Çoxluqlar üzərində əməllər

• 2.53
• 7-ci sinif
• Çoxluqlar

Çoxluqlar üzərində əməllər

Usta avtovağzal üçün lövhə hazırlayır və hər hərfi möhürlə vurur: bakı — qax. Lövhədə 7 hərf var, amma ustaya cəmi 6 möhür lazımdır. Niyə? Çünki a hərfi hər iki sözdədir və onun möhürü bir dəfə götürülür: 4 + 3 − 1 = 6.

Bu dərsdə

• birləşmə, kəsişmə və fərqi xatırlayıb onların xassələrini (yerdəyişmə, qruplaşdırma, alt çoxluq və ∅ ilə əməllər) tətbiq edəcəksən;
• B⊂A olanda B-nin A-ya tamamlayıcısını (B′ = A\B) tapacaq və üç çoxluğun Eyler-Venn diaqramını hissə-hissə oxuyacaqsan;
• birləşmənin elementlərinin sayını diaqramdan çıxan düsturla hesablayıb sorğu məsələlərini həll edəcəksən.

İki sözün hərfləri Eyler-Venn diaqramında: 6 möhür kifayətdir

BaşlaYenidənYenidən

1. Xatırla
2. Xassələr
3. Tamamlayıcı
4. Üç çoxluq
5. Elementlərin sayı
6. Hesabla
7. Diqqət
8. Həyatda
9. Özünü yoxla

1 · Xatırla

Bir lövhə, dörd əməl

6-cı sinifdən tanışsan: A∪B (birləşmə) — A-ya və ya B-yə, yəni ən azı birinə daxil olan elementlər; A∩B (kəsişmə) — hər ikisinə daxil olanlar; A\B (fərq) — A-da olub B-də olmayanlar.

Lövhədəki sözlərin hərflərini çoxluq kimi yazaq: A = {b, a, k, ı} («bakı»), B = {q, a, x} («qax»). Çoxluqda hər element bir dəfə yazılır. Əməli seç — diaqramda onun hissəsi rənglənəcək.

Əməli seç

A∪B A∩B A\B B\A

A və B hərf çoxluqlarının Eyler-Venn diaqramı

A∪B = {b, a, k, ı, q, x} — ustanın möhür dəsti: hər hərf bir dəfə, ortaq a təkrar götürülmür.

A∩B = {a} — hər iki sözdə olan hərf: iki dairənin ortaq hissəsi.

A\B = {b, k, ı} — yalnız «bakı» sözündə olan hərflər: A dairəsinin B-dən kənar hissəsi.

B\A = {q, x} — yalnız «qax» sözündə olan hərflər: B dairəsinin A-dan kənar hissəsi.

Hər hərf diaqramın yalnız bir hissəsində durur: b, k, ı — yalnız A-da, a — ortaq hissədə, q, x — yalnız B-də.

Dərslik bu mövzunu belə açır: «Çoxluqların birləşməsi, kəsişməsi, fərqi anlayışları ilə tanışsınız. Çoxluqlar üzərində aparılan bu əməllər müxtəlif xassələrə malikdir.» İndi bu xassələrə baxaq.

2 · Xassələr

Əməllərin xassələri

Yadda saxla

İstənilən A, B və C çoxluqları üçün:

Yerdəyişmə xassəsi

A∪B = B∪A, A∩B = B∩A

Qruplaşdırma xassəsi

A∪(B∪C) = (A∪B)∪C A∩(B∩C) = (A∩B)∩C

Yerdəyişmə və qruplaşdırma xassələri diaqramlarda

Dairələrin sırasını dəyişəndə rənglənən hissə dəyişmir. Ona görə A∪B∪C və A∩B∩C mötərizəsiz yazıla bilər.

Niyə belədir? Birləşmə «hamısını bir yerə yığ» deməkdir: hansı çoxluqdan başlasaq da, yığılan elementlər eynidir. Kəsişmə «hər birində olanı saxla» deməkdir — bu şərtdə də çoxluqların sırası rol oynamır.

