Rasional ədədlər üzərində əməllər və xassələri

• 2.12
• 7-ci sinif
• Rasional ədədlər

Rasional ədədlər üzərində əməllər və xassələri

−1,2 · (0,5 − 3) : (−0,6) — cavab müsbətdir, yoxsa mənfi? Hər addımda iki sual ver: işarə nədir və modul nədir. Onda ifadə üç pillədə −5-ə enir.

Bu dərsdə

• dörd əməldə cavabın işarəsini qayda ilə, modulunu kəsr hesabı ilə tapacaqsan;
• yerdəyişmə, qruplaşdırma və paylama xassələri ilə hesabı ağılda qısaldacaqsan;
• adi və onluq kəsrlər qarışan ifadəni əməllər sırası ilə pillə-pillə hesablayacaqsan.

İfadə üç pillədə hesablanır: hər pillədə işarə və modul

Başla Yenidən Yenidən

1. İki sual
2. İşarə qaydası
3. Dörd əməl
4. Xassələr
5. Ağılda hesab
6. Əməllərin sırası
7. Diqqət
8. Həyatda
9. Özünü yoxla
10. Yekun

1 · Kəşf et

Hər hesab iki sualdır

Rasional ədəd m/n şəklində yazıla bilən ədəddir: tam ədədlər, adi və onluq kəsrlər, dövri onluq kəsrlər. Dərslikdə deyildiyi kimi, iki rasional ədədin cəmi, fərqi, hasili və qisməti yenə rasional ədəddir (bölən 0 olmamalıdır). Yeni hesab üsulu yoxdur — kəsrlərlə necə hesablayırdınsa, elə hesablayırsan. Yeni olan tək şey: cavabın iki hissəsi var.

İşarəCavab müsbətdir, yoxsa mənfi?

Bunu qayda deyir — növbəti mərhələdəki 2×2 cədvəl.

ModulCavab 0-dan nə qədər uzaqdır?

Bunu adi kəsr hesabı verir: |−2,5| = 2,5, |3/4| = 3/4.

Ədəd oxunda 1,5 + (−4) hesablayaq. 0-dan sağa 1,5 addım atırıq, sonra sola 4 addım. Oxların uzunluğu — modullar, istiqaməti — işarələr.

Sola gedən ox daha uzundur, ona görə cavab 0-dan solda qalır: işarə −. Nə qədər solda? Uzun oxdan qısanı çıxırıq: 4 − 1,5 = 2,5.

1,5 + (−4) = −2,5

Ədəd oxunda 1,5 + (−4) = −2,5

Uzun ox (modul 4) qısa oxdan (modul 1,5) 2,5 vahid uzundur və sola baxır — cavab −2,5.

Başla Yenidən Yenidən

2 · Qayda

İşarə qaydaları: bir cədvəl, dörd xana

Sətirlər əməli, sütunlar işarələri seçir. Hər xanada iki cavab var: işarə və modul. Çıxma ayrıca xana istəmir: a − b = a + (−b), sonra toplama sətri işləyir.

İşarə qaydaları: toplama, vurma və bölmə; eyni və müxtəlif işarələr

Dərslikdə vurma belə deyilir: «eyni işarəli iki ədədin hasili müsbət, müxtəlif işarəli iki ədədin hasili isə mənfi işarəli olur». Bölmədə də eynidir, çünki bölmə tərsinə vurmadır. Çox vuruq olanda mənfiləri say: cüt saydadırsa +, tək saydadırsa −.

3 · Hesabla

Dörd əməl, addım-addım

Hər əməl üçün qısa qayda və bir nümunə. Nümunələrdə hər addımın yanında səbəbi yazılıb — öz həllini də belə yaz.

Toplama

• Eyni işarələr: modulları topla, ümumi işarəni yaz.
• Müxtəlif işarələr: böyük moduldan kiçiyi çıx, modulu böyük olanın işarəsini yaz.

(−a) + (−b) = −(a + b)

Nümunə 1Qarışıq ədədlər, müxtəlif işarə

Hesablayın: −23/4 + 15/6

1. İşarələr müxtəlifdir — modulları çıxacağıq.
2. Ortaq məxrəc 12: 23/4 = 29/12, 15/6 = 110/12.
3. İşarə29/12 > 110/12, modulu böyük olan mənfidir → cavab mənfi.
4. Modul29/12 − 110/12 = 121/12 − 110/12 = 11/12.

