Hadisələrin cəmi

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin ki, məktəbin bayram yarmarkasındasınız. Hər tərəfdə səs-küy, gülüş, uşaqların danışığı. Bir küncdə böyük rəngli dairə var, ortasında da fırlanan ox. Dairə səkkiz bərabər hissəyə bölünüb. Üç hissə qırmızıdır, iki hissə göy, bir hissə yaşıl, bir hissə sarı, bir hissə də qəhvəyi. Oyunu aparan şagird sizə seçim təklif edir. Birinci yol: ox qırmızı hissədə dayansa, qazanırsınız. İkinci yol: ox sarı və ya qəhvəyi hissədə dayansa, qazanırsınız. Dostunuz qulağınıza pıçıldayır: «İkincini seç! Orada iki rəng var, şansın iki dəfə çox olar.» Dostunuz haqlıdırmı? Bu suala cavab vermək üçün bugünkü mövzumuz lazımdır: hadisələrin cəmi. Dərsin sonunda hansı yolu seçəcəyinizi dəqiq biləcəksiniz. Əvvəlcə kiçik, amma çox vacib bir sözdən başlayaq: «və ya». Gündəlik danışıqda bu sözü tez-tez işlədirik. Riyaziyyatda isə onun dəqiq mənası var. Oyun zərini götürək. Zər atılanda onun bir üzü düşür: birdən altıya qədər xal. Tutaq ki, siz «iki və ya beş» deyirsiniz. Nə vaxt qazanırsınız? İki düşəndə də, beş düşəndə də. Yəni bu iki hadisədən heç olmasa biri baş verəndə. Məhz buna hadisələrin cəmi deyilir. İki hadisədən heç olmasa birinin baş verməsi bu hadisələrin cəmi adlanır. Diqqət edin: «heç olmasa biri» o deməkdir ki, ikisinin birlikdə baş verməsi şərt deyil. Biri kifayətdir. İndi başqa bir sual verək: bu iki hadisə eyni vaxtda baş verə bilərmi? Bir atışda zər həm iki, həm də beş göstərə bilməz. Fırlanan ox da eyni anda həm sarı, həm də qəhvəyi hissədə dayana bilməz. Eyni vaxtda baş verə bilməyən hadisələrə uyuşmayan hadisələr deyilir. Bunu yadda saxlamaq asandır: belə hadisələr bir-biri ilə uyuşmur. Biri baş verirsə, o biri artıq mümkün deyil. Amma hər cüt hadisə belə deyil. Zərdə «cüt ədəd düşməsi» və «üçdən böyük ədəd düşməsi» hadisələrinə baxaq. Dörd düşsə, hər ikisi birdən baş verir: dörd həm cütdür, həm də üçdən böyükdür. Eyni vaxtda baş verə bilən belə hadisələri uyuşan hadisələr adlandıracağıq. Bu fərq bir azdan bizə çox lazım olacaq. İndi yarmarkaya qayıdaq. Dairədə səkkiz bərabər hissə var və ox onların hər birində eyni şansla dayanır. Sarı hissə bir dənədir, deməli, oxun sarıda dayanması ehtimalı səkkizdə birdir. Qəhvəyi hissə də bir dənədir, onun da ehtimalı səkkizdə birdir. Sarıda dayanmaq və qəhvəyidə dayanmaq uyuşmayan hadisələrdir. Ona görə onların əlverişli halları heç vaxt üst-üstə düşmür: bir sarı hissə, bir qəhvəyi hissə, cəmi iki hissə. Səkkiz hissədən ikisi, yəni səkkizdə iki. Sadələşdirsək, dörddə bir alınır, onluq kəsrlə sıfır tam yüzdə iyirmi beş. Bu, dərsin əsas qaydasıdır, toplama qaydası. Uyuşmayan iki hadisənin cəminin ehtimalı onların ehtimallarının cəminə bərabərdir. Sadə dillə desək: hadisələr birlikdə baş verə bilmirsə, «və ya» olan yerdə ehtimallar toplanır. Səkkizdə bir üstəgəl səkkizdə bir, səkkizdə iki edir. İndi başqa bir mənzərəyə keçək. Axşamdır, siz hava proqnozuna qulaq asırsınız. Meteoroloqlar