İki ifadənin kvadratları fərqi

• 2.32
• 7-ci sinif
• Müxtəsər vurma düsturları

İki ifadənin kvadratları fərqi

Kvadrat kağızın küncündən kiçik kvadrat kəsin. Qalan hissənin sahəsi a2 − b2-dır. Onu iki parçaya bölüb yerini dəyişsəniz, düzbucaqlı alınır və sahəsi (a − b)(a + b) olur.

Bu dərsdə

• a2 − b2 şəklində olan ikihədlini tanıyıb (a − b)(a + b) hasilinə ayıracaqsan;
• iki ifadənin cəmi ilə fərqinin hasilini mötərizəni uzun-uzadı açmadan çoxhədli kimi yazacaqsan;
• düsturu ağılda hesablamada, tənliklərdə və hədləri ikihədli olan ifadələrdə tətbiq edəcəksən.

Kvadratdan kiçik kvadrat kəsilir, qalan hissə düzbucaqlıya çevrilir

Başla Yenidən Yenidən

1. Kəşf et
2. Qayda
3. Vuruqlara ayır
4. Hasili aç
5. Diqqət
6. Tənliklər
7. Həyatda
8. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Kəs, döndər, yenidən qur

Tərəfi 10 xana olan kvadrat torun küncündən tərəfi b xana olan kvadratı kəsək. Qalan fiqurun sahəsi 102 − b2 = 100 − b2 xanadır. İndi onu iki düzbucaqlıya bölək: mavi parça yerində qalır, yaşıl parça isə 90° döndərilib mavinin üstünə qoyulur.

Kəsilən kvadratın tərəfi b:

2 4 6 8

10 × 10 kvadratdan b × b kvadrat kəsilir və qalan hissə düzbucaqlıya çevrilir

b = 2: kəsilən kvadrat 2 · 2 = 4 xana, qalan sahə 100 − 4 = 96. Düzbucaqlı 8 × 12: 8 · 12 = 96. Deməli, 10² − 2² = (10 − 2)(10 + 2).

b = 4: kəsilən kvadrat 4 · 4 = 16 xana, qalan sahə 100 − 16 = 84. Düzbucaqlı 6 × 14: 6 · 14 = 84. Deməli, 10² − 4² = (10 − 4)(10 + 4).

b = 6: kəsilən kvadrat 6 · 6 = 36 xana, qalan sahə 100 − 36 = 64. Düzbucaqlı 4 × 16: 4 · 16 = 64. Deməli, 10² − 6² = (10 − 6)(10 + 6).

b = 8: kəsilən kvadrat 8 · 8 = 64 xana, qalan sahə 100 − 64 = 36. Düzbucaqlı 2 × 18: 2 · 18 = 36. Deməli, 10² − 8² = (10 − 8)(10 + 8).

1 xana = 1 vahid kvadrat. Solda: kvadrat və kəsilmiş künc (qırmızı). Sağda: eyni iki parçadan qurulan düzbucaqlı. Xanalar itmir, yalnız yerini dəyişir.

Hansı b-ni seçsən də, düzbucaqlının eni 10 − b, hündürlüyü 10 + b olur. Deməli, 102 − b2 = (10 − b)(10 + b). Yuxarıdakı böyük şəkildə 10 əvəzinə istənilən a götürülüb: qalan sahə a2 − b2 = (a − b)(a + b). Dərslikdə fiqur diaqonal boyunca iki trapesiyaya kəsilir — o yol da eyni düzbucaqlını verir.

2 · Qayda

Kvadratlar fərqi düsturu

Yadda saxla

İki ifadənin kvadratlarının fərqi bu ifadələrin cəmi ilə fərqinin hasilinə bərabərdir:

a2 − b2 = (a − b)(a + b)

Eynilikdə tərəflərin yerini dəyişək: iki ifadənin cəmi ilə fərqinin hasili bu ifadələrin kvadratları fərqinə bərabərdir.

(a + b)(a − b) = a2 − b2

Vuruqların yeri fərq etmir: dərslikdə (a + b)(a − b), cavablarda isə (a − b)(a + b) yazılır.

