Audio dərs · Müddət
9:59
Mətn (transkript)
Təsəvvür et: payızın sakit bir günüdür. Sevinc və Kənan əkizdirlər, ad günləri də eyni gündür. Bu il evdə böyük bir ortaq məclis olacaq. Anaları deyir: hərəniz öz dostlarınızın siyahısını yazın, hər biriniz beş ad. Sevinc tez yazır. Onun siyahısında beş ad var: Leyla, Murad, Nigar, Günay və Fidan. Bir də təkrar edək: Leyla, Murad, Nigar, Günay, Fidan. Kənan da yazır. Onun siyahısında da beş ad var: Murad, Rauf, Tural, Elvin və Samir. Bir daha: Murad, Rauf, Tural, Elvin, Samir. Ana iki vərəqə baxır və hesablayır: beş üstəgəl beş. Masanın ətrafına o qədər stul düzür, hər qonağa bir stul. Günortadan sonra qapının zəngi çalınır. Qonaqlar bir-bir gəlir və hər biri bir stula oturur. Dəvət olunanların hamısı gəlib. Amma masanın başında bir stul boş qalıb. Ana təəccüblənir. Siyahıdakı hər kəs buradadır. Bəs bu stul kimindir? İki sual var. Birinci sual: boş stul haradan çıxdı? İkinci sual: stulları düzməzdən əvvəl qonaqların sayını necə düz tapmaq olardı? Kiçik bir ipucu: cavab bir addadır. Salam! Bu gün çoxluqlar üzərində əməllərdən danışacağıq: əvvəlcə tanış əməlləri xatırlayacağıq, sonra onların xassələrini və tamamlayıcını öyrənəcəyik. Ən sonda elementləri düz saymağın sirrini açacağıq. Hər siyahı bir çoxluqdur, siyahıdakı hər ad isə onun elementidir. Çoxluqda hər element yalnız bir dəfə yazılır. Gəl, bu iki siyahını belə adlandıraq: Sevincin çoxluğu və Kənanın çoxluğu. Birinci əməl birləşmədir. Birləşməyə ən azı bir çoxluqda olan bütün elementlər daxildir. Məclisin qonaqları da məhz budur. Gəl, yavaş-yavaş sayaq. Əvvəl Sevincin qonaqları: Leyla bir, Murad iki, Nigar üç, Günay dörd, Fidan beş. İndi Kənanın siyahısı. Murad artıq sayılıb, onu keçirik. Rauf altı, Tural yeddi, Elvin səkkiz, Samir doqquz. Deməli, qonaqlar doqquz nəfərdir. İkinci əməl kəsişmədir. Kəsişməyə hər iki çoxluqda olan elementlər daxildir. Sevincin siyahısında Murad var, Kənanın siyahısında da Murad var. Ortaq ad yalnız birdir. Deməli, kəsişmə bir elementdən ibarətdir: Murad. Üçüncü əməl fərqdir. Sevincin çoxluğu ilə Kənanın çoxluğunun fərqinə Sevincdə olub, Kənanda olmayan elementlər daxildir: Leyla, Nigar, Günay və Fidan. Tərsinə götürsək, yalnız Kənanın çağırdıqları alınır: Rauf, Tural, Elvin və Samir. Adlar tamam başqadır, deməli, fərqdə sıra vacibdir. İndi iki dairə təsəvvür et, bir-birinin üstünə bir az girsin: sol dairə Sevincin siyahısı, sağ dairə Kənanın. Ortaq hissədə Murad dayanır, o, hər ikisindədir. Qalan hissələrdə dörd və dörd ad var, onlar yalnız birindədir. Dairələrdən kənarda isə heç birində olmayan uşaqlar qalır. Bu, Eyler-Venn diaqramıdır. Yeddinci sinifdə bu əməllərin xassələrini öyrənirik. Birinci xassə yerdəyişmə xassəsidir: siyahıları hansı sıra ilə birləşdirsən də, eyni qonaqlar alınır. Kəsişmədə də ortaqda yenə Murad qalır. Fərq üçün isə bu xassə doğru deyil. İkinci xassə qruplaşdırma xassəsidir. Tutaq ki, anaları da üçüncü siyahı yazıb. Üç siyahını birləşdirəndə əvvəl hansı ikisini birləşdirməyin fərqi yoxdur: nəticə ən azı bir siyahıda olan hər kəsdir. Kəsişmədə də belədir. Amma birləşmə ilə kəsişmə qarışanda mötərizənin yeri vacibdir. İndi boş çoxluq. Tutaq ki, Kənan yeni siyahı açıb, amma ora heç kimi yazmayıb. Boş siyahını Sevincin siyahısı ilə birləşdirsən, Sevincin siyahısı olduğu kimi qalır, kəsişmə isə boşdur. Bir çoxluqdan özünü çıxsan da, boş çoxluq