Audio dərs · Müddət
10:57
Mətn (transkript)
Payız axşamıdır. Yağış pəncərəni yavaş-yavaş döyür. Leyla ilə kiçik qardaşı Orxan stolun arxasında ədəd tapmacası oynayırlar. Leyla vərəqə düz bir xətt, ədəd oxu çəkir, ortasına sıfır yazır, sonra iki nöqtə qoyur: biri mənfi üçdə, o biri beşdə. «Tutduğum ədəd tam ədəddir və bu iki nöqtənin arasındadır. Neçə variant var?» Orxan barmaqları ilə sayır: «Mənfi üçdən beşə qədər. Doqquz!» Leyla gülümsəyir: «Yox. Arasında dedim. Kənardakı nöqtələrin özləri hesaba düşmür.» Sonra Leyla əlavə edir: «İkinci tapmacam daha çətindir. Orada ədədin modulu haqqında ipucu verəcəyəm.» Bu gün biz də Orxanla birlikdə öyrənəcəyik: iki şərti bir cümləyə necə yığmaq olar, kənar nöqtə nə vaxt həllə daxildir, və modul, yəni sıfıra qədər məsafə, bərabərsizlikdə nə deyir. İkinci tapmacanı dərsin sonunda birlikdə açacağıq. Əvvəlcə ən sadə müşahidədən başlayaq. Dərslik belə deyir: ədəd oxu üzərində götürülmüş iki nöqtə arasındakı ixtiyari nöqtənin koordinatı soldakı nöqtənin koordinatından böyük, sağdakı nöqtənin koordinatından isə kiçikdir. Leylanın vərəqində soldakı nöqtə mənfi üçdür, sağdakı isə beş. Aradakı ədədi iks adlandıraq. Deməli, iks haqqında iki şey bilirik. Birincisi: iks mənfi üçdən böyükdür. İkincisi: iks beşdən kiçikdir. Bu iki cümləni ayrı-ayrı demək olar, amma riyaziyyatda onları bir sətrə yığırlar. Soldan sağa, ədəd oxunda olduğu kimi oxuyuruq: mənfi üç iksdən kiçikdir, iks isə beşdən kiçikdir. İks iki ədədin arasında qalıb, sanki iki divarın arasında. Belə yazılışın adı var: ikiqat bərabərsizlik. Dərslik deyir ki, iksin solda bir məlum ədədlə, sağda başqa bir məlum ədədlə hüdudlandığı belə bərabərsizlik ikiqat bərabərsizlik adlanır. Bu iki ədəd məlum rasional ədədlərdir, iks isə axtarılan ədəddir. Eyni şeyi əks istiqamətdə də yazmaq olar: beş iksdən böyükdür, iks isə mənfi üçdən böyükdür. Məna dəyişmir. Burada vacib bir söz var: hər iki şərt eyni anda doğru olmalıdır. Altı ədədini yoxlayaq. Altı mənfi üçdən böyükdür, bu doğrudur. Amma altı beşdən də böyükdür, ona görə uyğun gəlmir. Mənfi dörd isə beşdən kiçikdir, amma mənfi üçdən də kiçikdir, yəni soldakı nöqtədən solda qalır. Təsəvvür edin ki, iki fənər var. Biri mənfi üçdən sağa doğru hər yeri işıqlandırır, o biri beşdən sola doğru. Hər ikisinin işığı düşən yer iki nöqtənin arasıdır. İndi Leylanın o sözünə qayıdaq: kənar nöqtələr hesaba düşmür. «Kiçikdir» və «böyükdür» ciddi işarələrdir: bu işarələrdə kənardakı ədədin özü həllə daxil olmur. «Kiçik və ya bərabərdir», «böyük və ya bərabərdir» isə qeyri-ciddi işarələrdir: bu işarələrdə kənar ədəd də həllə daxildir. Dərslik bu fərqi ədəd oxunda belə göstərir: ciddi işarədə kənar nöqtə