HTML dərsAzərbaycan
Dərsin mətni
- 2.5
- 7-ci sinif
- Statistika və ehtimal
Hadisələrin cəmi
Çarxın 8 bərabər sektorundan 3-ü göy, 2-si narıncıdır. Ox göy və ya narıncı sektorda dayanacaq — bunun ehtimalı nədir? Cavab: 3/8 + 2/8 = 5/8. Bəs ehtimalları toplamaq hər zaman olarmı?
Bu dərsdə
- «A və ya B» hadisəsini — hadisələrin cəmini — tanıyıb onun əlverişli hallarını sayacaqsan;
- uyuşmayan hadisələrin ehtimallarını toplayacaq, ortaq halı olan hadisələrdə isə halları bir dəfə sayacaqsan;
- bir-birini tamamlayan hadisələrdə «olmayan» hadisənin ehtimalını 1-dən çıxmaqla tapacaqsan.
8 sektorlu çarx: göy və ya narıncı sektorun ehtimalı 5/8-dir
Başla Yenidən Yenidən
- Kəşf et
- Qayda
- Tamamlayan hadisələr
- Hesabla
- Diqqət
- Həyatda
- Özünü yoxla
1 · Kəşf et
«Və ya» nə deməkdir?
Xatırla: hallar eyniimkanlıdırsa, P(A) = əlverişli halların sayı : bütün halların sayı. Zər atanda 6 hal var. İndi iki hadisəni «və ya» ilə birləşdirək: A və ya B hadisəsi o zaman baş verir ki, onlardan heç olmasa biri baş versin.
Hansı iki hadisəni birləşdirək?
1 və ya 6 cüt və ya 5 cüt və ya 4-dən böyük
Zərin altı üzü və seçilmiş hadisələr
A = «1 düşür», B = «6 düşür». Əlverişli hallar: 1 və 6 — 2 hal. P(1 və ya 6) = 2/6 = 1/3. Bir atışda 1 də, 6 da birdən düşə bilməz.
A = «cüt düşür» (2, 4, 6), B = «5 düşür». Birlikdə: 2, 4, 5, 6 — 4 hal, P = 4/6 = 2/3. Ortaq üz yoxdur, ona görə 3/6 + 1/6 = 4/6 də eyni cavabı verir.
A = «cüt düşür» (2, 4, 6), B = «4-dən böyük düşür» (5, 6). 6 hər iki hadisədədir! Birlikdə yenə 2, 4, 5, 6 — 4 hal, P = 4/6 = 2/3. 3 + 2 = 5 hal desək, 6-nı iki dəfə saymış olarıq.
Göy üzlər A hadisəsinə, narıncı üzlər B hadisəsinə uyğundur; iki rəngli üz hər ikisinə aiddir.
Deməli, «A və ya B» hadisəsinin əlverişli halları A-nın və B-nin hallarının birlikdə siyahısıdır, hər hal bir dəfə yazılır. Ortaq hal olmayanda bu sayları sadəcə toplamaq olur.
2 · Qayda
Hadisələrin cəmi və toplama qaydası
Yadda saxla
İki A və B hadisələrindən heç olmasa birinin baş verməsi bu hadisələrin cəmi adlanır və A + B kimi yazılır.
Eyni vaxtda baş verə bilməyən hadisələrə uyuşmayan hadisələr deyilir. Uyuşmayan A və B hadisələri üçün:
P(A + B) = P(A) + P(B)
Uyuşmayan hadisələrin cəminin ehtimalı onların ehtimallarının cəminə bərabərdir.
Çarxın 8 sektoru bir zolaqda
Göy və narıncı sektorların ortaq hissəsi yoxdur: ox eyni anda iki sektorda dayana bilməz. Ona görə hallar, deməli ehtimallar da toplanır.
Niyə toplamaq olur? Uyuşmayan hadisələrin ortaq halı yoxdur, ona görə A + B-nin əlverişli hallarının sayı A və B-nin hallarının sayları cəminə bərabərdir. Hər iki say eyni ümumi say (burada 8) ilə bölündüyü üçün ehtimallar da toplanır.
Uyuşmayan hadisələr
«2 düşür» və «5 düşür»
Bir atışda ikisi birdən ola bilməz: P(2 və ya 5) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.
Uyuşan hadisələr
«cüt düşür» və «4-dən böyük düşür»
Uyuşan hadisələr eyni vaxtda baş verə bilən hadisələrdir: 6 düşəndə ikisi də baş verir. Onlara toplama qaydası tətbiq olunmur — halları sayırıq.
3 · Tamamlayan hadisələr
«Baş verir» və «baş vermir»
Zər atanda «cüt düşür» və «tək düşür» hadisələri uyuşmayandır, amma onlardan biri mütləq baş verir: onların cəmi yəqin hadisədir, ehtimalı 1-dir.