qalır. İndi alt çoxluq. Sevincin qonaqlarından üçü onların binasında yaşayır: Leyla, Nigar və Günay. Bir də təkrar edək: Leyla, Nigar, Günay. Hər biri Sevincin siyahısında da var, deməli, bu, alt çoxluqdur. Belə olanda birləşmə böyük çoxluğu, kəsişmə isə kiçik çoxluğu verir. İndi yeni anlayış: tamamlayıcı. Məclisdən sonra hava qaralır. Qonşular evə piyada gedəcək, qalan qonaqları isə ata maşınla aparacaq. Sevincin qonaqlarından kimləri aparacaq? Sevincin siyahısından qonşuları çıxırıq: Leyla, Nigar və Günay çıxır, Murad və Fidan qalır. Dərslik bunu belə adlandırır: kiçik çoxluq böyük çoxluğun alt çoxluğu olanda, böyük çoxluqla kiçik çoxluğun fərqinə kiçik çoxluğun böyük çoxluğa tamamlayıcısı deyilir. Bizim misalda bu, Murad və Fidandır: onları qonşulara əlavə etsən, Sevincin siyahısı tamamlanır. Burada bir tələ var. Tamamlayıcı həmişə müəyyən bir böyük çoxluğun içində götürülür. Qonşuların tamamlayıcısını binada yaşamayan bütün insanlar kimi götürsən, şəhərin yarısı atanın maşınına sığmalı olar! Ona görə əvvəlcə soruş: hansı çoxluğun içində? İndi boş stula qayıdaq. Ana iki siyahını topladı: beş üstəgəl beş. Bu toplamada Sevincin hər qonağı bir dəfə sayıldı, Kənanın hər qonağı da bir dəfə sayıldı. Bəs Murad? Murad hər iki siyahıdadır, ona görə iki dəfə sayıldı. İki qrupu toplayanda ortaq üzvlər iki dəfə sayılır. Bu, bugünkü dərsin əsas fikridir. Düzəliş sadədir: iki dəfə sayılanı bir dəfə çıxmaq. Qaydanı bir dəfə sözlə deyək: birləşmənin elementlərinin sayı iki çoxluğun elementlərinin saylarının cəmindən kəsişmənin elementlərinin sayını çıxmaqla tapılır. Məclisdə kəsişmədə bir ad var, Murad. Onu bir dəfə çıxırıq və görürük: stullardan biri artıq idi. Bu qayda böyük saylarda daha çox lazımdır. Məhəllə çörəkxanasının sahibi Səməd dayı hər gün iki qeyd aparır. Bu gün səhər onun dükanından otuz yeddi nəfər çörək alıb. Axşam otuz beş nəfər alıb. Bu adamların dördü həm səhər, həm də axşam gəlib. Bu gün dükana neçə müxtəlif adam gəlib? Tələsən adam deyər: otuz yeddi üstəgəl otuz beş, yetmiş iki. Amma yetmiş iki satışların sayıdır. Həm səhər, həm axşam gələn dörd nəfər iki dəfə sayılıb. Bu dörd nəfəri bir dəfə çıxırıq və altmış səkkiz alırıq. Bu gün çörəkxanaya altmış səkkiz müxtəlif adam gəlib. Bəzən məsələ tərsinə qurulur: birləşmənin sayı məlumdur, kəsişmə soruşulur. Belə olanda iki qrupun cəmi birləşmədən nə qədər çoxdursa, ortaq hissə də o qədərdir. İndi dörd tələ. Birinci: ortaq üzvləri iki dəfə saymaq. İkinci: fərqin sırasını dəyişmək. Üçüncü: yalnız Sevincin qonaqlarını onun bütün qonaqları ilə qarışdırmaq, axı Murad da Sevincin qonağıdır. Dördüncü: tamamlayıcını böyük çoxluqdan kənarda axtarmaq. Gəl, məclisə qayıdaq. Boş stul kimin idi? Muradın! Murad hər iki siyahıda idi və ana onu iki dəfə saymışdı. Qonaqları əvvəlcədən düz saymaq üçün siyahıları toplamaq, sonra ortaq adları bir dəfə çıxmaq lazım idi. Bu gün nə öyrəndik? Birləşmə ən azı birində olanlardır, kəsişmə hər ikisində olanlar, fərq isə yalnız birincidə olanlar. Birləşmədə və kəsişmədə sıra önəmsizdir, fərqdə vacibdir. Tamamlayıcı alt çoxluğu böyük çoxluğa qədər tamamlayır. Yadda saxlamaq üçün bir fikir: iki qrupu toplayanda ortaq üzvlər iki dəfə sayılır. Ortaq hissəni bir dəfə çıx, hər qonağa bir stul düşəcək. Addım-addım hesablamaları və yeni misalları bu mövzunun oxu dərsində tapa bilərsən. Dinlədiyin üçün sağ ol, növbəti dərsdə görüşənədək!