−23/4 + 15/6 = −11/12

Çıxma

Dərslikdə: «iki ədədin fərqini tapmaq üçün azalanın üzərinə çıxılanın əksini gəlmək olar». Çıxmanı toplamaya çevir, sonra toplama qaydası.

a − b = a + (−b)

Nümunə 2Mənfi ədədi çıxmaq

Hesablayın: −0,8 − (−21/2)

1. Çıxılanın əksini əlavə et: −0,8 − (−21/2) = −0,8 + 21/2.
2. Eyni yazılışa gətir: 21/2 = 2,5.
3. İşarəMüxtəlif işarələr; modulu böyük olan 2,5 müsbətdir → +.
4. Modul2,5 − 0,8 = 1,7.

−0,8 − (−21/2) = 1,7

Vurma

Modulları vur. İşarələr eynidirsə cavab müsbət, müxtəlifdirsə mənfidir.

(−a) · (−b) = ab, (−a) · b = −ab

Nümunə 3Qarışıq ədəd və onluq kəsr

Hesablayın: −11/5 · 0,75

1. İşarə− · + = −. İşarəni əvvəl yaz, sonra yalnız modullarla işlə.
2. Kəsrə çevir: 11/5 = 6/5, 0,75 = 3/4.
3. Modul6/5 · 3/4 = 18/20 = 9/10.

−11/5 · 0,75 = −9/10 = −0,9

Bölmə

Dərslikdə: «rasional ədədləri bölərkən bölünəni bölənin tərsinə vurmaq lazımdır». İşarə vurmadakı kimidir. 0-a bölmək olmaz — 0-ın tərsi yoxdur.

a : b = a · 1/b, b ≠ 0

Nümunə 4Mənfi kəsrə bölmək

Hesablayın: −2,4 : (−3/5)

1. İşarə− : − = +.
2. Kəsrə çevir: 2,4 = 24/10 = 12/5.
3. Bölənin tərsi: 3/5 → 5/3. Tərs ədəd işarəni saxlayır: −3/5-in tərsi −5/3-dir.
4. Modul12/5 · 5/3 = 60/15 = 4.

−2,4 : (−3/5) = 4

4 · Qayda

Xassələr və nəyə kömək edirlər

Dərslik soruşur: «Sizcə, toplamanın və vurmanın xassələrini nə üçün tətbiq edirlər?» Cavab son sütundadır: xassə cavabı dəyişmir, amma hesabı qısaldır. xatırla işarəli sətirlər əvvəlki siniflərdən tanışdır.

Toplama və vurmanın xassələri: düstur, nümunə və nəyə kömək etdiyi

5 · Hesabla

Ağılda hesab: xassə ilə qısa yol

Hesablamağa başlamazdan əvvəl ifadəyə bax: «dost» cüt, əks ədədlər və ya ortaq vuruq varmı? Hər kartın üstündəki etiket hansı xassənin işlədiyini deyir.

Yerdəyişmə + qruplaşdırma

0,25 · (−7,3) · 40= (0,25 · 40) · (−7,3)= 10 · (−7,3) = −73

0,25 · 40 = 10 — «dost» cüt. Bir mənfi vuruq → cavab mənfi.

Əks ədədlər

−3,7 + 54/9 + 3,7= (−3,7 + 3,7) + 54/9= 0 + 54/9 = 54/9

Onluq və adi kəsri qarışdırmağa ehtiyac qalmadı.

Paylama

12 · (3/4 − 5/6)= 12 · 3/4 − 12 · 5/6= 9 − 10 = −1

12 hər iki məxrəcə bölünür — ortaq məxrəc lazım deyil.

Paylama, tərsinə

1,3 · (−2,7) + 1,3 · (−7,3)= 1,3 · (−2,7 + (−7,3))= 1,3 · (−10) = −13

Ortaq vuruq 1,3 xaricə çıxdı, mötərizədə −10 qaldı.

6 · Pillə-pillə

Əməllərin sırası: bir pillədə bir əməl

Dərslik: «Rasional ədədlər üzərində əməllər yerinə yetirilərkən əməllərin yerinə yetirilmə ardıcıllığına riayət olunur.» Əvvəl sıranı ifadənin üstündə nömrələ, sonra hesabla.

