün dibindən kiçik bir hava qabarcığı qalxır. O, absisi altı, ordinatı mənfi üç olan nöqtədən başlayır və düz üç vahid yuxarı qalxır. Absis dəyişmir, yenə altıdır. Ordinata üç əlavə edirik: mənfi üç üstə gəl üç, sıfır. Ordinatı sıfır olan nöqtə absis oxunun, yəni suyun səthinin üstündədir. Qabarcıq səthə çatır və partlayır. Bütöv fiqurun yerini dəyişəndə də hər təpəni eyni istiqamətdə, eyni sayda vahid köçürürük və təpələri ardıcıl birləşdiririk. Dərslik burada da deyir: yerdəyişmə nəticəsində alınan fiqur əvvəlkinə konqruyentdir. Fiqur həm sağa, həm də aşağı gedə bilər. Onda hər addımı öz koordinatında edirik: sağa addım absisi, aşağı addım ordinatı dəyişir. Dördüncü hissə: simmetriya, yoxsa yerdəyişmə? Qarşınızda iki eyni fiqur var: biri yuxarıda, biri aşağıda. İkincisi birincidən necə alınıb: güzgüdən, yoxsa sürüşmədən? Bunu bilmək üçün iki əlamətə baxırıq. Birinci əlamət: hər təpə neçə vahid köçüb? Yerdəyişmədə bütün təpələr eyni sayda vahid köçür. Simmetriyada isə oxa yaxın təpə az, oxdan uzaq təpə çox yol gedir, çünki hər nöqtə oxun o biri tərəfinə, oxdan eyni məsafəyə keçir. Yoxlayaq. Yuxarıdakı fiqurun iki təpəsini götürək. Hər ikisinin absisi ikidir, ordinatları isə bir və dörd. Tutaq ki, aşağıdakı fiqurda onlara uyğun təpələrin ordinatları mənfi bir və mənfi dörddür. Birinci təpə iki vahid, ikincisi səkkiz vahid aşağı düşüb. Məsafələr fərqlidir, ordinatlar isə sadəcə işarəsini dəyişib. Deməli bu, absis oxuna nəzərən simmetriyadır. İndi başqa bir hal. Uyğun təpələrin ordinatları mənfi beş və mənfi iki olsun. Birinci təpə birdən mənfi beşə, altı vahid düşüb. İkincisi dörddən mənfi ikiyə, o da altı vahid. Hər iki təpə eyni qədər aşağı gedib. Bu, altı vahid aşağı yerdəyişmədir. İkinci əlamət fiqurun duruşudur. Sağ əlinizi güzgüyə tutun: əksi sol əl kimi görünür. Güzgü fiquru çevirir: yuxarıdakı təpə aşağı keçir, sağdakı sola. Yerdəyişmə isə heç nəyi çevirmir: qayıq necə dayanmışdısa, elə də qalır. Hər iki halda fiqur konqruyent qalır, ona görə ölçüyə baxmaq bəs etmir. Təpələrin necə köçdüyünə baxmaq lazımdır. Beşinci hissə: ilkin nöqtəni tapmaq. Bəzən bizə hərəkətin sonunu deyirlər, başlanğıcını isə soruşurlar. Bunun üçün yolu geri gedirik və hər addımı tərsinə edirik. Tutaq ki, bir nöqtə əvvəl iki vahid sola, sonra beş vahid yuxarı köçürüldü və absisi sıfır, ordinatı dörd olan nöqtəyə düşdü. Geri qayıdaq. Yuxarının tərsi aşağıdır: ordinatdan beş çıxırıq, dörd çıx beş, mənfi bir. Solun tərsi sağdır: absisə iki əlavə edirik, sıfır üstə gəl iki, iki. Deməli ilkin nöqtənin absisi iki, ordinatı mənfi birdir. Yoxlayaq: absis ikidən iki vahid sola gedəndə sıfır olur, ordinat mənfi birdən beş vahid yuxarı qalxanda dörd olur. Düzdür. Simmetriyada geri yol daha da qısadır. Bir nöqtəni eyni oxa nəzərən iki dəfə əks etdirsək, öz yerinə qayıdır. Məsələn, ordinat oxuna nəzərən simmetriyadan sonra absisi mənfi altı, ordinatı iki olan nöqtə alınıbsa, ilkin nöqtənin absisi altı, ordinatı iki idi. Yekunlaşdıraq. Absis oxuna nəzərən simmetriyada absis qalır, ordinat əksinə çevrilir. Ordinat oxuna nəzərən simmetriyada ordinat qalır, absis əksinə çevrilir. Yerdəyişmədə sağa-sola hərəkət absisi, yuxarı-aşağı hərəkət ordinatı dəyişir və bütün təpələr eyni qədər köçür. Hər iki halda fiqur konqruyent qalır. İlkin nöqtəni tapmaq üçün isə addımları tərsinə gedirik. İndi o sakit gölə bir daha baxın. Durna ilə onun əksinin absisi eynidir, ordinatları isə əks ədədlərdir: bu, simmetriyadır. Qayığın isə bütün nöqtələri eyni qədər sağa getdi və o, çevrilmədi: bu, yerdəyişmədir. Səhərki sualın cavabı budur. Növbəti dəfə iki eyni fiqur görəndə özünüzdən soruşun: bu, güzgü əksidir, yoxsa yerdəyişmə? Cavab həmişə koordinatlardadır.