Birhədlilər və onların hasili: kağız qatlamağın sirri

Mətn (transkript)

Yağışlı bir axşamdır. Masanın üstündə bir vərəq kağız var. Onu ortadan qatlayıram: indi iki qatdır. Bir də qatlayıram: dörd qat. Bir də: səkkiz qat. Və bir dəfə də: on altı qat. Kağızı dörd dəfə qatladım. İndi dostum bu qalınlaşmış kağızı götürür və onu daha iki dəfə qatlayır. Sual belədir: sonda neçə qat kağız olacaq? Çoxları belə hesablayır: əvvəl dörd qatlama, sonra iki qatlama, dörd vur iki səkkiz edir, deməli, ikinin səkkizinci qüvvəti, iki yüz əlli altı qat. Bu hesab doğrudurmu? Cavabı dərsin sonunda birlikdə yoxlayacağıq. Salam! STUWIN-in dinləmə dərsinə xoş gəlmisiniz. Bugünkü mövzumuz birhədlilər və onların hasilidir. Birhədlinin nə olduğunu, onun əmsalını və dərəcəsini öyrənəcəyik, sonra da iki birhədlini vurmağı. Kağız qatlamağın sirri də elə bu qaydada gizlənib. Əvvəlcə adın özündən başlayaq. Birhədli, adı da deyir, bir həddən ibarət ifadədir. Dərslik onu belə tərif edir: ədədlər, dəyişənlər və ya onların natural üstlü qüvvətlərinin hasilindən ibarət olan ifadəyə birhədli deyilir. Sadə dillə desək, birhədlinin içində yalnız vurma var. Bir neçə nümunə dinləyin. Altı a be: bu, altı vur a vur be deməkdir. Dörd, iksin kvadratı, iqrekin kubu: bu da dörd vur iks vur iks, sonra üç dəfə iqrek deməkdir. Hətta tək bir hərf, məsələn iks, və tək bir ədəd, məsələn on bir, də birhədlidir. Dərslik bunu belə deyir: xüsusi halda yalnız hərf və ya yalnız ədəd də birhədlidir. Bəs hansı ifadə birhədli deyil? İçində toplama və ya çıxma olan ifadə. Məsələn, iks çıx yeddi iki həddən ibarətdir, ona görə birhədli deyil. Hərf kəsrin məxrəcində dayananda da ifadə birhədli sayılmır. Yadda saxlamaq asandır: içində yalnız vurma varsa, birhədlidir. İndi hər birhədlinin iki əsas göstəricisi ilə tanış olaq: əmsal və dərəcə. Əmsal birhədlidəki ədədi vuruqdur. Dörd, iksin kvadratı, iqrekin kubu birhədlisində əmsal dördür. Hərflərə isə dəyişənlər, yaxud hərfi vuruqlar deyilir. Burada bir incə məqam var: əmsal yazılmayanda da var. Sadəcə ka yazılıbsa, əmsal birdir, çünki ka bir vur ka deməkdir. Ka hərfinin qarşısında mənfi işarəsi də ola bilər, yəni mənfi ka. Belə birhədlinin əmsalı mənfi birdir. Gözə görünməyən bu ədəd sıfır deyil, birdir. Dərəcə isə hərflərin üstlərinin cəmidir. Dörd, iksin kvadratı, iqrekin kubu birhədlisində iksin üstü iki, iqrekin üstü üçdür. İki üstəgəl üç beş edir, deməli, bu birhədlinin dərəcəsi beşdir. Əmsal dərəcəyə qatılmır: dörd ədədi burada heç bir rol oynamır. Üstü yazılmayan hərfin üstü birdir. Ona görə altı a be birhədlisinin dərəcəsi ikidir: a hərfindən bir, be hərfindən də bir. Heç hərf yoxdursa, məsələn, tək on bir ədədində, dərəcə sıfır qəbul edilir. İki tipik səhvdən qaçın: dərəcəni hərflərin sayı kimi götürmək, ya da üstləri bir-birinə vurmaq. Dərəcəni tapanda üstlər toplanır. İndi kağıza qayıdaq, çünki onun sirri növbəti qaydadadır. Natural üstlü qüvvət eyni ədədin təkrar-təkrar vurulmasıdır. İkinin kubu iki vur iki vur ikidir, yəni səkkizdir. Təkrarlanan ədədə qüvvətin əsası deyilir. Onun neçə dəfə təkrarlandığını göstərən ədədə isə qüvvətin üstü, yaxud dərəcəsi deyilir. Hər qatlama qatların sayını iki dəfə artırır, yəni hər dəfə ikiyə vurur. Dörd qatlamadan sonra iki dörd dəfə vurulub: ikinin dördüncü qüvvəti, on altı qat. Dostumun iki qatlaması isə ikinin kvadratıdır. Bəs hamısı birlikdə iki neçə dəfə vurulub? Dörd dəfə və daha iki dəfə, cəmi altı dəfə. Qayda budur. Əsasları eyni olan iki qüvvəti vuranda əsas dəyişmir, üstlər isə toplanır. Dərsliyin sözləri ilə: a üstü em vur a üstü en bərabərdir a üstü em üstəgəl en. Məsələn, zetin kvadratı vur zetin altıncı qüvvəti zetin səkkizinci qüvvətidir. Tək zetin də üstü var, o, bir sayılır. Ona görə zetin yeddinci qüvvəti vur zet də zetin səkkizinci qüvvətidir. Qaydanı on ədədi ilə yoxlayaq. On min on