(−1/2 + 0,75) · 22/3 − 1,2 : (−3/5)

• 1mötərizə
• 2vurma
• 3bölmə
• 4çıxma

Vurma və bölmə bərabər hüquqludur — soldan sağa. Toplama və çıxma ən sonda.

İfadə

(−1/2 + 0,75) · 22/3 − 1,2 : (−3/5)

1. Mötərizə = 1/4 · 22/3 − 1,2 : (−3/5) −1/2 + 0,75 = −0,5 + 0,75 = 0,25 = 1/4 Müxtəlif işarələr: modulu böyük olan 0,75 müsbətdir → +; modul 0,75 − 0,5.
2. Vurma = 2/3 − 1,2 : (−3/5) 1/4 · 22/3 = 1/4 · 8/3 = 8/12 = 2/3 Qarışıq ədədi kəsrə çevir; + · + = +.
3. Bölmə = 2/3 − (−2) 1,2 : (−3/5) = 6/5 · (−5/3) = −2 Bölənin tərsinə vur; + · − = −, modul 6/5 · 5/3 = 2.
4. Çıxma = 22/3 2/3 − (−2) = 2/3 + 2 = 22/3 a − b = a + (−b): mənfi ədədi çıxmaq onun modulunu əlavə etməkdir.

Cavab: 22/3

Başla Yenidən Yenidən

Adi və ya onluq kəsr? Hansı sadədirsə: 0,75 = 3/4 və 1,2 = 6/5 kimi asan çevrilənləri çevir. Dövri onluq kəsri (məsələn 0,(3)) isə həmişə əvvəl adi kəsrə çevir — 2.3-cü mövzudakı kimi.

7 · Diqqət

Dörd işarə səhvi

Bu səhvlərin hamısında modul düz hesablanıb — itən işarədir. Ona görə işarəni ayrıca addım kimi yaz.

Mənfi ədədi çıxmaq

Səhv

2/3 − (−2) = −11/3

Çıxılanın işarəsi dəyişdirilməyib: 2/3 − 2 hesablanıb.

Düz

2/3 + 2 = 22/3

(−2)-ni çıxmaq 2 əlavə etməkdir: a − (−b) = a + b.

Müxtəlif işarəli toplama

Səhv

−1,5 + 4 = −2,5

İşarə birinci toplanandan götürülüb.

Düz

−1,5 + 4 = 2,5

İşarəni modulu böyük olan verir: |4| > |−1,5|, deməli +.

Mənfi ədədin tərsi

Səhv

−6 : (−2/3) = −6 · 3/2 = −9

Tərsini alanda işarə də dəyişdirilib.

Düz

−6 · (−3/2) = 9

Tərs ədəd işarəni saxlayır: −2/3-in tərsi −3/2-dir. − · − = +.

Mənfi vuruğu paylamaq

Səhv

−2 · (3 − 0,5) = −6 − 1 = −7

İkinci hasilin işarəsi itib.

Düz

−2 · 3 − (−2) · 0,5 = −6 + 1 = −5

−2-ni hər həddə vur: (−2) · (−0,5) = +1. Yoxla: −2 · 2,5 = −5.

8 · Həyatda

Termometr gün ərzində

Səhər saat 06:00-da hava −3,5 °C idi. 14:00-a qədər temperatur 61/4 °C qalxdı, sonra 4 saat ərzində hər saat 0,75 °C düşdü. Saat 18:00-da termometr nə göstərir?

−3,5 + 61/4 + 4 · (−0,75) = −3,5 + 6,25 + (−3) vurma əvvəl = (−3,5 + (−3)) + 6,25 yerdəyişmə = −6,5 + 6,25 = −0,25

18:00-da −0,25 °C

Mənfiləri bir yerə yığmaq (yerdəyişmə qanunu) hesabı iki addıma endirdi. Qrafikdə də görünür: ən isti an 14:00-dır (2,75 °C), axşam isə temperatur 0-dan bir az aşağı düşür.

Gün ərzində temperatur: −3,5 °C-dən 2,75 °C-yə, sonra −0,25 °C-yə

Artım +6,25°, eniş 4 · (−0,75°) = −3°. İşarə istiqaməti, modul dəyişmənin ölçüsünü göstərir.

Başla Yenidən Yenidən

9 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq və ipucu çıxacaq. Hər sualın altında həll var.

