Rasional ədədlər üzərində əməllər və xassələri

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin: şənbə səhəridir, bazar qaynayır. Sinif nümayəndəsi Kamran əlində kiçik bir dəftər tutub. Bu, sinfin ekskursiya kassasının dəftəridir. Bu gün dəftərə dörd sətir yazılıb. Gəlin, onları birlikdə oxuyaq. Birinci sətir: kassaya üç manat iyirmi yeddi qəpik qoyuldu. İkinci sətir: meyvəyə altı manat əlli qəpik xərcləndi. Üçüncü sətir: suya iki manat əlli qəpik getdi. Dördüncü sətir: kassaya daha bir manat yetmiş üç qəpik qoyuldu. İndi sual: bu dörd sətirdən sonra kassa böyüdü, yoxsa kiçildi? Və nə qədər? Sətir-sətir hesablasaq, qəpiklər qarışır, mənfi ədədlər yaranır. Amma bunu ağılda, bir neçə saniyəyə hesablamaq olar. Necə? Bunun açarı bugünkü mövzudadır: rasional ədədlər üzərində əməllər və onların xassələri. Cavaba dərsin sonunda qayıdacağıq. Əvvəlcə bir sual verək: rasional ədədlərlə hansı əməlləri etmək olar? Xatırlayın, rasional ədədlər böyük bir ailədir. Bu ailəyə tam ədədlər, adi kəsrlər, onluq kəsrlər və dövri kəsrlər daxildir. Həm müsbətlər, həm mənfilər. Kiçik ailələrdən başlayaq. İki natural ədədi toplasaq, yenə natural ədəd alırıq. Amma üçdən beşi çıxsaq, mənfi iki alınır. Mənfi iki isə natural ədəd deyil. Tam ədədlərdə də belə hal var. Biri ikiyə bölsək, yarım alınır. Yarım isə tam ədəd deyil. Yəni bu ailələrdə bəzi əməllər bizi ailədən kənara çıxarır. Rasional ədədlər isə bu baxımdan rahat ailədir. Dərslikdə belə deyilir: rasional ədədlər üzərində toplama, çıxma, vurma, bölmə əməllərini yerinə yetirmək mümkündür, və bu əməllərin nəticəsi də rasional ədəddir. Bircə şərt var: sıfıra bölmək olmaz. Bu qayda hər yerdə var, rasional ədədlərdə də. İndi toplamaya keçək. Dərslik deyir ki, rasional ədədlərin toplanması tam və kəsr ədədlərin toplanması kimi icra edilir. Yəni yeni qayda yoxdur, tanış qaydalar işləyir. Onları pulla düşünmək ən asandır. Müsbət ədəd cibimizdəki puldur, mənfi ədəd isə borcdur. İki ədədin işarəsi eynidirsə, məsələn, ikisi də borcdursa, onları sadəcə birləşdiririk. İki manat borc və daha bir manat əlli qəpik borc birlikdə üç manat əlli qəpik borc edir. Yəni modulları toplayırıq, ümumi işarəni isə saxlayırıq. İşarələr müxtəlifdirsə, pul ilə borc qarşılaşır. Cibinizdə beş manat var, iki manat da borcunuz var. Borcu qaytarırsınız, əlinizdə üç manat qalır. İndi əksinə: iki manat pulunuz, beş manat borcunuz var. Bütün pulu versəniz də, yenə üç manat borclu qalırsınız. Deməli, böyük moduldan kiçik modulu çıxırıq. Cavabın işarəsini isə modulu böyük olan ədəd həll edir. Bəs çıxma? Dərslikdə gözəl bir cümlə var: iki ədədin fərqini tapmaq üçün azalanın üzərinə çıxılanın əksini gəlmək olar. Yəni hər çıxma, əslində, toplamadır. Dörddən yeddini çıxmaq, dördün üzərinə mənfi yeddini gəlmək deməkdir. Cavab mənfi üçdür. Ən çox səhv mənfi ədədi çıxanda olur. Təsəvvür edin, kimsə sizin iki manat borcunuzu silir. Borcun silinməsi sizi varlandırır, elə deyilmi? Mənfi ədədi çıxmaq, müsbət ədədi gəlmək deməkdir. Məsələn, birdən mənfi ikini çıxsaq, cavab müsbət üç olur. İndi vurma və bölməyə keçək. Burada da iki sual veririk: cavabın işarəsi nədir, və modulu nədir? Modulu adi kəsrlərlə və onluq kəsrlərlə tanış hesabla tapırıq. İşarə üçün isə dərsliyin qaydası var: eyni işarəli iki ədədin hasili müsbət, müxtəlif işarəli iki ədədin hasili isə mənfi işarəli olur. Bəs vuruqlar çox olanda? Belə halda mənfi vuruqları sayın. Hər iki mənfi vuruq birlikdə müsbət verir. Mənfi vuruqların sayı cütdürsə, hasil müsbətdir. Sayı təkdirsə, hasil mənfidir. Məsələn, üç mənfi vuruqdan ikisi cüt olub müsbət verir, biri isə tək qalır. Ona görə hasil mənfi olur. Əlbəttə, vuruqlardan biri sıfırdırsa, hasil də sıfırdır. Bölmə də vurmaya çevrilir. Dərslik deyir: rasional ədədləri bölərkən bölünəni bölənin tərsinə vurmaq lazımdır. Kəsrin tərsini tapmaq üçün surəti ilə məxrəcinin yerini