Üçbucağın bucaqları və tərəfləri: parkın ətrafında bir dövrə

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin: şəhərin ortasında üçbucaq şəklində kiçik bir park var. Onun üç düz xiyabanı və üç küncü var. Birinci küncdə park darvazası durur, ikinci küncdə fəvvarə, üçüncü küncdə isə qoca bir çinar ağacı. Darvazanın yanında iki xiyaban səksən dərəcəlik bucaq altında görüşür, fəvvarənin yanında yetmiş dərəcəlik, çinarın yanında isə cəmi otuz dərəcəlik bucaq altında. Çinar küncü iti bir ucdur, sanki parkın burnu. Siz velosipedlə darvazadan yola düşürsünüz və xiyabanlar boyu parkın ətrafında bir dövrə vurursunuz. Hər küncdə dönməli olursunuz. İndi sual: hansı küncdə ən çox dönürsünüz? Ən geniş küncdə, darvazanın yanında? Yoxsa iti çinar küncündə? Bir sual da var: darvazaya qayıdanda, üç küncdə birlikdə neçə dərəcə dönmüş olursunuz? Bu ikinci sualın cavabı parkın formasından asılı deyil. Dərsin sonunda ona qayıdacağıq. Salam! Bu dinləmə dərsində üçbucağın bucaqları və tərəfləri haqqında danışacağıq. Altıncı sinifdən bilirsiniz ki, üçbucağın üç bucağının cəmi yüz səksən dərəcədir. Bu gün bundan irəli gedəcəyik. Əvvəlcə xarici bucaqla tanış olacağıq, sonra tərəflərlə bucaqlar arasındakı əlaqəni öyrənəcəyik, sonda isə üçbucaq bərabərsizliyinə çatacağıq. Velosiped sualının cavabı da elə bu yolun üstündədir. Əvvəlcə daxili bucaqlardan başlayaq. Üçbucağın hər təpəsində bir daxili bucaq var: bu, həmin təpədə görüşən iki tərəfin arasındakı bucaqdır. Bizim parkda onlar səksən, yetmiş və otuz dərəcədir. Yoxlayaq: səksən üstəgəl yetmiş yüz əlli edir, üstəgəl otuz, yüz səksən. Hər üçbucaqda olduğu kimi. İndi təsəvvür edin ki, darvazadan fəvvarəyə gedirsiniz, amma fəvvarənin yanında dönmürsünüz. Düz getməyə davam edirsiniz və xiyabanın xətti parkdan kənara uzanır. Bu uzantı ilə fəvvarədən çinara gedən xiyabanın arasında yeni bir bucaq yaranır. Dərslik onu belə adlandırır: üçbucağın daxili bucağına qonşu olan bucağa onun həmin təpədəki xarici bucağı deyilir. Qonşu bucaqlar yan-yana durur və birlikdə açıq bucaq əmələ gətirir, yəni onların cəmi yüz səksən dərəcədir. Deməli, hər təpədə daxili bucaq və xarici bucaq birlikdə yüz səksən dərəcə edir. Fəvvarənin yanında daxili bucaq yetmiş dərəcədir, ona görə xarici bucaq yüz on dərəcədir. Bir incəlik də var. O biri tərəfi uzatsanız, həmin təpədə ikinci xarici bucaq alınar, və bu iki xarici bucaq bir-birinə bərabərdir. Amma daxili bucağın düz qarşısında duran bucaq xarici bucaq deyil: o, daxili bucağın özünə bərabərdir. İndi velosipedə qayıdaq. Fəvvarəyə çatanda, əgər dönməsəydiniz, elə həmin uzantı boyunca düz gedərdiniz. Çinara tərəf yönəlmək üçün istiqamətiniz məhz xarici bucaq qədər dəyişir. Yəni hər küncdəki dönmə həmin küncün xarici bucağıdır. Fəvvarənin yanında siz yüz on dərəcə dönürsünüz. İndi ikinci addıma keçək. Xarici bucağın gözəl bir xassəsi var. Dərslikdəki teorem belə deyir: üçbucağın xarici bucağı ona qonşu olmayan iki daxili bucağının cəminə bərabərdir. Qonşu olmayan, yəni o biri iki təpədəki daxili bucaqlar. Bunun səbəbi sadədir. Bir təpədə daxili bucaq və xarici bucaq birlikdə yüz