1. Asan −2,4 + 0,9 = ? Sual 1: cavabı seç −3,3 −1,5 1,5 Düzdür! Müxtəlif işarələr: 2,4 − 0,9 = 1,5, işarəni −2,4 verir. Yox. Müxtəlif işarəlidə modulları çıxırıq, işarəni isə modulu böyük olan verir. Həllə bax |−2,4| = 2,4 > 0,9, deməli cavab mənfidir. Modul: 2,4 − 0,9 = 1,5. Cavab: −1,5.
2. Asan −3/4 · (−8/9) = ? Sual 2: cavabı seç 2/3 −2/3 27/32 Düzdür! − · − = +, modul 3/4 · 8/9 = 2/3. Yox. İki mənfinin hasili müsbətdir; vurmada kəsri çevirmirik — surəti surətə, məxrəci məxrəcə vur. Həllə bax İşarə: − · − = +. Modul: 3/4 · 8/9 = 24/36 = 2/3. Cavab: 2/3.
3. Orta 11/2 : (−0,3) = ? Sual 3: cavabı seç −0,45 5 −5 Düzdür! 3/2 · (−10/3) = −5. Yox. Bölmədə bölənin tərsinə vur: −0,3 = −3/10, tərsi −10/3 (işarə qalır). + : − = −. Həllə bax 11/2 = 3/2, −0,3 = −3/10. İşarə: + : − = −. Modul: 3/2 · 10/3 = 5. Cavab: −5.
4. Orta Vuruqları qruplaşdırıb hesablayın: 0,5 · (−3,9) · 40 Sual 4: cavabı seç −7,8 −78 78 Düzdür! (0,5 · 40) · (−3,9) = 20 · (−3,9) = −78. Yox. 0,5 · 40 = 20 (2 deyil), və bir mənfi vuruq olduğu üçün cavab mənfidir. Həllə bax Yerdəyişmə və qruplaşdırma: (0,5 · 40) · (−3,9) = 20 · (−3,9) = −78.
5. Çətin 1,2 − 0,8 · (−21/2) = ? Sual 5: cavabı seç −1 −0,8 3,2 Düzdür! Vurma əvvəl: 0,8 · (−2,5) = −2; 1,2 − (−2) = 3,2. Yox. Vurma çıxmadan əvvəldir; mənfi ədədi çıxmaq onun modulunu əlavə etməkdir. Həllə bax 1) 0,8 · (−2,5) = −2. 2) 1,2 − (−2) = 1,2 + 2 = 3,2. (1,2 − 0,8)-i əvvəl hesablasan −1, işarəni dəyişməsən −0,8 alınır — hər ikisi səhvdir.
6. Çətin (−2/3 + 0,5) : (−1/12) = ? Sual 6: cavabı seç 1/72 2 −2 Düzdür! −1/6 · (−12) = 2. Yox. Əvvəl mötərizə (−1/6), sonra −1/12-in tərsinə, yəni −12-yə vur; iki mənfi → müsbət. Həllə bax Mötərizə: −2/3 + 1/2 = −4/6 + 3/6 = −1/6. Bölmə: −1/6 : (−1/12) = −1/6 · (−12) = 2.

10 · Yekun

Üç şeyi yadda saxla

• İşarə + modulHər əməldə iki sual: işarəni 2×2 cədvəldən, modulu kəsr hesabından tap. Çıxma — əksini əlavə et, bölmə — tərsinə vur.
• Xassələr — qısa yolYerini dəyiş, qruplaşdır, payla: 0,25 · 40 və −3,7 + 3,7 kimi cütləri axtar.
• Sıra — pillə-pilləMötərizə → vurma və bölmə soldan sağa → toplama və çıxma. Hər pillədə bir əməl.

Növbəti mövzu: 2.13 Perpendikulyar və mail — həndəsəyə keçirik.

Mənbə: Riyaziyyat, 7-ci sinif dərsliyi (S. İsmayılova, S. Abdurahimov; Şərq-Qərb), «Rasional ədədlər üzərində əməllər və xassələri», s. 51–53 — qaydalar, qanunlar və sitatlar; tapşırıq növləri s. 53–56. Sual növləri DİM-in riyaziyyat test toplularına (2023, 2025) model kimi baxılaraq hazırlanıb. Dərsdəki bütün nümunə, məsələ və sual ədədləri bu dərs üçün düşünülüb.