boş dairə ilə çəkilir, qeyri-ciddi işarədə isə dolu, rənglənmiş nöqtə ilə. Bunu yadda saxlamaq asandır. Boş dairəni bağlı qapı kimi düşünün: qapıya qədər gəlirsən, amma içəri keçmirsən. Dolu nöqtə isə açıq qapıdır. Ona görə ikiqat bərabərsizliyin dörd halı olur. Hər iki kənar boş ola bilər. Yalnız sol kənar dolu ola bilər. Yalnız sağ kənar dolu ola bilər. Ya da hər iki kənar dolu olur. Dərslikdəki nümunəyə baxaq. İks mənfi birdən böyük və ya ona bərabərdir. Eyni zamanda iks səkkiz tam onda ikidən kiçikdir. Mənfi bir həllə daxildir, onun nöqtəsi doludur. Səkkiz tam onda iki isə kənarda qalır, onun nöqtəsi boşdur. Bəs səkkizin özü? Səkkiz bu sərhəddən bir az kiçikdir, ona görə səkkiz də həllər arasındadır. Gündəlik dildə də bu işarələr gizlənir. Təsəvvür edin, attraksionun girişində yazılıb: boyu ən azı yüz iyirmi santimetr olanlar minə bilər. «Ən azı» o deməkdir ki, boy yüz iyirmi santimetrdən kiçik deyil. Boyu düz yüz iyirmi santimetr olan uşaq da minir, bu dolu nöqtədir. «Aşmır» sözü isə «kiçik və ya bərabərdir» deməkdir. İndi birinci tapmacanın cavabını tapaq. Mənfi üç ilə beş arasında, kənarları saymadan, hansı tam ədədlər var? Mənfi iki, mənfi bir, sıfır, bir, iki, üç, dörd. Cəmi yeddi ədəd. Orxan doqquz demişdi, çünki iki kənarı da saymışdı. Sıfırı da unutmayın: o da tam ədəddir və bu siyahıdadır. İndi ikinci tapmacaya hazırlaşmaq üçün modulu xatırlayaq. Altıncı sinifdən bilirik ki, ədədin modulu ədəd oxunda o ədədlə sıfır arasındakı məsafədir. Üç də, mənfi üç də sıfırdan üç vahid uzaqdadır, ona görə hər ikisinin modulu üçdür. Modul yalnız «nə qədər uzaq?» sualına cavab verir, «hansı tərəfdə?» sualına yox. Təsəvvür edin ki, düz, dar bir cığırın ortasında, sıfır nöqtəsində bir dirək var. Dirəyə yeddi metrlik iplə bir keçi bağlanıb. Keçi sağa da gedə bilər, sola da, amma dirəkdən yeddi metrdən artıq uzaqlaşa bilməz. İp tam dartılanda keçi düz yeddi metrdə dayanır. Dərslik də eyni fikri deyir. Modulu yeddidən kiçik olan ədədlər sıfırdan yeddi vahiddən az uzaqdadır. Belə ədədlər sağda yeddiyə qədər, solda mənfi yeddiyə qədər yerləşir: iks mənfi yeddidən böyükdür və yeddidən kiçikdir. Bu, mənfi yeddi ilə yeddi arasındakı aralıqdır, kənarları boşdur. Modul yeddidən kiçik və ya yeddiyə bərabər olanda isə, keçinin ipi kimi, kənarlar da daxildir: mənfi yeddidən yeddiyə qədər, hər iki kənar dolu. Buna parça deyilir. Bu iki yazılış, modullu bərabərsizlik və ikiqat bərabərsizlik, eyni ədədləri təsvir edir. Dərslik bunu eynigüclülük adlandırır: eynigüclülük eyni həllər çoxluğuna malik olmaq deməkdir. Bu dərsin əsas qaydasını bir dəfə sözlə deyək: modulu hər hansı müsbət ədəddən kiçik olan ədədlər o ədədin mənfisi ilə özü