(a − b)(a + b) hasilinin vurma cədvəli

Başla Yenidən Yenidən

Hər həddi hər həddə vururuq. Ortadakı iki hasil əks işarəlidir və silinir — kənar hədlər qalır.

Düstur sahə şəklinə baxmadan da isbat olunur. Vurma ilə:

(a − b)(a + b) = a2 + ab − ab − b2 = a2 − b2.

Qruplaşdırma ilə (dərslikdəki kimi): ortaya −ab + ab = 0 əlavə edirik və ortaq vuruğu çıxarırıq:

a2 − b2 = a2 − ab + ab − b2 = a(a − b) + b(a − b) = (a + b)(a − b).

Sahə şəkli yalnız a > b > 0 üçün çəkilə bilir, bu isbatlar isə göstərir ki, düstur istənilən a və b üçün, hətta onlar ifadə olanda da doğrudur.

Kvadratlar fərqini necə tanıyaq?

1. İfadə iki həddən ibarətdir.
2. Hər hədd birhədlinin və ya ədədin kvadratıdır.
3. Hədlər arasında «−» işarəsi var.

Birhədlinin kvadratı

36p2 = (6p)2, k6 = (k3)20,09 = 0,32, 125 / = (15 / )2

Əmsalın kvadrat kökünü al, dəyişənin üstünü 2-yə böl.

3 · Vuruqlara ayır

Fərqdən hasilə

Ardıcıllıq həmişə eynidir: hər həddi kvadrat kimi yaz → a və b-ni tap → (a − b)(a + b) yaz → vurmaqla və ya ədəd qoymaqla yoxla.

Nümunə 1Sadə hal

16p2 − 121 ikihədlisini vuruqlarına ayırın.

1. 16p2 = (4p)2, 121 = 112. Deməli, a = 4p, b = 11.
2. Düsturu tətbiq edirik: (4p)2 − 112 = (4p − 11)(4p + 11)
3. Yoxlama: p = 3 olanda 16 · 9 − 121 = 23 və (12 − 11)(12 + 11) = 23. (4p − 11)(4p + 11)

Nümunə 2Onluq əmsal və qüvvət

0,25x4 − 9y2 ikihədlisini vuruqlarına ayırın.

1. 0,25 = 0,52 və x4 = (x2)2, ona görə 0,25x4 = (0,5x2)2; 9y2 = (3y)2.
2. Fərq və cəm yazırıq: (0,5x2 − 3y)(0,5x2 + 3y)

Nümunə 3Əvvəlcə ortaq vuruq

2t3 − 50t ifadəsini vuruqlara ayırın.

1. Hədlər kvadrat deyil, amma ortaq vuruq var: 2t3 − 50t = 2t(t2 − 25).
2. Mötərizədə kvadratlar fərqidir: t2 − 52 = (t − 5)(t + 5).
3. Ortaq vuruğu itirmirik: 2t(t − 5)(t + 5)

Nümunə 4Hədlər ikihədlidir

(2n + 5)2 − (n + 1)2 ifadəsini vuruqlara ayırın.

1. Burada a = 2n + 5, b = n + 1 — bütöv ikihədlilər. Onları mötərizədə saxlayırıq: ((2n + 5) − (n + 1)) ·((2n + 5) + (n + 1))
2. Mötərizələri açırıq; qarşısında «−» olan mötərizədə hər işarə dəyişir: 2n + 5 − n − 1 = n + 4, 2n + 5 + n + 1 = 3n + 6.
3. Yoxlama: n = 1 olanda 72 − 22 = 45 və 5 · 9 = 45. (n + 4)(3n + 6)

İstəsən ikinci vuruqdan 3-ü də çıxara bilərsən: 3(n + 2)(n + 4).

4 · Hasili aç

Cəm ilə fərqin hasili

Vuruqlarda eyni iki ifadə varsa — birində cəm, o birində fərq — dörd hasil yazmağa ehtiyac yoxdur: birinci ifadənin kvadratından ikincinin kvadratını çıxırıq.

Nümunə 5Əmsal da kvadrata

(0,4a − 3b2)(0,4a + 3b2) hasilini çoxhədli şəklində yazın.