Fərqdə yerdəyişmə yoxdur. Lövhədəki çoxluqlarla: A\B = {b, k, ı}, amma B\A = {q, x}. Bunlar diaqramın iki müxtəlif hissəsidir.

Dərslik daha üç xassə verir. Onları «zərdab» və «bərdə» sözlərinin hərfləri ilə yoxlayaq: A = {z, ə, r, d, a, b}, B = {b, ə, r, d}. B-nin hər hərfi A-da var, yəni B⊂A (B çoxluğu A-nın alt çoxluğudur).

Alt çoxluq: B⊂A olarsa

A∪B = A, A∩B = B

Birləşməyə yeni hərf gəlmir: A∪B = {z, ə, r, d, a, b}. Ortaq hərflər B-nin özüdür: A∩B = {b, ə, r, d}.

Özündən fərq

A\A = ∅

A-dan bütün elementlərini atsaq, heç nə qalmır — boş çoxluq ∅.

Boş çoxluqla

A∪∅ = A, A∩∅ = ∅

∅-in elementi yoxdur: birləşməyə heç nə əlavə etmir, kəsişmədə isə ortaq element qalmır.

3 · Tamamlayıcı

B′ = A\B

Tərif

«Əgər B⊂A olarsa, B′ = A\B çoxluğuna B-nin A çoxluğuna tamamlayıcısı deyilir.»

B⊂A: B′ = A\B

B′ — B-ni A-ya qədər «tamamlayan» elementlərdir: B ilə B′ birlikdə A-nı verir və ortaq elementləri yoxdur.

B′ = A\B: B-nin A-ya tamamlayıcısı

A — «azərbaycan» sözünün hərfləri, B — onun saitləri. Rənglənmiş halqa B′-dir.

Nümunə 1Saitlərin tamamlayıcısı

A — «azərbaycan» sözünün hərfləri, B — bu sözün saitləri. B′-ni tapın.

1. Hərfləri bir dəfə yazırıq: A = {a, z, ə, r, b, y, c, n}.
2. Saitlər: B = {a, ə}. Hər ikisi A-dadır, deməli B⊂A və tamamlayıcı mənalıdır.
3. A-dan B-nin elementlərini atırıq: qalanlar sözün samitləridir. B′ = {z, r, b, y, c, n}

Tamamlayıcı A-dan asılıdır. Eyni B = {a, ə} «nəftçala» sözünün hərfləri {n, ə, f, t, ç, a, l} içində götürülsə, B′ = {n, f, t, ç, l} alınır. Ona görə həmişə soruş: «Hansı çoxluğa görə tamamlayıcı?»

4 · Üç çoxluq

Üç dairə — yeddi hissə

Üç sözün hərfləri: A = {q, u, b, a} («quba»), B = {q, ə, b, l} («qəbələ»), C = {z, a, q, t, l} («zaqatala»). Üç dairə müstəvini yeddi hissəyə bölür: üç «yalnız» hissə, üç ikili ortaq hissə və üç dairənin ortaq mərkəzi.

İfadəni seç

A∩B yalnız A B∩(A∪C) A∪B∪C

Üç çoxluğun Eyler-Venn diaqramı: yeddi hissə

BaşlaYenidənYenidən

A∩B = {q, b} — iki hissə: A ilə B-nin C-dən kənar ortaq hissəsi (b) və mərkəz (q). Mərkəz də A-ya və B-yə daxildir.

yalnız A: {u} — A-nın B-yə də, C-yə də daxil olmayan tək hissəsi.

B∩(A∪C) = {q, b, l} — B-nin A-ya və ya C-yə daxil olan hərfləri: üç hissə. ə yalnız B-dədir, ona görə düşmür.

A∪B∪C = {q, u, b, a, ə, l, z, t} — yeddi hissənin hamısı, hər hərf bir dəfə.

Başla — dairələr və hərflər hissə-hissə yerləşir: əvvəl «yalnız» hissələr, sonra ikili ortaq hissələr, sonda mərkəz.

Dərslikdəki kimi «yalnız A çoxluğuna daxil olan elementlər» A-nın bir hissəsidir; A-nın özü isə dörd hissədən ibarətdir: A = {q, u, b, a}.

