Birhədlilər və onların hasili

• 2.19
• 7-ci sinif
• Birhədlilər

Birhədlilər və onların hasili

−3x2y · 4xy3 hasilində neçə vuruq var? Doqquz! Ədədləri bir yerə, eyni hərfləri bir yerə yığsaq, uzun hasil qısa bir birhədliyə çevrilir: −12x3y4.

Bu dərsdə

• birhədlini tanıyacaq, onun əmsalını və dərəcəsini tapacaqsan;
• eyni əsaslı qüvvətləri vurub birhədlilərin hasilini standart şəkildə yazacaqsan;
• oxşar və əks birhədliləri hərfi hissəyə görə ayıracaqsan.

Hasil −3x²y · 4xy³ vuruqlara ayrılır və −12x³y⁴ kimi yığılır

Başla Yenidən Yenidən

1. Birhədli nədir
2. Əmsal və dərəcə
3. Üstlər toplanır
4. Standart şəkil
5. Hasil
6. Oxşar və əks
7. Diqqət
8. Həyatda
9. Özünü yoxla
10. Yekun

1 · Kəşf et

Hansı ifadə birhədlidir?

Yadına sal: eyni vuruğun təkrarını qüvvət kimi yazırıq, x · x · x = x3. Bu dərsdə ədədlər və hərflər yalnız vurma ilə birləşən ifadələrə baxırıq. Hər vuruğu bir kvadrat kafel kimi təsəvvür et: ədədlər narıncı, hərflər mavi.

İfadəni seç

5a2b −m 0,7 3x + y 8/c 2(a + b)2

Seçilmiş ifadə vuruq kafelləri ilə

5a2b = 5 · a2 · b. Vuruqlar arasında yalnız vurma var — birhədlidir.

−m = −1 · m. Mənfi işarə gizli −1 vuruğudur. Birhədlidir.

0,7 — tək ədəd. Dərslikdə deyildiyi kimi, yalnız ədəd və ya yalnız hərf də birhədlidir.

3x + y — iki hissə toplanır. Cəm birhədli deyil (bu, növbəti mövzuların «çoxhədli»sidir).

8/c = 8 : c — hərfə bölünür. Hərf məxrəcdə olan ifadə birhədli deyil.

2(a + b)2 — vurma var, amma ikinci vuruq cəmin qüvvətidir. Birhədli deyil.

Kafellər arasında yalnız «·» varsa, ifadə birhədlidir. Qırmızı əməl (+, :, cəm) onu birhədli olmaqdan çıxarır.

«Ədədlər, dəyişənlər və ya onların natural üstlü qüvvətlərinin hasilindən ibarət olan ifadəyə birhədli deyilir. Xüsusi halda yalnız hərf və ya yalnız ədəd də birhədlidir. Hərflə işarə olunan vuruqlara dəyişən də deyilir.»

Dərslik, s. 78

2 · Qayda

Əmsal və dərəcə

Yadda saxla

«Birhədlidə olan ədədi vuruqların hasilindən alınan ədəd əmsal adlanır.»

«Birhədlinin hərfi vuruqlarının (dəyişənlərin) dərəcələrinin cəmi birhədlinin dərəcəsi (qüvvəti) adlanır. Birhədlidə dəyişən iştirak etmirsə, onun dərəcəsi sıfır qəbul edilir.»

−1,5a3b2c

Əmsal −1,5; dərəcə 3 + 2 + 1 = 6.

Birhədlinin hissələri: −1,5a³b²c

Hərflərin hamısı birlikdə hərfi hissədir. Üstü yazılmayan hərfin üstü 1-dir: c = c1.

Tək hərf

k = 1 · k1

Əmsal 1, dərəcə 1. Əmsal 1 yazılmır.

Mənfi işarə

−x = −1 · x

Əmsal −1-dir, 0 və ya 1 deyil.

Yalnız ədəd

−4

Əmsal −4, dəyişən yoxdur — dərəcə 0. Dərslik 0-ı da birhədli sayır.

Qüvvəti də xatırlayaq. Dərslikdə: «Hər biri a-ya bərabər olan n sayda vuruğun hasilinə a ədədinin n-ci dərəcədən natural üstlü qüvvəti deyilir və an kimi işarə edilir.» Təkrarlanan vuruq a — qüvvətin əsası, təkrarların sayı n — dərəcəsi (üstü). Məsələn, 1n = 1, 0n = 0.

Əsas mənfi olanda vuruqların işarələrini say: (−2)3 = (−2) · (−2) · (−2) = −8 — tək sayda mənfi, cavab mənfi; (−2)4 = 16 — cüt sayda mənfi, cavab müsbət.