dəyişirik. Üçdə ikinin tərsi ikidə üçdür. Diqqət edin: tərs ədəd işarəni saxlayır. Mənfi yarımın tərsi mənfi ikidir. Məsələn, mənfi altını mənfi yarıma bölək. Bu, mənfi altını mənfi ikiyə vurmaq deməkdir. İki mənfi ədədin hasili müsbətdir, altı dəfə iki isə on ikidir. Cavab müsbət on iki. Bir şeyi də unutmayın: sıfırın tərsi yoxdur. Ona görə də sıfıra bölmək olmaz. İndi ən maraqlı hissəyə gəldik: xassələr. Dərslikdə belə bir sual var: sizcə, toplamanın və vurmanın xassələrini nə üçün tətbiq edirlər? Cavab sadədir: hesabı asanlaşdırmaq üçün. Birinci xassə yerdəyişmə qanunudur. Dərslik deyir: toplananların yerini dəyişdikdə cəm dəyişmir. Vurmada da belədir: vuruqların yerini dəyişdikdə hasil dəyişmir. İkinci xassə qruplaşdırma qanunudur. Üç ədədi toplayanda, hansı ikisini əvvəl toplayacağımızı özümüz seçə bilərik. Vurmada da eynilə. Bu iki qanun birlikdə bizə azadlıq verir: ədədləri dostlarına görə qruplaşdıra bilərik. Məsələn, yarımı mənfi on yeddiyə, sonra da ikiyə vurmalıyıq. Yarımla ikini yan-yana gətirib, əvvəl onları vuraq. Yarım dəfə iki bir edir. Bir dəfə mənfi on yeddi isə mənfi on yeddidir. Hesab bitdi. Üçüncü xassə paylama qanunudur. Dərslik deyir: ədədi cəmə vurmaq üçün bu ədədi toplananların hər birinə vurub alınan hasilləri toplamaq olar. Fərqə vuranda da belədir: azalanı və çıxılanı həmin ədədə vurub, birinci hasildən ikinci hasili çıxırıq. Bu qanun mağazada çox işə yarayır. Bir kitab dörd manat doxsan qəpikdirsə, beş kitab neçəyədir? Dörd manat doxsan qəpik beş manatdan azdır, cəmi on qəpik. Beş dəfə beş manat iyirmi beş manat edir. Beş dəfə on qəpik isə əlli qəpik edir. İyirmi beş manatdan əlli qəpiki çıxırıq: iyirmi dörd manat əlli qəpik. Bir xəbərdarlıq da var. Bu azadlıq yalnız toplamaya və vurmaya aiddir. Çıxmada və bölmədə yerləri və qrupları dəyişmək olmaz. Məsələn, səkkizi dördə bölək, sonra cavabı ikiyə bölək. Bir alınır. İndi isə əvvəl dördü ikiyə bölək, sonra səkkizi bu cavaba bölək. Dörd alınır. Nəticələr fərqlidir. Ona görə çıxmanı əvvəlcə mənfi ədədin toplanmasına çeviririk, sonra rahatca qruplaşdırırıq. Son addım: əməllərin sırası. Dərslikdə deyilir: rasional ədədlər üzərində əməllər yerinə yetirilərkən əməllərin yerinə yetirilmə ardıcıllığına riayət olunur. Yəni əvvəl mötərizələr, sonra vurma və bölmə soldan sağa, ən sonda isə toplama və çıxma, yenə soldan sağa. Lövhədə belə yazılıb: on, çıx, iki, vur, mənfi üç. Əvvəl vurma: iki dəfə mənfi üç mənfi altıdır. Ondan mənfi altını çıxmaq, onun üzərinə altı gəlmək deməkdir. Cavab on altıdır. Əgər tələsib əvvəl ondan ikini çıxsaq, səkkiz alarıq. Səkkizi mənfi üçə vursaq, mənfi iyirmi dörd alınar. Belə cavabın həm işarəsi, həm modulu səhvdir. İndi bazara, Kamranın dəftərinə qayıdaq. Dörd sətir: üç manat iyirmi yeddi qəpik gəldi, altı manat əlli qəpik getdi, iki manat əlli qəpik getdi, bir manat yetmiş üç qəpik gəldi. Dərsliyin məsləhəti ilə hər çıxmanı mənfi ədədin toplanmasına çeviririk. İndi hamısı toplamadır. Deməli, yerlərini dəyişib, istədiyimiz kimi qruplaşdıra bilərik. Gələnləri bir yerə yığaq: üç manat iyirmi yeddi qəpik və bir manat yetmiş üç qəpik. İyirmi yeddi qəpiklə yetmiş üç qəpik düz bir manat edir, cəmi beş manat. Gedənləri də yığaq: altı manat əlli qəpik və iki manat əlli qəpik, cəmi doqquz manat. Beş manat gəlib, doqquz manat gedib. Kassa dörd manat kiçilib. Dərslikdəki eyni misalda cavab belə yazılır: mənfi dörd. Bugünkü dərsin əsas fikri budur. Hər əməldə iki sual verin: işarə nədir, və modul nədir? Çıxmanı əks ədədin toplanmasına, bölməni isə tərs ədədə vurmaya çevirin. Sonra yerdəyişmə, qruplaşdırma və paylama qanunları ilə ədədləri dostlarına görə qruplaşdırın. Amma əməllərin sırasını heç vaxt pozmayın. Addım-addım həll olunan nümunələri oxu dərsində və videoda tapacaqsınız. Növbəti dərsdə həndəsəyə keçəcəyik: perpendikulyar və mail. Dinlədiyiniz üçün sağ olun. Görüşənədək!