Tənliklər: tərəzinin dili

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin: kiçik bir kənd dükanı. Divarda köhnə saat tıqqıldayır, rəflərdə un, düyü və qoz kisələri düzülüb. Piştaxtanın üstündə Orxanın babasının köhnə mis tərəzisi dayanır: ortada bir dirək, dirəyin üstündə uzun bir qol, qolun iki ucunda isə iki qab. Babası həmişə deyir ki, tərəzi yalan danışmır. Bir müştəri içəri girir və soruşur ki, bir kisə qoz neçə kiloqramdır. Amma kisələrin etiketi itib. Kisələr möhürlüdür, onları açmaq olmaz. Orxan bir az fikirləşir və tərəziyə yaxınlaşır. Sol qaba üç kisə qoz və bir kiloqramlıq çəki daşı qoyur. Sağ qaba isə bir kisə qoz və beş kiloqramlıq çəki daşı. Qollar bir az yırğalanır, sonra düz dayanır. Tərəzi tarazlıqdadır. Babası gülümsəyir və deyir ki, cavab artıq tərəzinin üstündədir, sadəcə onu oxumağı bacarmaq lazımdır. Bu dərsdə biz tərəzini oxumağı öyrənəcəyik. Riyaziyyatda bunun adı tənlikdir. Tənliyi necə yazmağı, onun kökünü necə tapmağı və cavabı necə yoxlamağı addım-addım görəcəyik. Sonda bir kisə qozun çəkisini kisəni açmadan biləcəyik. Birinci addım: tənlik nədir və onun kökü nədir. Gəlin daha sadə bir tərəzidən başlayaq. Babası sol qaba bir qarpız və iki kiloqramlıq çəki daşı qoyur, sağ qaba isə doqquz kiloqram. Tərəzi yenə tarazlıqdadır. Qarpızın çəkisini bilmirik, ona görə onu bir hərflə, iks hərfi ilə işarə edirik. Onda tərəzinin dediyini belə yazırıq: iks üstəgəl iki bərabərdir doqquz. Bərabərlik işarəsi tərəzinin ortadakı dirəyi kimidir: solda nə varsa, sağdakına bərabərdir. Məchul ədədi hərflə işarə olunan belə bərabərliyə tənlik deyilir. Tənliyin kökü elə ədəddir ki, onu iksin yerinə yazanda bərabərlik doğru olur. Gəlin yoxlayaq. Bəlkə qarpız altı kiloqramdır? Altı üstəgəl iki səkkiz edir, doqquz yox. Deməli, altı kök deyil. İndi yeddini yoxlayaq: yeddi üstəgəl iki doqquz edir. Doqquz bərabərdir doqquz, bərabərlik doğrudur. Deməli, yeddi bu tənliyin köküdür, qarpız yeddi kiloqramdır. İkinci addım: tərəzini tarazlıqda saxlamaq. Kökü təxmin etmək həmişə asan olmur, ona görə daha etibarlı yol lazımdır. Babası iki kiloqramlıq çəki daşını yalnız sol qabdan götürür. Görək nə olacaq. Tərəzi əyilir, sağ qab aşağı düşür. Çünki biz yalnız bir tərəfdən götürdük, o biri tərəfə toxunmadıq. Babası daşı yerinə qoyur və bu dəfə hər iki qabdan iki kiloqram götürür. Tərəzi tarazlıqda qalır. Sol qabda yalnız qarpız qalıb, sağ qabda yeddi kiloqram. Yazıda da eyni şeyi edirik: iks üstəgəl iki bərabərdir doqquz tənliyinin hər iki tərəfindən iki çıxırıq və alırıq: iks bərabərdir yeddi. Bu, tənliklərin əsas qaydasıdır. Tənliyin hər iki tərəfinə eyni ədədi əlavə etsək, ya da hər iki tərəfdən eyni ədədi çıxsaq, kök dəyişmir. Kökləri eyni olan tənliklərə ekvivalent tənliklər