ədədinin dördüncü qüvvətidir, onun yazılışında dörd sıfır var. Min on ədədinin kubudur, üç sıfır. On mini minə vuranda on milyon alınır, yeddi sıfır. Dörd üstəgəl üç, yeddi. Sıfırlar toplanır, üstlər də toplanır. İki tələyə diqqət edin. Birinci tələ: üstləri vurmaq. Dörd vur üç on iki edir, amma on mini minə vuranda on iki sıfırlı ədəd alınmır, cəmi yeddi sıfır olur. İkinci tələ: əsasları fərqli olan qüvvətlər. A-nın kubu vur be-nin kvadratında üstləri toplamaq olmaz, çünki hərflər fərqlidir. Onlar sadəcə yan-yana yazılır. İndi əsas işə keçək: iki birhədlini vuraq. Dərslik burada xoş bir xəbər verir: birhədlilərin hasili yenə birhədlidir. Səbəbi sadədir: hər birhədlinin içində yalnız vurma var, vurmanı vurmaya qoşanda yenə yalnız vurma alınır. Dərslik bunu üç addımla edir. Birinci addım: bütün ədədi vuruqları vurub əmsalı tapın. İkinci addım: hərfi vuruqları əlifba sırası ilə yazın və eyni hərflərin üstlərini toplayın. Üçüncü addım: nəticəni standart şəkildə yazın: əvvəlcə əmsal, sonra hərflər əlifba sırası ilə, hər hərf yalnız bir dəfə. Gəlin bir nümunəni qulaqla izləyək. Birinci birhədli: mənfi yeddi, ka-nın beşinci qüvvəti, te. İkinci birhədli: mənfi üç, ka, te-nin kvadratı. Yəni birincidə ka beşinci qüvvətdə, te isə birinci qüvvətdədir. İkincidə ka birinci qüvvətdə, te isə kvadratdadır. Birinci addım, əmsallar: mənfi yeddi vur mənfi üç. İki mənfi vuruq var, ona görə hasil müsbətdir: iyirmi bir. İkinci addım, hərflər. Ka hərfi üçün üstləri toplayırıq: beşlə bir, altı. Bu, ka-nın altıncı qüvvətidir. Te hərfi üçün: birlə iki, üç. Bu, te-nin kubudur. Üçüncü addım, standart şəkil: iyirmi bir, ka-nın altıncı qüvvəti, te-nin kubu. Bu cavabın dərəcəsi altı üstəgəl üç, yəni doqquzdur. Maraqlıdır: birinci birhədlinin dərəcəsi altı idi, ikincinin dərəcəsi isə üç. Hasilin dərəcəsi onların cəmidir, hasili yox. Bir tipik səhv də var: əmsalları toplamaq. Mənfi yeddi ilə mənfi üçün cəmi mənfi ondur, amma birhədliləri vuranda əmsallar vurulur, toplanmır. İndi işarələrə yaxından baxaq. Hər mənfi vuruq hasilin işarəsini dəyişir. Mənfi vuruqların sayı cütdürsə, əmsal müsbət olur, təkdirsə, mənfi. Məsələn, üç birhədlini vuraq: mənfi iks, mənfi üç iqrek və mənfi beş zet. Burada üç mənfi vuruq var, üç isə təkdir, ona görə cavab mənfidir: mənfi on beş, iks, iqrek, zet. Unutmayın ki, mənfi iksin əmsalı mənfi birdir. Yalnız işarəsi ilə fərqlənən iki birhədliyə əks birhədlilər deyilir. İyirmi bir, ka-nın altıncı qüvvəti, te-nin kubu birhədlisinin əksi mənfi iyirmi bir, ka-nın altıncı qüvvəti, te-nin kubudur. Əks birhədlini taparkən yalnız işarə dəyişir: əmsal kəsrə çevrilmir, hərflər də yerində qalır. Bir-birinə bərabər olan, ya da yalnız əmsalları ilə fərqlənən birhədlilərə isə oxşar birhədlilər deyilir. Onların hərfi hissəsi tam eynidir. Məsələn, iki, ka-nın kubu, te və mənfi doqquz, ka-nın kubu, te oxşardır. Amma iki, ka-nın kubu, te ilə iki, ka-nın kubu, te-nin kvadratı oxşar deyil: əmsalları eynidir, te-nin üstü isə fərqlidir. Oxşarlığı əmsal deyil, hərfi hissə müəyyən edir. İndi yağışlı axşama, kağıza qayıdaq. Dörd qatlamadan sonra ikinin dördüncü qüvvəti, on altı qat var idi. Dostum daha iki dəfə qatladı, bu da ikinin kvadratıdır, yəni qatların sayı daha dörd dəfə artdı. On altı vur dörd altmış dörddür. Qayda ilə də eyni cavab alınır: dörd üstəgəl iki altı edir, ikinin altıncı qüvvəti də altmış dörddür. Deməli, cavab iki yüz əlli altı yox, altmış dörd qatdır. Üstləri vuranlar səhv etmişdi. Bu dərsdən bir fikri yadda saxlayın. Üst neçə vuruq olduğunu sayır. Ona görə birhədliləri vuranda ədədlər vurulur, eyni hərflərin üstləri isə toplanır: vuruqları bir yerə yığanda onların sayı da toplanır. Yazılı nümunələr və məşqlər üçün bu mövzunun oxu dərsinə baxın. Növbəti dərsdə birhədlilərin nisbəti ilə tanış olacağıq. Dinlədiyiniz üçün təşəkkür edirəm. Sağ olun!