Audio dərs · Müddət
10:10
Mətn (transkript)
Bir ədəd götürək: iki min dörd yüz on doqquz. Sualım belədir: bu, sadə ədəddirmi? Xatırlayaq: sadə ədəd yalnız birə və özünə bölünür. Yoxlamağa başlayaq. Bu ədəd ikiyə bölünmür, çünki təkdir. Üçə də bölünmür, çünki rəqəmlərinin cəmi on altıdır. Son rəqəmi doqquzdur, ona görə beşə də bölünmür. Yeddiyə bölək: qalıq qalır. On birə bölək: yenə qalıq. On üçə bölək: yenə qalıq. Belə getsə, dəftər bölmələrlə dolacaq. Amma dərslikdə bu ədəd üçün kiçik bir ipucu var. İki min dörd yüz on doqquz yuvarlaq bir ədədə çox yaxındır: iki min beş yüzə. Aradakı fərq səksən birdir. İki min beş yüz əllinin kvadratıdır, yəni əlli vur əlli. Səksən bir isə doqquzun kvadratıdır. Deməli, bizim ədəd əllinin kvadratından doqquzun kvadratını çıxanda alınır. Dərsin sonunda görəcəyik ki, bu ipucu bölmə aparmadan cavabı verir. Salam! Bu gün yeddinci sinif riyaziyyatından danışırıq. Mövzumuz: iki ifadənin kvadratları fərqi. Yolumuz dörd addımdır. Əvvəlcə bir vərəq kağızla bu fərqi gözümüzün önünə gətirəcəyik. Sonra qaydanı sözlə deyəcəyik və onu iki istiqamətdə oxuyacağıq. Sonra iki tələyə baxacağıq. Sonra isə bir tənlik həll edib iki min dörd yüz on doqquzun yanına qayıdacağıq. Gəlin kağızla başlayaq. Damalı dəftərdən tərəfi yeddi dama olan bir kvadrat kəsin. Orada yeddi vur yeddi, yəni qırx doqquz dama var. İndi onun bir küncündən tərəfi üç dama olan kiçik kvadratı qayçı ilə kəsib götürün. Kiçik kvadratda üç vur üç, yəni doqquz dama var. Qırx doqquzdan doqquzu çıxırıq: əlinizdə qırx dama qaldı. Bu qırx iki kvadratın fərqidir: böyük kvadratdan kiçik kvadrat çıxılıb. Qalan fiqur bucaq şəklindədir. Onun bir tərəfi eni dörd, uzunu yeddi dama olan uzun zolaqdır. Kəsilmiş küncün yanında isə eni üç, uzunu dörd dama olan kiçik bir parça qalıb. Bu kiçik parçanı kəsib ayırın, döndərin və uzun zolağın ucuna yapışdırın. İndi əlinizdə düzbucaqlı var. Onun eni yenə dörd damadır, uzunu isə yeddi üstəgəl üç, yəni on dama. Dörd vur on, yenə qırx. İndi diqqət edin. Dörd haradan gəldi? Yeddi çıx üçdən. On haradan gəldi? Yeddi üstəgəl üçdən. Kəsib-yapışdıranda heç bir dama itmədi, yalnız forma dəyişdi. Deməli, iki ədədin kvadratları fərqi həmin ədədlərin fərqi ilə cəminin hasilinə çevrildi. Bu dərsin bütün sirri bu cümlədədir. İndi ikinci addım: qaydanı sözlə deyək. Dərslik onu belə yazır: iki ifadənin kvadratlarının fərqi bu ifadələrin cəmi ilə fərqinin hasilinə bərabərdir. Hərflərlə desək, iks kvadrat çıx iqrek kvadrat bərabərdir iks üstəgəl iqrek ilə iks çıx iqrekin hasilinə. Bu, kvadratlar fərqi düsturudur, və o, təkcə ədədlər üçün yox, istənilən iki ifadə üçün doğrudur. Niyə belədir? Cəmi fərqə vuranda dörd hasil alınır. Birinci ifadə özünə vurulur və onun kvadratı alınır. İkinci ifadə də özünə vurulur, amma çıx işarəsi ilə. Qalan iki hasil isə eynidir: biri üstəgəl, o biri çıx işarəsi ilə gəlir və bir-birini silir. Beləcə ortadakı hasillər yox olur və yalnız iki kvadratın fərqi qalır. Bu bərabərlik eynilikdir, yəni hərflərin istənilən qiymətində doğrudur. Ona görə onu iki istiqamətdə oxumaq olar. Soldan sağa oxuyanda kvadratlar fərqini vuruqlara ayırırıq. Məsələn, a kvadrat çıx altmış dörd. Altmış dörd səkkiz vur səkkizdir. Deməli, bu ikihədli a çıx səkkiz ilə a üstəgəl səkkizin hasilidir. Əmsal olanda da yol eynidir. İyirmi beş iks kvadrat, çıx dörd. İyirmi beş iks kvadrat beş iksin kvadratıdır, çünki kvadrata həm əmsal, həm də hərf yüksəlir. Dörd isə iki vur ikidir. Deməli, cavab beş iks çıx iki ilə beş iks üstəgəl ikinin hasilidir. Kvadratlar fərqini belə tanıyırıq: iki hədd var, hər biri nəyinsə