səksən dərəcədir. Digər tərəfdən, həmin daxili bucaq o biri iki daxili bucaqla birlikdə də yüz səksən dərəcədir. Eyni daxili bucağı iki yolla yüz səksənə tamamlayırıq. Deməli, xarici bucaq o biri iki daxili bucağın cəminə bərabər olmalıdır. Parkda yoxlayaq. Fəvvarədəki xarici bucaq o biri iki küncün bucaqlarının cəmidir: darvazanın səksəni üstəgəl çinarın otuzu, yüz on. Bayaq da elə yüz on tapmışdıq. Darvazanın yanında xarici bucaq yetmiş üstəgəl otuz, yəni yüz dərəcədir. Çinarın yanında isə səksən üstəgəl yetmiş, yüz əlli dərəcə. Diqqət edin, burada bir tələ var. Çox adam elə bilir ki, böyük xarici bucaq böyük daxili bucağın yanında olur. Əslində tərsinədir. Daxili və xarici bucaq birlikdə yüz səksən edir: biri böyüdükcə o biri kiçilir. Ona görə ən iti küncün, yəni çinarın yanında xarici bucaq ən böyükdür. Teoremdən bir nəticə də çıxır: xarici bucaq ona qonşu olmayan daxili bucaqların hər birindən böyükdür. Bir misal da həll edək, bu dəfə parkdan kənarda. Üçbucağın bir təpəsində xarici bucaq yüz qırx dərəcədir. Ona qonşu olmayan daxili bucaqlardan biri əlli dərəcədir. Digəri neçədir? Teoremə görə ikisi birlikdə yüz qırx edir, deməli, ikinci bucaq doxsan dərəcədir, yəni düz bucaq. Həmin təpədəki daxili bucaq isə yüz səksəndən yüz qırxı çıxanda qalır, yəni qırx dərəcə. Yoxlayaq: əlli, doxsan və qırx birlikdə yüz səksən edir. İndi üçüncü addıma, tərəflərə keçək. Əvvəlcə bir ifadəni aydınlaşdıraq: bucağın qarşısındakı tərəf. Bu, həmin təpəyə toxunmayan tərəfdir. Çinarın yanında dayanıb parka baxsanız, qarşınızda darvazadan fəvvarəyə gedən xiyabanı görərsiniz. Bu xiyaban çinar bucağının qarşısındakı tərəfdir. Dərslikdə bu barədə bir teorem var və o, iki istiqamətdə işləyir. Üçbucaqda böyük tərəf qarşısında böyük bucaq durur. Və tərsinə: böyük bucaq qarşısında böyük tərəf durur. Yəni tərəfləri uzunluğa görə düzsəniz, onların qarşısındakı bucaqlar da eyni sırada düzüləcək. Bunu hiss etmək üçün bir şəkil təsəvvür edin. Bir küncdə görüşən iki xiyabanın uzunluğu dəyişmir, amma siz onların arasındakı bucağı qapı kimi açırsınız. Bucaq genişləndikcə qarşıdakı xiyabanın ucları bir-birindən uzaqlaşır. Bu, isbat deyil, sadəcə qaydanı yadda saxlamağa kömək edən bir şəkildir. Parka qayıdaq. Ən geniş bucaq, səksən dərəcə, darvazanın yanındadır. Deməli, ən uzun xiyaban darvazanın qarşısındakı xiyabandır, yəni fəvvarədən çinara gedən yol. Ən iti bucaq çinarın yanındadır, ona görə ən qısa xiyaban çinarın qarşısındakı xiyabandır, yəni darvazadan fəvvarəyə gedən yol. Buradan tanış nəticələr də çıxır. Düzbucaqlı üçbucaqda ən uzun tərəf düz bucağın qarşısındakı hipotenuzdur. Bərabər tərəflərin qarşısında isə bərabər bucaqlar durur. Burada iki tələ var. Birincisi: tərəfi onun ucundakı bucaqla cütləşdirmək. Xiyaban hansı küncə toxunmursa, onun bucağı həmin küncün bucağıdır. İkincisi: vahidlər. Tutaq ki, üçbucağın tərəfləri yeddi santimetr, səksən millimetr və bir desimetrdir. Yalnız rəqəmlərə baxsanız, səksən ən böyük görünür. Amma hamısını santimetrə çevirək: yeddi, səkkiz və on. Deməli, ən uzun tərəf bir desimetrlik tərəfdir və ən böyük bucaq da onun