deyilir: iks üstəgəl iki bərabərdir doqquz və iks bərabərdir yeddi ekvivalentdir. Tənliyin sol və sağ tərəflərinin yerini dəyişsək də, ekvivalent tənlik alınır, necə ki, tərəzini o biri üzünə çevirəndə tarazlıq pozulmur. Üçüncü addım: toplananı o biri tərəfə keçirmək. Orxan dəftərini açır. İndi o, tərəzisiz, yalnız qələmlə işləmək istəyir. Tənlik belədir: iks çıx dörd bərabərdir altı. Sol tərəfdə iksdən dörd çıxılıb. İksi tək qoymaq üçün o dördü geri qaytarırıq: hər iki tərəfə dörd əlavə edirik. Solda çıx dörd və üstəgəl dörd bir-birini yox edir, iks tək qalır. Sağda isə altı üstəgəl dörd olur. İks bərabərdir on. Diqqət edin: solda çıx dörd var idi, sağda isə üstəgəl dörd yarandı. Sanki dörd bərabərlik işarəsinin üstündən o biri tərəfə keçdi və işarəsini dəyişdi. Dərslik bunu qayda kimi yazır: bərabərliyin bir tərəfindəki toplananı digər tərəfə əks işarə ilə keçirdikdə alınan tənlik əvvəlki tənliklə ekvivalent olur. Ən çox edilən səhv elə buradadır: toplananı keçirirlər, amma işarəsini dəyişməyi unudurlar. Orxan da əvvəlcə tələsib yazmışdı: iks bərabərdir altı çıx dörd, yəni iki. Yoxlayaq: iki çıx dörd mənfi iki edir, altı yox. Yoxlama səhvi dərhal tutdu. Orxan səhvi pozanla silir və düzgün yazır: iks bərabərdir on. On çıx dörd altı edir. Bərabərlik doğrudur. Dördüncü addım: iksin qarşısındakı ədədə bölmək. Babası sol qaba üç eyni kisə kartof qoyur, sağ qaba isə iyirmi yeddi kiloqram. Tərəzi tarazlıqdadır. Tənlik belədir: üç iks bərabərdir iyirmi yeddi. İksin qarşısındakı üç ədədinə iksin əmsalı deyilir. Hər iki tərəfi əmsala, yəni üçə bölürük: iks bərabərdir doqquz. Tərəzidə də belədir: hər iki qabdakını üç bərabər hissəyə bölüb bir hissəni saxlasaq, tarazlıq pozulmur. Dərslikdəki qayda belədir: tənliyin hər iki tərəfini sıfırdan fərqli eyni ədədə vursaq və ya bölsək, ekvivalent tənlik alınır. Sıfırdan fərqli, çünki sıfıra bölmək olmaz. Əmsal mənfi olanda işarəyə xüsusi diqqət lazımdır. Məsələn: mənfi dörd iks bərabərdir iyirmi dörd. Hər iki tərəfi mənfi dördə bölürük: iks bərabərdir mənfi altı. Yoxlayaq: mənfi dördü mənfi altıya vursaq, iyirmi dörd alınır. Mənfini unutsaq, altı alardıq, amma mənfi dördü altıya vursaq, mənfi iyirmi dörd alınır. Burada tərəzi kömək edə bilməz, çünki mənfi kiloqram olmur. Amma qayda yenə işləyir. Beşinci addım: məchul hər iki tərəfdə olanda. Artıq dükandakı qoz kisələrinə qayıda bilərik. Xatırlayın: sol qabda üç kisə qoz və bir kiloqram, sağ qabda bir kisə qoz və beş kiloqram. Orxan əvvəlcə hər iki qabdan bir kisə qoz götürür. Tərəzi tarazlıqda qalır: solda iki kisə və bir kiloqram, sağda beş kiloqram. Sonra hər iki qabdan bir kiloqram götürür: solda iki kisə qalır, sağda dörd kiloqram. İki kisə dörd kiloqramdırsa, bir kisə iki kiloqramdır. Eyni işi