deyirlər ki, sabah yağış yağması ehtimalı sıfır tam onda üçdür. Bəs yağış yağmaması ehtimalı nə qədərdir? Bu iki hadisəyə baxın: «yağış yağacaq» və «yağış yağmayacaq». Onlar uyuşmayandır, çünki ikisi birdən ola bilməz. Amma onların bir xüsusiyyəti də var: bu ikisindən biri mütləq baş verəcək. Üçüncü yol yoxdur. Deməli, onların cəmi yəqin hadisədir. Uyuşmayan hadisələrin cəmi yəqin hadisədirsə, onlar bir-birini tamamlayan hadisələrdir. Yəqin hadisənin ehtimalı birdir. Ona görə bir-birini tamamlayan hadisələrin ehtimalları cəmi birə bərabərdir. Proqnoza qayıdaq. Yağış yağmasının ehtimalı sıfır tam onda üçdürsə, yağış yağmamasının ehtimalı birdən qalan hissədir: sıfır tam onda yeddi. Yəni çətiri götürmək pis fikir deyil, amma çox güman ki, hava quru keçəcək. Bu fikir çox işə yarayır. Bəzən bir hadisənin ehtimalını birbaşa tapmaq çətindir, onun əksini tapmaq isə asandır. Məsələn, tutaq ki, oyuncaqların yüzdə dördü qüsurludur. Onda təsadüfən götürdüyünüz oyuncağın qüsursuz olması ehtimalı yüzdə doxsan altıdır. Dərslik belə hadisələri «olmayan» sözü ilə ifadə edir: sarı olmayan, qara olmayan, yağış yağmaması. İndi isə ən çox səhv edilən yerə gəlirik. Toplama qaydası yalnız uyuşmayan hadisələr üçündür. Bəs hadisələr uyuşandırsa, nə baş verir? Zərə qayıdaq. «Cüt ədəd» hadisəsinin üç əlverişli halı var: iki, dörd və altı. Onun ehtimalı altıda üçdür. «Üçdən böyük ədəd» hadisəsinin də üç əlverişli halı var: dörd, beş və altı. Onun da ehtimalı altıda üçdür. Bunları fikirləşmədən toplasaq, altıda altı, yəni bir alarıq. Bu isə yəqin hadisə deməkdir. Amma zər bir düşsə, nə cüt ədəd alınır, nə də üçdən böyük ədəd. Deməli, cavab bir ola bilməz. Səhv haradadır? Dörd və altı hər iki siyahıda var və biz onları iki dəfə saydıq. Düzgün yol sadədir: əlverişli halları bir-bir sayırıq, hər birini yalnız bir dəfə. İki, dörd, beş, altı: dörd hal. Altı haldan dördü, yəni altıda dörd. Sadələşdirsək, üçdə iki. Buna görə «və ya» eşidəndə əvvəlcə özünüzə bir sual verin: bu hadisələr eyni vaxtda baş verə bilərmi? Bilməzsə, ehtimalları toplayın. Bilərsə, əlverişli halları sayın və ortaq olanları iki dəfə saymayın. Dövlət İmtahan Mərkəzinin test toplularında da «və ya» ilə qurulan suallara tez-tez rast gəlinir, bu sual orada da sizi tələdən qoruyacaq. İndi yarmarkaya, fırlanan oxun yanına qayıdaq. Sarı və ya qəhvəyi: səkkizdə iki. Qırmızı isə səkkizdə üç, çünki qırmızı hissələr üç dənədir. Dostunuz rənglərin sayına baxırdı, amma həlledici olan hissələrin sayıdır. Tək bir rəng, qırmızı, daha yaxşı seçimdir. Yadda saxlamalı olduğumuz fikir budur: «və ya» heç olmasa birinin baş verməsidir. Hadisələr birlikdə baş verə bilmirsə, ehtimallar toplanır. Bir-birini tamamlayırlarsa, ehtimalların cəmi birdir. Birlikdə baş verə bilirlərsə, hər əlverişli halı bir dəfə sayırıq. Addım-addım həll olunan misallar üçün bu mövzunun oxu dərsinə və videosuna baxın. Növbəti dəfə bir şans oyununda seçim etməzdən əvvəl rəngləri yox, hissələri sayın.