5 · Elementlərin sayı

n(A∪B) necə sayılır?

Çoxluğun elementlərinin sayı n(A) ilə yazılır: lövhədə n(A) = 4, n(B) = 3. Bəs birləşmədə neçə element var? Diaqramın hissələrini x, y, z ilə işarə edək.

Hissələrin element sayları x, y, z

x — yalnız A-da, y — hər ikisində, z — yalnız B-də olan elementlərin sayı.

n(A) = x + y, n(B) = y + zn(A) + n(B) = x + 2y + zn(A∪B) = x + y + z

n(A) + n(B) cəmində ortaq hissə iki dəfə sayılır. Bir dəfəsini çıxsaq, birləşmənin sayı alınır.

Yadda saxla

n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B)

Lövhədə: 4 + 3 − 1 = 6 möhür. Dərslik bu bərabərliyi çalışmalarda işlədir; biz onu diaqramdan çıxardıq.

Ortaq element yoxdursa

A∩B = ∅

Onda n(A∪B) = n(A) + n(B): heç nə iki dəfə sayılmır.

Tamamlayıcının sayı

n(B′) = n(A) − n(B)

B⊂A olanda B ilə B′ A-nı ortaq elementsiz bölür.

6 · Hesabla

Addım-addım

Nümunə 2Mötərizənin yeri

4-cü mərhələdəki A, B, C üçün B∩(A∪C) və (B∩A)∪C çoxluqlarını tapın və müqayisə edin.

1. Əvvəl mötərizə: A∪C = {q, u, b, a, l, z, t}.
2. B-nin bu çoxluqda olan hərfləri: B∩(A∪C) = {q, b, l}.
3. İkinci ifadədə əvvəl B∩A = {q, b}, sonra C ilə birləşmə: (B∩A)∪C = {q, b, a, l, z, t}. Nəticələr fərqlidir

Qruplaşdırma xassəsi yalnız eyni əməl üçündür (hamısı ∪ və ya hamısı ∩). ∪ ilə ∩ qarışanda mötərizəni atmaq və ya yerini dəyişmək olmaz.

Nümunə 3Kitabxana

Bir ayda məktəb kitabxanasından 47 şagird nağıl kitabı, 38 şagird ensiklopediya götürüb; onlardan 23-ü hər ikisini. Neçə şagird ən azı bir kitab götürüb?

1. A — nağıl, B — ensiklopediya götürənlər: n(A) = 47, n(B) = 38, n(A∩B) = 23.
2. «Ən azı biri» birləşmədir: n(A∪B) = 47 + 38 − 23 = 62.
3. Yoxlama hissələrlə: yalnız nağıl 24, hər ikisi 23, yalnız ensiklopediya 15; 24 + 23 + 15 = 62. 62 şagird

Nümunə 4Heç birində olmayanlar

Yay tətili haqqında 90 şagird soruşulub: 56 nəfər dənizdə, 49 nəfər dağda dincəlib, 12 nəfər isə heç birində olmayıb. Neçə şagird həm dənizdə, həm dağda olub?

1. Ən azı birində olanlar: n(A∪B) = 90 − 12 = 78. «Heç biri» birləşməyə daxil deyil.
2. Düsturdan: 78 = 56 + 49 − n(A∩B), deməli n(A∩B) = 105 − 78 = 27.
3. Yoxlama: yalnız dəniz 29, hər ikisi 27, yalnız dağ 22, heç biri 12; 29 + 27 + 22 + 12 = 90. 27 şagird

Nümunə 5Üç şəhər sorğusu

Turistlərdən Quba, Qəbələ və Zaqatalada olub-olmadıqları soruşulub; hər biri ən azı bir şəhərdə olub. Diaqramın hər hissəsində həmin hissəyə düşən turistlərin sayı yazılıb. a) Neçə turist Qubada olub? b) Neçəsi yalnız bir şəhərdə olub? c) Sorğuda neçə turist iştirak edib?

Sorğu: Quba, Qəbələ və Zaqatala

Hər ədəd bir hissənin sayıdır; bir turist yalnız bir hissədə sayılır.