arasında yerləşir. Burada ən çox edilən səhv mənfi tərəfi unutmaqdır. Modulu ikidən kiçik və ya ikiyə bərabər olan tam ədədləri sayaq. Sağda bir və iki var. Amma sol tərəf də var: mənfi bir və mənfi iki. Ortada da sıfır. Cəmi beş ədəd. Modul məsafədir, məsafə isə hər iki tərəfə ölçülür. İndi əks hala keçək: modul verilmiş ədəddən böyük olanda nə olur? Dərslik modulu dörddən böyük olan ədədlərə baxır. Bunlar sıfıra qədər məsafəsi dörddən böyük olan ədədlərdir. Sağda bunlar dörddən böyük ədədlərdir, solda isə mənfi dörddən kiçik ədədlər. Bu dəfə həllər bir parça deyil, iki ayrı hissədir: sıfırdan iki tərəfə uzaqlaşan iki şüa. Gündəlik bir misal. Tonqal yanır və böyüklər deyir: tonqaldan ən azı dörd metr aralı durun. Tonqal sıfır nöqtəsidir. Uşaq tonqalın sağında dura bilər, solunda da, təki dörd metrdən yaxına gəlməsin. Düz dörd metrdə durmaq da olar, çünki «ən azı» deyildi. Bu, modulu dördə bərabər və ya dörddən böyük olan haldır, kənarlar doludur. Bəs niyə bunu bir ikiqat bərabərsizlik kimi yazmırıq? Çünki bir ədəd eyni anda həm mənfi dörddən kiçik, həm də dörddən böyük ola bilməz. Burada «və» yox, «və ya» lazımdır: ya iks mənfi dörddən kiçikdir, ya da dörddən böyükdür. Qısası, modul kiçikdirsə, həllər sıfırın ətrafında bir parçadır. Modul böyükdürsə, həllər kənara qaçan iki şüadır. Bir də kiçik bir hiylə. Modul məsafədir, ona görə heç vaxt mənfi olmur. Deməli, modulu mənfi ikidən kiçik olan ədəd tapılmaz: belə bərabərsizliyin həlli yoxdur. Modulu mənfi ikidən böyük və ya ona bərabər olan ədədlər isə bütün ədədlərdir. Modulu sıfırdan kiçik və ya sıfıra bərabər olan yeganə ədəd isə sıfırın özüdür. İndi yağışlı axşama, Leylanın ikinci tapmacasına qayıdaq. Leyla deyir: «Tutduğum tam ədədin modulu dörddən böyükdür, amma yeddidən kiçikdir.» Orxan bu dəfə tələsmir. Sıfıra qədər məsafə dörddən çox, yeddidən az olmalıdır, deməli məsafə ya beşdir, ya altı. Orxan əvvəlcə «beş və altı» deyir, sonra dayanır: «Sol tərəf də var! Mənfi beş və mənfi altı da.» Dörd variant. Leyla son ipucunu verir: «Ədədim mənfidir və cütdür.» Orxan sevinir: «Mənfi altı!» Bu axşamın əsas fikri belədir. İkiqat bərabərsizlik iki şərtin eyni anda doğru olmasıdır, ədəd oxunda isə iki ədəd arasındakı hissədir. Ciddi işarədə kənar boş qalır, qeyri-ciddi işarədə dolu olur. Modul sıfıra qədər məsafədir: modul kiçikdirsə, həllər sıfırın ətrafında bir parçadır, modul böyükdürsə, iki tərəfə gedən iki şüadır. Tam həlləri sayanda isə hər iki tərəfi və sıfırı unutmayın. Ədəd oxunda çəkilmiş şəkilləri və yeni tapşırıqları oxu dərsində və videoda tapacaqsınız. Növbəti dərsdə rasional ədədlər üzərində əməllərlə tanış olacağıq. Dinlədiyiniz üçün sağ olun, görüşənədək!