Yadda saxla
Uyuşmayan hadisələrin cəmi yəqin hadisədirsə, onlar bir-birini tamamlayan hadisələrdir. Onların ehtimalları cəmi 1-ə bərabərdir:
P(A) + P(A olmayan) = 1
Buradan: P(A olmayan) = 1 − P(A).
Yağış yağır və yağmır: 0,35 + 0,65 = 1
Proqnoz: sabah yağış yağma ehtimalı 0,35. Yağmaması ehtimalı 1 − 0,35 = 0,65.
Bu qayda xüsusilə «olmayan» suallarında rahatdır: «sarı olmayan», «qüsursuz», «6-dan fərqli» kimi hadisələrin hallarını tək-tək saymaq əvəzinə əks hadisənin ehtimalını 1-dən çıxırıq.
4 · Hesabla
Əvvəl yoxla, sonra topla
Hər məsələdə əvvəlcə soruşuruq: hadisələr eyni vaxtda baş verə bilərmi? Bilmirsə, ehtimalları toplayırıq.
Nümunə 1Torbadan kürə
Torbada 4 qırmızı, 5 göy və 3 yaşıl kürə var. Təsadüfən bir kürə götürülür. Onun qırmızı və ya yaşıl olma ehtimalını tapın.
- Cəmi: 4 + 5 + 3 = 12 kürə, hamısı eyniimkanlıdır.
- Bir kürə həm qırmızı, həm yaşıl ola bilməz — hadisələr uyuşmayandır.
- P(qırmızı) = 4/12, P(yaşıl) = 3/12, deməli P(qırmızı və ya yaşıl) = 4/12 + 3/12 = 7/12. P = 7/12
Nümunə 2Kartlar
1-dən 20-yə qədər nömrələnmiş 20 kartdan biri çəkilir. Kartdakı ədədin 5-ə və ya 7-yə bölünən olma ehtimalını tapın.
- 5-ə bölünənlər: 5, 10, 15, 20 — 4 kart. 7-yə bölünənlər: 7, 14 — 2 kart.
- Ortaq kart yoxdur (həm 5-ə, həm 7-yə bölünən ən kiçik ədəd 35-dir) — hadisələr uyuşmayandır.
- P = 4/20 + 2/20 = 6/20 = 3/10 = 0,3. P = 0,3
Nümunə 3Qüsursuz oyuncaq
Fabrikdə buraxılan oyuncaqların 3%-i qüsurludur. Təsadüfən götürülən oyuncağın qüsursuz olma ehtimalı nədir?
- 3% = 0,03, yəni P(qüsurlu) = 0,03.
- «Qüsurlu» və «qüsursuz» bir-birini tamamlayan hadisələrdir.
- P(qüsursuz) = 1 − 0,03 = 0,97. P = 0,97
5 · Diqqət
Ortaq halı iki dəfə sayma
1-dən 12-yə qədər nömrələnmiş kartlardan biri çəkilir. Ədədin cüt və ya 3-ə bölünən olma ehtimalı nədir?
Səhv düşüncə
6/12 + 4/12 = 10/12
6 və 12 həm cüt, həm də 3-ə bölünəndir — onlar iki dəfə sayılıb.
Düzgün
8/12 = 2/3
Hadisələr uyuşandır, ona görə halları sayırıq: 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12 — 8 kart.
1–12 kartlarında cüt və 3-ə bölünən ədədlər
Başla Yenidən Yenidən
Cüt ədədlər 6 kart, 3-ə bölünənlər 4 kartdır, amma 6 və 12 hər iki siyahıdadır. Birlikdə 6 + 4 = 10 yox, 8 kart alınır.
Bir də «və ya» ilə «və»ni qarışdırma: «cüt və ya 3-ə bölünən» heç olmasa birinin baş verməsidir (8 kart), «həm cüt, həm də 3-ə bölünən» isə yalnız 6 və 12-dir (2 kart).
6 · Həyatda
Sorğunun nəticələri
Məktəbdə 40 şagirddən soruşdular: «Hansı dərnəyə gedirsən?» Hər şagird yalnız bir dərnək seçdi. Təsadüfən seçilmiş şagirdin şahmata və ya musiqiyə getmə ehtimalı nədir? Onun futbola getməməsi ehtimalı isə?
40 şagirdin dərnək seçimi
Şahmat (göy) və musiqi (narıncı) birlikdə 9 + 6 = 15 şagirddir.