3 · Qayda

Eyni əsas: üstlər toplanır

a3 · a4 hasilində neçə dənə a vuruğu var? Birincidə 3, ikincidə 4 — cəmi 3 + 4 = 7. Deməli, a3 · a4 = a7. Üstləri vurmaq (3 · 4 = 12) olmaz: vuruqlar sayılır, vurulmur.

Ədədlə yoxlayaq: 23 · 24 = 8 · 16 = 128, 27 = 128. Eynidir.

Yadda saxla

İstənilən a rasional ədədi və m, n natural ədədləri üçün

am · an = am+n

Əsas eyni qalır, üstlər toplanır.

a³ · a⁴ = a⁷: vuruqlar sayılır

Hər kafel bir a vuruğudur. İki qrupu birləşdirəndə kafellərin sayı toplanır.

Başla Yenidən Yenidən

Tək hərf

y5 · y = y5 · y1 = y6

Üstü yazılmayan vuruğun üstü 1-dir — onu da say.

Mənfi əsas

(−2)3 · (−2)2 = (−2)5 = −32

Qayda mənfi əsas üçün də doğrudur; 5 tək olduğu üçün cavab mənfi.

10-un qüvvətləri

102 · 103 · 10 = 106

2 + 3 + 1 = 6: bir milyon, 1 000 000.

Kəsr əsas

(1/3)2 · 1/3 = (1/3)3 = 1/27

Əsas istənilən rasional ədəd ola bilər.

Əsaslar fərqli olanda qayda işləmir: 23 · 32 = 8 · 9 = 72 — bunu bir qüvvət kimi yazmaq olmur.

4 · Qayda

Standart şəkil

Yadda saxla

«Əgər birhədlidə ədədi və hərfi vuruqların hər biri bir dəfə yazılırsa, belə birhədli standart şəkildə yazılmış birhədlidir. Standart birhədlidə, adətən, birinci yerdə ədədi vuruq, sonra hərfi vuruqlar əlifba sırası ilə yazılır.»

3ab, −2m3n4

Əvvəl ədəd, sonra hərflər a, b, c, … sırası ilə, hər biri bir dəfə.

NümunəStandart şəklə gətir

0,4m · n3 · (−5) · m2 · n

1. ƏdədlərƏdəd iki dəfə yazılıb: 0,4 · (−5) = −2.
2. Hərflərm iki dəfə: m · m2 = m3; n iki dəfə: n3 · n = n4.
3. StandartƏmsal birinci, hərflər əlifba sırası ilə; dərəcə 3 + 4 = 7.

−2m3n4

Birhədli standart şəkildə deyil, əgər: ədəd iki dəfə yazılıb (7a · 0,5b), eyni hərf təkrarlanır (x2yx), əmsal sonda gəlir və ya hərflər əlifba sırası ilə deyil (b · 3a → 3ab).

5 · Hesabla

Birhədlilərin hasili

Dərslikdə deyildiyi kimi, «birhədlini birhədliyə vurduqda alınan ifadə yenə birhədli olur». Hasili tapmaq — bütün kafelləri bir yerə töküb standart şəkildə yazmaqdır.

Alqoritm (dərslik, s. 80)

1. ƏdədlərHasildə iştirak edən bütün ədədi vuruqların hasilini tapın.
2. HərflərBirhədlilərdə olan dəyişənləri (hərfi vuruqları) əlifba sırası ilə hasil şəklində yazın.
3. StandartHasili standart (yığcam) birhədli şəklində yazın.

Əmsalın işarəsi: mənfi vuruqların sayı cütdürsə, əmsal müsbət; təkdirsə, mənfidir (2.12-dəki işarə qaydası).

Nümunə 1İki birhədli

Hasili standart şəkildə yazın: 2,5x3y · (−4xy2)

1. Ədədlər2,5 · (−4) = −10 — bir mənfi vuruq, əmsal mənfi.
2. Hərflərx3 · x · y · y2 = x3+1y1+2 = x4y3.
3. StandartƏmsal və hərfi hissəni birləşdir; dərəcə 4 + 3 = 7.

2,5x3y · (−4xy2) = −10x4y3

Nümunə 2Üç birhədli, iki mənfi

Hasili standart şəkildə yazın: −3a2b · (−2/3ab4) · 5bc

1. Ədədlərİki mənfi vuruq — əmsal müsbət: −3 · (−2/3) · 5 = 2 · 5 = 10.
2. Hərfləra: 2 + 1 = 3; b: 1 + 4 + 1 = 6; c: 1. Hərfi hissə a3b6c.
3. StandartDərəcə 3 + 6 + 1 = 10.