1. Birinci ifadə 0,4a, ikinci 3b2.
2. Hər birini bütövlükdə kvadrata yüksəldirik: (0,4a)2 = 0,16a2, (3b2)2 = 9b4. 0,16a2 − 9b4

Nümunə 6Hədlər qarışıq yazılıb

(−4x + y)(y + 4x) hasilini çoxhədli şəklində yazın.

1. Toplananların yerini dəyişirik: −4x + y = y − 4x. Vuruqlar: (y − 4x)(y + 4x).
2. İki vuruqda eyni işarəli olan y-dir — o, a-dır; işarəsini dəyişən 4x isə b-dir. y2 − 16x2

5 · Diqqət

Fərqin kvadratı kvadratlar fərqi deyil

Səhv

(h − 3)2 = h2 − 9

Kvadrata yüksəldəndə orta hədd itib.

Düzgün

(h − 3)2 = h2 − 6h + 9

Kvadratlar fərqi isə başqa hasildir: h2 − 9 = (h − 3)(h + 3).

(10 − 3)² = 49, amma 10² − 3² = 91

1 xana = 1 vahid. 102 − 32 = 91 sahəsi (10 − 3)2 = 49 kvadratından iki zolaq qədər böyükdür: 91 − 49 = 2 · 3 · 7 = 42.

Səhv

(2w + 7)(2w − 7) = 2w2 − 49

Yalnız w kvadrata yüksəldilib, 2 unudulub.

Düzgün

(2w)2 − 72 = 4w2 − 49

Birhədli bütövlükdə kvadrata yüksəlir: əmsal da, dəyişən də.

Kvadratlar cəmi bu düsturla ayrılmır. r2 + 16 üçün yoxlayaq: (r + 4)(r − 4) = r2 − 16, (r + 4)2 = r2 + 8r + 16 — heç biri r2 + 16 deyil. Düsturda hədlər arasında yalnız «−» olur.

6 · Tənliklər

Tənlik və ən kiçik qiymət

Kvadratlar fərqini vuruqlara ayırınca hasil alınır. Hasil sıfırdırsa, vuruqlardan biri sıfırdır — bunu 2.26-da öyrənmişik.

Nümunə 7İki kök

4z2 − 81 = 0 tənliyini həll edin.

1. Sol tərəfi vuruqlara ayırırıq: (2z)2 − 92 = (2z − 9)(2z + 9) = 0.
2. Vuruqlardan biri sıfırdır: 2z − 9 = 0 və ya 2z + 9 = 0.
3. z = 4,5 və ya z = −4,5. Hər ikisinin kvadratı 20,25-dir, ona görə iki kök var. Cavab: 4,5; −4,5

Kökü olmayan tənlik

m2 + 16 = 0

m2 mənfi olmur, ona görə m2 + 16 ≥ 16. Tənliyin kökü yoxdur (∅).

Ən kiçik qiymət (ƏKQ)

(4y + 3)(4y − 3)

Düsturla: 16y2 − 9. 16y2 ≥ 0 və y = 0 olanda 0-dır, ona görə ƏKQ −9-dur.

Ən böyük qiymət (ƏBQ)

(1,5 − 2y)(1,5 + 2y)

2,25 − 4y2: çıxılan 4y2 ən azı 0-dır, ona görə ƏBQ 2,25-dir (y = 0).

7 · Həyatda

Ağılda hesab: ortadakı ədədi tap

İki vuruq yuvarlaq bir ədəddən eyni məsafədədirsə, onların hasili kvadratlar fərqidir. Məsələn, 68 və 72 ədədləri 70-dən 2 vahid uzaqdır.

68 və 72 ədədləri 70-dən 2 vahid uzaqdır

Ortadakı ədəd a = 70, məsafə b = 2: 68 = 70 − 2, 72 = 70 + 2.

68 · 72 = (70 − 2)(70 + 2) = 702 − 22 = 4900 − 4 = 4896

9,7 · 10,3 = (10 − 0,3)(10 + 0,3) = 100 − 0,09 = 99,91

472 − 432 = (47 − 43)(47 + 43) = 4 · 90 = 360

Sonuncu hesabda kvadratları ayrıca tapmaq (2209 və 1849) lazım olmadı.

Ədəd sadədirmi? 391 ədədinə yaxın tam kvadrat 400-dür: 391 = 400 − 9 = 202 − 32.