yazı ilə görək. Tənlik belədir: üç iks üstəgəl bir bərabərdir iks üstəgəl beş. İksi sola, biri sağa keçiririk və işarələrini dəyişirik: üç iks çıx iks bərabərdir beş çıx bir. Deməli, iki iks bərabərdir dörd, iks bərabərdir iki. Tərəzi də, yazı da eyni cavabı verdi. Bəzən tənlikdə mötərizə olur. Təsəvvür edin: sol qabda iki eyni qutu var, hər qutunun içində bir bal qabı və beş kiloqramlıq daş. Sağ qabda bir bal qabı və on səkkiz kiloqram. Yazıda: iki vur mötərizədə iks üstəgəl beş, bərabərdir iks üstəgəl on səkkiz. Mötərizəni açanda iki həm iksə, həm də beşə vurulur, çünki iki qutunun hər birində həm bal var, həm də daş. Alırıq: iki iks üstəgəl on bərabərdir iks üstəgəl on səkkiz. Sonra tanış yolla gedirik: iki iks çıx iks bərabərdir on səkkiz çıx on, yəni iks bərabərdir səkkiz. Yoxlama: səkkiz üstəgəl beş on üç edir, iki dəfə on üç iyirmi altı. Sağda səkkiz üstəgəl on səkkiz də iyirmi altıdır. Tez-tez edilən səhv ikini yalnız iksə vurub beşi unutmaqdır, elə bil ikinci qutuya daş qoymağı unutmusan. Dərslik bu yolu dörd addımda yığır. Bir: hər iki tərəfdəki ifadələri sadələşdir, mötərizələri aç. İki: məchulu olan toplananları bir tərəfə, adətən sola, ədədləri isə o biri tərəfə keçir və keçəndə işarəni dəyiş. Üç: hər iki tərəfi sadələşdir. Dörd: kökü tap və bərabərliyin doğruluğunu yoxla. Altıncı addım: həmişə yoxla. Yoxlama tənliyin tərəzisidir. Bir dəfə Orxan belə bir tənliyi tələsik həll etdi: beş iks çıx altı bərabərdir iki iks üstəgəl on iki. Çıx altını sağa işarəsini dəyişmədən keçirdi və cavab iki alındı. Yoxlayaq. Solda beş dəfə iki on, çıx altı, dörd qalır. Sağda iki dəfə iki dörd, üstəgəl on iki, on altı olur. Dörd və on altı bərabər deyil: tərəzi əyildi, deməli, harasa səhv var. Orxan səhvi düzəldir: çıx altı sağa üstəgəl altı kimi keçir. Onda üç iks bərabərdir on səkkiz, iks bərabərdir altı. Yoxlama: solda beş dəfə altı otuz, çıx altı, iyirmi dörd. Sağda iki dəfə altı on iki, üstəgəl on iki, yenə iyirmi dörd. İndi tərəzi düzdür. Gəlin hər şeyi bir yerə yığaq. Tənlik məchulu olan bərabərlikdir, tarazlıqdakı tərəzi kimi. Tənliyin kökü bərabərliyi doğru edən ədəddir. Tarazlığı saxlamaq üçün nə etsən, hər iki tərəfə et: eyni ədədi əlavə et, çıx, ya da sıfırdan fərqli eyni ədədə böl. Toplananı o biri tərəfə keçirəndə işarəsini dəyiş. Mötərizəni aç, məchulları bir tərəfə, ədədləri o biri tərəfə yığ, sonra əmsala böl. Və sonda mütləq yoxla. Bəs dükandakı qoz kisəsi? Bir kisə iki kiloqramdır, və biz bunu kisəni açmadan tapdıq. Orxan yoxlayır: solda üç kisə altı kiloqram, üstəgəl bir, yeddi olur. Sağda iki üstəgəl beş, yenə yeddi. Babası haqlı idi: cavab əvvəldən tərəzinin üstündə idi. Tənlik də belədir. Cavab onun içindədir, sadəcə tarazlığı pozmadan onu oxumağı bacarmaq lazımdır.