Dərnək seçimi və nisbi tezlik
| Dərnək | Şagird | Nisbi tezlik |
|---|---|---|
| futbol | 14 | 14/40 |
| şahmat | 9 | 9/40 |
| rəsm | 11 | 11/40 |
| musiqi | 6 | 6/40 |
| cəmi | 40 | 1 |
P(şahmat və ya musiqi) = 9/40 + 6/40 = 15/40 = 3/8 = 0,375P(futbol olmayan) = 1 − 14/40 = 26/40 = 0,65
Hər şagird bir dərnək seçdiyi üçün cavablar uyuşmayandır, ona görə nisbi tezlikləri toplamaq olar.
7 · Özünü yoxla
Bacarığını sına
Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.
- Asan Zər atılır. 1 və ya 2 düşmə ehtimalı nədir? Cavab variantları 1/6 1/3 1/36 Düzdür! 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3. Yox. «Və ya» — iki əlverişli hal: 1 və 2. Ehtimalları topla, vurma. Həllə bax 1 və 2 bir atışda birdən düşə bilməz, hadisələr uyuşmayandır: P = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.
- Asan P(A) = 0,15. A hadisəsinin baş verməməsi ehtimalı nədir? Cavab variantları 0,85 0,15 1,15 Əla! 1 − 0,15 = 0,85. Yox. Tamamlayan hadisələrin ehtimalları cəmi 1-dir: 1-dən çıx. Ehtimal 1-dən böyük ola bilməz. Həllə bax P(A olmayan) = 1 − P(A) = 1 − 0,15 = 0,85.
- Orta Qutuda 6 qırmızı, 4 ağ və 10 qara kürə var. Götürülən kürənin qırmızı və ya ağ olma ehtimalı nədir? Cavab variantları 0,3 0,5 0,06 Düzdür! 6/20 + 4/20 = 10/20 = 0,5. Yox. Hər iki rəngi nəzərə al və ehtimalları topla: cəmi 20 kürə var. Həllə bax Cəmi 6 + 4 + 10 = 20 kürə. Kürə həm qırmızı, həm ağ ola bilməz: P = 6/20 + 4/20 = 10/20 = 0,5.
- Orta Zər atılır. Hansı iki hadisə uyuşmayandır? Cavab variantları «cüt düşür» və «6 düşür» «tək düşür» və «2 düşür» «3-dən böyük düşür» və «5 düşür» Düzdür! 2 tək deyil — bu iki hadisə birdən baş verə bilməz. Yox. Bu hadisələrin ortaq halı var: elə üz tap ki, ikisi də baş versin. Həllə bax 6 həm cütdür, həm də 6-dır; 5 həm 3-dən böyükdür, həm də 5-dir — bunlar uyuşan hadisələrdir. 2 isə tək ədəd deyil, ona görə «tək düşür» və «2 düşür» eyni vaxtda baş verə bilməz.
- Çətin 1-dən 10-a qədər nömrələnmiş kartlardan biri çəkilir. Ədədin cüt və ya 3-ə bölünən olma ehtimalı nədir? Cavab variantları 0,8 0,7 0,5 Əla! 6 bir dəfə sayıldı: 7 kart, 7/10 = 0,7. Yox. Hadisələr uyuşandır: kartları siyahıya yaz və ortaq kartı bir dəfə say. Həllə bax Cüt: 2, 4, 6, 8, 10. 3-ə bölünən: 3, 6, 9. 6 hər ikisindədir. Birlikdə: 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10 — 7 kart. P = 7/10 = 0,7.
- Çətin A və B uyuşmayan hadisələrdir, P(A) = 0,25, P(B) = 0,4. Nə A, nə də B baş verməməsi ehtimalı nədir? Cavab variantları 0,65 0,75 0,35 Düzdür! P(A + B) = 0,65, onu 1-dən çıxdıq: 0,35. Yox. Əvvəl P(A + B)-ni tap, sonra bu hadisəni tamamlayan hadisənin ehtimalını hesabla. Həllə bax A və B uyuşmayandır: P(A + B) = 0,25 + 0,4 = 0,65. «Nə A, nə B» hadisəsi A + B-ni tamamlayır: 1 − 0,65 = 0,35.
Xülasə
Yadda qalanlar
- A + B = «A və ya B»Heç olmasa biri baş verir; əlverişli hallar birlikdə, hər biri bir dəfə sayılır.
- P(A + B) = P(A) + P(B)Yalnız uyuşmayan hadisələr üçün. Ortaq hal varsa, halları sayırıq.
- P(A olmayan) = 1 − P(A)Bir-birini tamamlayan hadisələrin ehtimalları cəmi 1-dir.
Növbəti mövzu: 2.6 Rasional ədədlərin yazılışı və oxunuşu
Mənbə: S. İsmayılova, S. Abdurahimov, «Riyaziyyat» — 7-ci sinif üçün dərslik, «Hadisələrin cəmi», səh. 28–29 və 31 (ümumiləşdirici tapşırıqlar). Nümunələrdəki ədədlər bu dərs üçün seçilib.