10a3b6c

Nümunə 3Əvvəl sadələşdir, sonra hesabla

x = 2, y = −1 olduqda −2xy2 · 3x2y hasilinin qiymətini tapın.

1. Standart şəkil: −2 · 3 = −6, x1+2 = x3, y2+1 = y3 → −6x3y3.
2. Qüvvətlər: x3 = 23 = 8; y3 = (−1)3 = −1 (tək üst — mənfi).
3. −6 · 8 · (−1) = 48.
4. Yoxlama sadələşdirmədən: −2 · 2 · (−1)2 = −4, 3 · 22 · (−1) = −12, (−4) · (−12) = 48.

48

6 · Qayda

Oxşar və əks birhədlilər

Oxşar

«Bir-birinə bərabər və ya bir-birindən yalnız əmsalları ilə fərqlənən birhədlilərə oxşar birhədlilər deyilir.» Onların hərfi hissəsi eynidir.

Əks

«Yalnız işarəsi ilə fərqlənən iki birhədliyə əks birhədlilər deyilir.» Məsələn, 3a2b və −3a2b.

Oxşarlığı yoxlamazdan əvvəl birhədlini standart şəklə gətir, sonra yalnız hərfi hissəyə bax — əmsal fərqli ola bilər. Hədəf: 3a2b, hərfi hissəsi a2b.

3a2b-nin əksi −3a2b-dir, 1/3a2b deyil: «əks» işarəni dəyişir, «tərs» isə başqa anlayışdır.

7 · Diqqət

Beş tipik səhv

Hər səhvin içində bir sual gizlənib: bu ədəd vurulur, yoxsa sayılır? Əmsallar vurulur, eyni hərfin üstləri toplanır.

Üstləri vurmaq

Səhv

x3 · x4 = x12

Üstlər vurulub. Bu, 12 dənə x olardı, amma vuruqlar cəmi 7-dir.

Düz

x3 · x4 = x7

Eyni əsas: üstlər toplanır, 3 + 4 = 7.

Əsasları vurmaq

Səhv

34 · 35 = 99

Əsaslar da vurulub: 3 · 3 = 9.

Düz

34 · 35 = 39

Əsas dəyişmir. Yoxla: 81 · 243 = 19 683 = 39.

Tək hərfi unutmaq

Səhv

m3 · m = m3

Üstü yazılmayan m sayılmayıb.

Düz

m3 · m1 = m4

m = m1, 3 + 1 = 4.

Əmsalları toplamaq

Səhv

−4a · 5a2 = a3

−4 + 5 = 1 hesablanıb: əmsallar toplanıb.

Düz

−4a · 5a2 = −20a3

Ədədlər vurulur: −4 · 5 = −20; bir mənfi — əmsal mənfi.

Hasilin dərəcəsi

Səhv

x2y · xy4: dərəcə 3 · 5 = 15

Vuruqların dərəcələri (3 və 5) vurulub.

Düz

x3y5: dərəcə 3 + 5 = 8

Hasilin dərəcəsi vuruqların dərəcələrinin cəminə bərabərdir: 3 + 5 = 8.

8 · Həyatda

Ləkin sahəsi

Bağçada düzbucaqlı çiçək ləki salınır: uzunluğu 4x m, eni 3y m. Sahəni birhədli kimi yazın və x = 1,5, y = 2 olduqda hesablayın.

1. Sahə = uzunluq · en: S = 4x · 3y.
2. Ədədlər4 · 3 = 12 — şəkildə 4 sütun · 3 sıra = 12 blok.
3. Hərflərx · y = xy — bir blokun sahəsi.
4. S = 12xy = 12 · 1,5 · 2 = 36 m². Yoxla: tərəflər 4 · 1,5 = 6 m və 3 · 2 = 6 m, 6 · 6 = 36.

S = 12xy m²; 36 m²

Lək 4x m × 3y m: 12 blok, hər biri xy m²

Əmsal blokların sayını, hərfi hissə bir blokun sahəsini göstərir.

Qutu

V = 2a · 3b · ab = 6a2b2

Ölçüləri 2a, 3b və ab olan qutunun həcmi; dərəcə 2 + 2 = 4 — həcm üç uzunluğun hasilidir.

9 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq və ipucu çıxacaq. Hər sualın altında həll var.