391 = (20 − 3)(20 + 3) = 17 · 23

Deməli, 391 sadə ədəd deyil. Dərslikdə də ədədi sadə vuruqlara ayırmaq üçün belə ipucu verilir: ədədi iki natural ədədin kvadratları fərqi şəklində yaz.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan 25w2 − 1 ikihədlisini vuruqlarına ayırın. Cavab variantları (5w − 1)2 (5w − 1)(5w + 1) (25w − 1)(25w + 1) Düzdür! 25w2 = (5w)2, 1 = 12. Yox. Fərqin kvadratında orta hədd olur, 25-in isə kökünü almaq lazımdır: 25 = 52. Həllə bax 25w2 − 1 = (5w)2 − 12 = (5w − 1)(5w + 1).
2. Asan (c − 0,3)(c + 0,3) hasilini çoxhədli şəklində yazın. Cavab variantları c2 − 0,9 c2 − 0,6c + 0,09 c2 − 0,09 Əla! 0,32 = 0,09. Yox. Cəm ilə fərqin hasilində orta hədd yoxdur və 0,3 · 0,3 = 0,09, 0,9 deyil. Həllə bax (c − 0,3)(c + 0,3) = c2 − 0,32 = c2 − 0,09.
3. Orta Ağılda hesablayın: 1012 − 992. Cavab variantları 4 200 400 Düzdür: 2 · 200 = 400. Yox. Fərqi (2) və cəmi (200) tap və onları vur — kvadratlar fərqi (101 − 99)2 deyil. Həllə bax 1012 − 992 = (101 − 99)(101 + 99) = 2 · 200 = 400.
4. Orta (−2a + b)(b + 2a) hasilini çoxhədli şəklində yazın. Cavab variantları b2 − 4a2 4a2 − b2 b2 − 2a2 Bəli! İki vuruqda eyni işarəli olan b-dir, ona görə b2 birinci yazılır. Yox. Əvvəl yaz: (b − 2a)(b + 2a); işarəsini dəyişən 2a-dır və o, bütövlükdə kvadrata yüksəlir. Həllə bax (b − 2a)(b + 2a) = b2 − (2a)2 = b2 − 4a2.
5. Çətin x2 − 0,36 = 0 tənliyinin bütün köklərini tapın. Cavab variantları 0,6 0,6; −0,6 0,18; −0,18 Düzdür! İki vuruq — iki kök. Yox. 0,36 = 0,62 (yarısı deyil), və x + 0,6 = 0 vuruğu da kök verir. Həllə bax (x − 0,6)(x + 0,6) = 0, ona görə x = 0,6 və ya x = −0,6.
6. Çətin (y + 6)2 − (y − 2)2 ifadəsini vuruqlara ayırın. Cavab variantları 32 8(y + 2) 16(y + 2) Əla! 8 · (2y + 4) = 16(y + 2). Yox. İkihədliləri mötərizədə saxla: (y + 6) − (y − 2) = 8, çünki «−» mötərizədəki −2-ni +2 edir. Hədləri ayrı-ayrı kvadrata yüksəltmək olmaz. Həllə bax ((y + 6) − (y − 2)) · ((y + 6) + (y − 2)) = 8 · (2y + 4) = 16(y + 2).

Xülasə

Yadda qalanlar

• a2 − b2 = (a − b)(a + b)Soldan sağa — vuruqlara ayırmaq, sağdan sola — cəm ilə fərqin hasilini çoxhədliyə çevirmək.
• İki kvadrat, arada «−»Əmsalın kökünü al, üstü 2-yə böl. Kvadratlar cəmi bu düsturla ayrılmır.
• a və b — bütöv ifadəİkihədli hədləri mötərizədə saxla; tənlikdə iki əks kök olur.

Növbəti mövzu: 2.33 İkihədlinin kuba yüksəldilməsi

Mənbə: «Riyaziyyat» — 7-ci sinif üçün dərslik, Bölmə 6 · 3 «İki ifadənin kvadratları fərqi», səh. 139–142 (cavablar səh. 222). Sahə modeli dərsliyin araşdırmasına və zolaq şəklinə əsaslanır; nümunələrdəki ifadələr və ədədlər bu dərs üçün seçilib.