1. a) Quba dairəsi dörd hissədir: 34 + 15 + 8 + 6 = 63.
2. b) «Yalnız bir şəhər» — üç «yalnız» hissə: 34 + 26 + 24 = 84.
3. c) Yeddi hissənin hamısı: 84 + 15 + 8 + 14 + 6 = 127. a) 63 b) 84 c) 127

7 · Diqqət

Üç tez-tez edilən səhv

Ortaq hissəni iki dəfə saymaq. Kitabxanaya bir həftədə səhər 37, axşam 29 oxucu gəlib; 11 oxucu həm səhər, həm axşam gəlib.

Səhv

n(A∪B) = 37 + 29 = 66

11 oxucu həm səhər, həm axşam sayılıb.

Düzgün

37 + 29 − 11 = 55

Ortaq hissə bir dəfə çıxılır.

Ortaq hissə iki dəfə sayılır

Açıq-yaşıl hissə hər iki zolaqdadır: zolaqları toplasaq, o iki dəfə sayılır.

«Yalnız A» ilə A-nı qarışdırmaq. 4-cü mərhələdəki diaqramda:

Səhv

A = {u}

Yalnız «yalnız A» hissəsi götürülüb.

Düzgün

A = {q, u, b, a}

A dairəsinin dörd hissəsinin hamısı.

Tamamlayıcını A-dan kənarda axtarmaq. A — «şamaxı» sözünün hərfləri {ş, a, m, x, ı}, B — onun saitləri {a, ı}.

Səhv

B′ = əlifbanın bütün samitləri

Tamamlayıcı A-nın hüdudundan çıxıb.

Düzgün

B′ = A\B = {ş, m, x}

Yalnız A-nın B-yə daxil olmayan elementləri.

8 · Həyatda

Kontaktlar birləşəndə

Telefonda 126, planşetdə 98 kontakt var; onlardan 41-i eyni adamlardır. Hər iki cihaz bir hesaba bağlananda proqram kontaktları birləşdirir və təkrarları silir. Siyahıda neçə kontakt qalacaq?

İki cihazın kontaktları birləşdirilir

Ortaq 41 kontakt hər iki cihazdadır — birləşmiş siyahıda onlar bir dəfə yazılır.

n(A∪B) = 126 + 98 − 41= 224 − 41 = 183

Təkrarları silmək düsturdakı «− n(A∩B)» deməkdir. Silinməsəydi, siyahıda 224 sətir olardı və 41 adam iki dəfə görünərdi.

Saylar şərtidir; düstur istənilən iki siyahının birləşməsi üçün eyni işləyir: dərnəklərin üzv siyahıları, iki sinfin ekskursiya siyahısı və s.