qarşısındadır. İndi sonuncu addıma keçək. Parkda gəzən hər kəs bilir ki, fəvvarədən çinara düz xiyabanla getmək darvazadan dolanıb getməkdən qısadır. Həndəsədə bu fikrin adı var: üçbucaq bərabərsizliyi. Dərslik onu belə deyir: üçbucağın hər bir tərəfinin uzunluğu digər iki tərəfinin uzunluqları cəmindən kiçikdir. Bunu üç çubuqla yoxlamaq olar. Masaya dörd, altı və on bir santimetrlik çubuqlar qoyun. Ən uzun çubuğun iki ucuna o biri ikisini birləşdirin və onların sərbəst uclarını bir-birinə yaxınlaşdırın. Dörd üstəgəl altı on edir, bu isə on birdən kiçikdir. Qısa çubuqların ucları heç vaxt görüşmür, üçbucaq alınmır. Yoxlamaq üçün üç bərabərsizliyin hamısını yazmaq lazım deyil: iki kiçik tərəfin cəmi ən böyük tərəfdən böyükdürsə, bu kifayətdir. Bəs uzun çubuq on santimetr olsaydı? Dörd üstəgəl altı düz on edir. Bu halda qısa çubuqların ucları yalnız uzun çubuğun üstündə görüşər. Üçbucaq yastılaşıb düz xəttə çevrilir. Ona görə bərabərlik kifayət deyil: iki kiçik tərəfin cəmi ən böyük tərəfdən mütləq böyük olmalıdır. Bu qaydanın ikinci üzü də var: hər tərəf o biri iki tərəfin fərqindən böyükdür. Bu iki fikir birlikdə üçüncü tərəfin sərhədlərini verir. Tutaq ki, üçbucağın iki tərəfi yeddi və on iki santimetrdir. Üçüncü tərəf onların fərqindən, yəni beş santimetrdən uzun olmalıdır. Həm də onların cəmindən, yəni on doqquz santimetrdən qısa olmalıdır. Beş və on doqquzun özü isə olmaz, çünki bu uzunluqlarda üçbucaq yenə yastılaşır. Bu qayda kağızda qalmır. Dərsliyin tapşırıqlarından biri Murov dağının altından keçən tuneldən danışır. Dağ aşırımından keçən yol bir tərəfdə on beş kilometrdən çox qalxır, o biri tərəfdə on altı kilometrdən çox enir, cəmi otuz bir yarım kilometr. Qalxma və enmə yolunu üçbucağın iki tərəfi, tuneli isə üçüncü tərəfi kimi təsəvvür edin. Üçbucaq bərabərsizliyinə görə tunel otuz bir yarım kilometrdən qısadır. Dərslikdəki tunel on iki kilometrə yaxındır, yəni yol təxminən iyirmi kilometr qısalır. İndi parka və velosipedə qayıdaq. Hər küncdə istiqamətiniz həmin küncün xarici bucağı qədər dəyişirdi. Darvazanın yanında yüz dərəcə, fəvvarənin yanında yüz on, çinarın yanında isə yüz əlli. Deməli, ən çox iti çinar küncündə dönürsünüz, geniş darvaza küncündə isə ən az. Üç dönməni toplayın: yüz, yüz on və yüz əlli birlikdə üç yüz altmış dərəcə edir. Bu, tam bir dövrədir. Və bu, təsadüf deyil. Hər küncdə daxili və xarici bucaq birlikdə yüz səksən edir, üç küncdə isə beş yüz qırx. Bunun yüz səksəni daxili bucaqların payıdır. Dönmələrə üç yüz altmış dərəcə qalır. Park böyük olsun, ya kiçik, iti olsun, ya geniş, darvazaya qayıdanda həmişə tam bir dövrə dönmüş olursunuz. Bu gün gördük ki, üçbucaqda hər şey bir-biri ilə bağlıdır. Bucaqlar bir-biri ilə: xarici bucaq qonşu olmayan iki daxili bucağın cəminə bərabərdir. Bucaqlar tərəflərlə: böyük bucağın qarşısında böyük tərəf durur. Tərəflər də bir-biri ilə: hər tərəf o biri ikisinin cəmindən kiçik, fərqindən isə böyükdür. Yazılı misallar və şəkillər üçün bu mövzunun oxu dərsinə baxın. Növbəti dərsdə üçbucağın tənböləni, medianı və hündürlüyü ilə tanış olacaqsınız. Sağ olun, yenə görüşənədək!