kvadratıdır, aralarında isə çıx işarəsi durur. Sağdan sola oxuyanda isə iki ifadənin cəmi ilə fərqinin hasilini tez açırıq. Bu, ağılda hesab üçün gözəl fənddir. Otuz bir vur iyirmi doqquz. Hər iki ədəd otuzun yanındadır: biri otuzdan bir artıqdır, o biri bir əksik. Deməli, bu, otuz üstəgəl bir ilə otuz çıx birin hasilidir. Qaydaya görə cavab otuzun kvadratından birin kvadratını çıxanda alınır. Birin kvadratı birdir, otuzun kvadratı isə doqquz yüz. Cavab: səkkiz yüz doxsan doqquz. İndi üçüncü addım: tələlər. Birinci tələ ən çox rast gəlinəndir. Kvadratlar fərqini fərqin kvadratı ilə qarışdırırlar. Qulağa sözlər oxşar gəlir, amma mənası tam başqadır. İks kvadrat çıx iqrek kvadrat iki kvadratın fərqidir. İks çıx iqrek, mötərizədə, kvadrat isə bir fərqin kvadratıdır. Kağız kvadratımızla yoxlayaq. Yeddi vur yeddidən üç vur üçü çıxanda qırx qaldı. İndi isə əvvəl fərqi tapaq: yeddi çıx üç dörddür. Dördün kvadratı on altıdır. On altı qırx deyil. Deməli, fərqin kvadratı kvadratların fərqinə bərabər deyil. Keçən dərsdən xatırlayırıq ki, fərqin kvadratında ortada daha bir hədd var. İkinci tələ əmsalla bağlıdır. Üç a üstəgəl iki ilə üç a çıx ikinin hasilini açaq. Birinci ifadənin kvadratı doqquz a kvadratdır, üç a kvadrat yox, çünki üç də kvadrata yüksəlir. İkinci ifadənin kvadratı isə dörddür. Ona görə cavab doqquz a kvadrat çıx dörddür. Əmsalı da kvadrata yüksəltməyi unutmayın. İndi dördüncü addım: bu qaydanı bir tənlikdə işlədək. Hansı ədədin kvadratından səksən bir çıxanda sıfır alınır? Başqa sözlə, iks kvadrat çıx səksən bir, bərabərdir sıfır. Sol tərəf kvadratlar fərqidir, çünki səksən bir doqquzun kvadratıdır. Onu vuruqlara ayıraq: iks çıx doqquz ilə iks üstəgəl doqquzun hasili sıfıra bərabərdir. Hasil sıfırdırsa, vuruqlardan biri sıfırdır. Birinci vuruq sıfır olanda iks doqquzdur. İkinci vuruq sıfır olanda iks mənfi doqquzdur. Deməli, tənliyin iki kökü var: doqquz və mənfi doqquz. Mənfi kökü unutmaq tez-tez buraxılan səhvdir, halbuki mənfi doqquz vur mənfi doqquz da səksən bir edir. Bəs işarəni dəyişsək? İks kvadrat üstəgəl səksən bir, bərabərdir sıfır. Bu, kvadratlar fərqi deyil, kvadratlar cəmidir, və bu qayda onu vuruqlara ayırmır. Üstəlik, heç bir ədədin kvadratı mənfi olmur. İks kvadrat ən azı sıfırdır, ona səksən bir əlavə edəndə nəticə ən azı səksən bir olur. Sıfır heç vaxt alınmır. Bu tənliyin kökü yoxdur. İndi iki min dörd yüz on doqquza qayıdaq. Yadınızdadır, o, əllinin kvadratından doqquzun kvadratını çıxanda alınır. Bu, kvadratlar fərqidir! Qaydaya görə onu əlli çıx doqquz ilə əlli üstəgəl doqquzun hasili kimi yazmaq olar. Əlli çıx doqquz qırx birdir. Əlli üstəgəl doqquz əlli doqquzdur. Deməli, iki min dörd yüz on doqquz qırx bir vur əlli doqquza bərabərdir. Yəni bu ədəd sadə deyil: o, həm qırx birə, həm də əlli doqquza bölünür. İpucundan sonra biz bir dəfə də bölmə aparmadıq. Bölmə ilə getsəydik, qırx birə çatana qədər xeyli sınaq lazım olardı. Kvadratlar fərqi çətin bölməni iki asan addıma çevirdi: bir çıxma və bir toplama. Bu dərsdən yadda saxlanacaq bir fikir var: iki ifadənin kvadratları fərqi bu ifadələrin cəmi ilə fərqinin hasilinə bərabərdir. Kvadratlar fərqini görəndə onu iki mötərizəyə ayırın: birində cəm, o birində fərq. Cəmlə fərqin hasilini görəndə isə onu iki kvadratın fərqinə çevirin. Əmsalı kvadrata yüksəltməyi və mənfi kökü unutmayın. Yazılı addımları və yeni misalları oxu dərsində tapacaqsınız. Kağız götürün və özünüz sınayın: bu dəfə tərəfi səkkiz dama olan kvadratdan tərəfi iki dama olan kvadratı kəsin və qalanından düzbucaqlı qurun. Onun tərəfləri nə qədər olacaq? Dinlədiyiniz üçün sağ olun!