9 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan A = {l, e, r, i, k} («lerik» sözünün hərfləri) və B = {k, ü, r, d, ə, m, i} («kürdəmir» sözünün hərfləri). A∩B çoxluğunu tapın. Cavab variantları {l, e, r, i, k, ü, d, ə, m} {r, i, k} {l, e} {ü, d, ə, m} Düzdür! Kəsişməyə hər iki sözdə olan hərflər düşür. Kəsişmə «hər ikisində» deməkdir: A-nın hər hərfini B-də axtar. Həllə bax A-nın hərflərini B-də yoxlayırıq: l yox, e yox, r var, i var, k var. A∩B = {r, i, k}. {l, e, r, i, k, ü, d, ə, m} birləşmədir, {l, e} isə A\B.
2. Asan B = {ş, ə, k, i} və A = {ş, ə, m, k, i, r} çoxluqları verilib. A∪B çoxluğu hansıdır? Cavab variantları {ş, ə, k, i} {m, r} {ş, ə, m, k, i, r} ∅ Düzdür! B⊂A olduğu üçün A∪B = A. B-nin hər elementi artıq A-dadır. Birləşməyə nə əlavə olunur? Həllə bax B-nin bütün hərfləri (ş, ə, k, i) A-da var, yəni B⊂A. Birləşməyə yeni element gəlmir: A∪B = A = {ş, ə, m, k, i, r}. {ş, ə, k, i} isə A∩B-dir (B⊂A olanda A∩B = B).
3. Orta A = {o, r, d, u, b, a} («ordubad» sözünün hərfləri), B isə bu sözün saitləri: B = {o, u, a}. B′ (B-nin A-ya tamamlayıcısı) hansıdır? Cavab variantları {r, d, b} {o, u, a} ∅ əlifbanın bütün samitləri Düzdür! B′ = A\B: A-nın B-yə daxil olmayan hərfləri. Tamamlayıcını A-nın içində axtar: A-dan B-nin elementlərini at. Həllə bax B′ = A\B. A = {o, r, d, u, b, a}-dan saitləri (o, u, a) atırıq: B′ = {r, d, b}. Tamamlayıcı A-nın hüdudundan çıxmır, ona görə «bütün samitlər» olmaz; ∅ isə B\A-dır.
4. Orta n(A) = 43, n(B) = 36 və n(A∩B) = 19 olarsa, n(A∪B) neçədir? Cavab variantları 79 98 41 60 Düzdür! 43 + 36 − 19 = 60. Ortaq elementlər həm n(A)-da, həm n(B)-də sayılıb — onları bir dəfə çıx. Həllə bax n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B) = 43 + 36 − 19 = 60. Yoxlama: yalnız A 24, ortaq 19, yalnız B 17; 24 + 19 + 17 = 60.
5. Çətin A = {q, u, b, a}, B = {q, ə, b, l}, C = {z, a, q, t, l} (4-cü mərhələdəki çoxluqlar). (A∩C)∪(B∩C) çoxluğunu tapın. Cavab variantları {q} {q, a, l} {q, b, a, l, z, t} {z, a, q, t, l} Düzdür! Bu, C-nin A-da və ya B-də olan hərfləridir. Əvvəl iki mötərizəni ayrıca hesabla, sonra onları birləşdir. Həllə bax A∩C = {q, a}, B∩C = {q, l}. Birləşmə: {q, a, l}. Diaqramda bu, C dairəsinin A və ya B ilə örtülən üç hissəsidir; z və t yalnız C-dədir.
6. Çətin Məktəb yarışında 70 şagirdin hər biri qaçış və tullanmadan ən azı birində çıxış edib. Qaçışda 43, tullanmada 50 şagird çıxış edibsə, neçə şagird hər ikisində çıxış edib? Cavab variantları 93 20 23 27 Düzdür! 43 + 50 − 70 = 23. Hər şagird ən azı birindədir, deməli n(A∪B) = 70. Düsturdan n(A∩B)-ni tap. Həllə bax n(A∪B) = 70, çünki hər şagird ən azı birində çıxış edib. 70 = 43 + 50 − n(A∩B), deməli n(A∩B) = 93 − 70 = 23. Yalnız qaçış 20, yalnız tullanma 27: 20 + 23 + 27 = 70.

Xülasə

Üç nəticə

• A∪B = B∪A, A∩B = B∩ABirləşmə və kəsişmədə sıra və qruplaşdırma nəticəni dəyişmir; fərqdə A\B ≠ B\A, ∪ ilə ∩ qarışanda mötərizə vacibdir.
• B⊂A: B′ = A\BTamamlayıcı A-nın B-yə daxil olmayan elementləridir və A-dan asılıdır.
• n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B)Ortaq hissə bir dəfə sayılır; üç çoxluqda yeddi hissənin hər birini ayrıca topla.

Növbəti mövzu: 2.54 Araşdırma məsələləri

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 7-ci sinif» (S. İsmayılova, S. Abdurahimov; Şərq-Qərb), Bölmə 10 · 4 «Çoxluqlar üzərində əməllər», səh. 213–214: xassələr və onların diaqramları, tamamlayıcının tərifi (sitatlar «…» içindədir), üç çoxluğun diaqramı və element sayları. n(A∪B) düsturu dərslikdə çalışmalarda işlədilir; burada diaqramdan çıxarılıb. Bütün nümunələr, çoxluqlar və saylar bu dərs üçün seçilib; yer adları yalnız hərf çoxluğu kimi işlədilir, sorğu ədədləri şərtidir.