1. Asan −x3y birhədlisinin əmsalı neçədir? Sual 1: cavabı seç 0 −1 1 Düzdür! −x3y = −1 · x3y. Yox. Ədəd yazılmayıbsa, əmsal 1-dir, amma qabaqdakı mənfi işarəni də nəzərə al. Həllə bax Mənfi işarə gizli −1 vuruğudur: −x3y = −1 · x3y. Əmsal −1.
2. Asan 53 · 54 = ? Sual 2: cavabı seç 512 257 57 Düzdür! Əsas 5 qalır, üstlər toplanır: 3 + 4 = 7. Yox. Eyni əsaslı qüvvətləri vuranda əsas dəyişmir, üstlər isə toplanır (vurulmur). Həllə bax am · an = am+n: 53 · 54 = 53+4 = 57.
3. Orta Hasili standart şəkildə yazın: 2x3y · (−6xy5) Sual 3: cavabı seç −12x4y6 −4x4y6 −12x3y5 Düzdür! 2 · (−6) = −12, x3+1 = x4, y1+5 = y6. Yox. Əmsallar vurulur (toplanmır), üstü yazılmayan x və y-nin üstü 1-dir və o da toplanır. Həllə bax Ədədlər: 2 · (−6) = −12. Hərflər: x3 · x = x4, y · y5 = y6. Cavab: −12x4y6.
4. Orta Hansı birhədli 4ab3 birhədlisinə oxşardır? Sual 4: cavabı seç 4a3b −0,2b3a 4ab3c Düzdür! Standart şəkildə −0,2ab3: hərfi hissə ab3, yalnız əmsal fərqlidir. Yox. Oxşarlığı əmsal yox, hərfi hissə müəyyən edir: ab3 tam eyni olmalıdır. Həllə bax 4a3b-nin hərfi hissəsi a3b, 4ab3c-ninki ab3c — hər ikisi fərqlidir. −0,2b3a = −0,2ab3, hərfi hissə ab3 — oxşardır.
5. Çətin (−a2b3) · 7ab2c hasilinin dərəcəsi neçədir? Sual 5: cavabı seç 20 8 9 Düzdür! Hasil −7a3b5c, dərəcə 3 + 5 + 1 = 9. Yox. Dərəcələr toplanır (vurulmur), və c-nin üstü 1-dir — onu da say. Həllə bax Vuruqların dərəcələri: 2 + 3 = 5 və 1 + 2 + 1 = 4. Hasil −7a3b5c, dərəcəsi 3 + 5 + 1 = 9 = 5 + 4.
6. Çətin x = −1, y = 3 olduqda −0,5x2y · 4xy hasilinin qiymətini tapın. Sual 6: cavabı seç −18 18 12 Düzdür! −2x3y2 = −2 · (−1) · 9 = 18. Yox. (−1)3 = −1 (tək üst), y2 = 3 · 3 = 9 (2 · 3 deyil). Həllə bax Standart şəkil: −0,5 · 4 = −2, x2+1 = x3, y1+1 = y2 → −2x3y2. Qiymət: −2 · (−1)3 · 32 = −2 · (−1) · 9 = 18. Yoxlama: −0,5 · 1 · 3 = −1,5; 4 · (−1) · 3 = −12; (−1,5) · (−12) = 18.

10 · Yekun

Üç şeyi yadda saxla

• Birhədli — yalnız vurmaƏmsal ədədi vuruqların hasilidir, dərəcə hərflərin üstlərinin cəmidir; tək hərfin üstü 1, ədədin dərəcəsi 0.
• Ədədləri vur, üstləri toplaam · an = am+n. Hasil: ədədlər → hərflər əlifba sırası ilə → standart şəkil; mənfilərin sayı işarəni verir.
• Oxşarlıq hərfi hissədədirOxşar birhədlilərin hərfi hissəsi eynidir, əks birhədlilər yalnız işarə ilə fərqlənir.

Növbəti mövzu: 2.20 Birhədlilərin nisbəti — birhədliləri bölməyi öyrənəcəyik.

Mənbə: Riyaziyyat. Dərslik. 7-ci sinif (CC BY-NC-SA 4.0), BÖLMƏ 4 «Birhədlilər. Çoxhədlilər», dərs 1 «Birhədlilər və onların hasili», s. 78–79 — təriflər, qaydalar və sitatlar; alqoritm və tapşırıq növləri s. 80–82. Sual növləri DİM-in riyaziyyat test toplularına (2023, 2025) və Güvən tapşırıqlar toplusuna model kimi baxılaraq hazırlanıb. Dərsdəki bütün nümunə, məsələ və sual ədədləri bu dərs üçün düşünülüb; «vuruq kafelləri» izah üçün modeldir.