Üçbucağın bucaqları və tərəfləri

• 2.28
• 7-ci sinif
• Həndəsə

Üçbucağın bucaqları və tərəfləri

Üçbucağın bir tərəfini uzat: kənarda yaranan bucaq içəridəki iki bucağı bir yerə yığır. Bəs tərəflər? Ən uzun tərəf hansı bucağın qarşısında durur və niyə hər üç çubuqdan üçbucaq qurmaq olmur?

Bu dərsdə

• xarici bucağı tanıyıb onu qonşu olmayan iki daxili bucağın cəmi kimi tapacaqsan;
• tərəfləri bucaqlara görə, bucaqları isə tərəflərə görə sıraya düzəcəksən;
• üçbucaq bərabərsizliyi ilə üç parçanı yoxlayıb üçüncü tərəfin sərhədlərini tapacaqsan.

• ∠A
• ∠B
• xarici bucaq

Xarici bucaq iki daxili bucağı birləşdirir

Başla Yenidən Yenidən

1. Xarici bucaq
2. Teorem
3. Hesabla
4. Tərəf və bucaq
5. Sırala
6. Bərabərsizlik
7. Yoxla
8. Diqqət
9. Həyatda
10. Özünü yoxla
11. Yekun

1 · Kəşf et

Daxili və xarici bucaqlar

Bu dərsdə bir üçbucaqla işləyəcəyik: ABC-də ∠A = 44°, ∠B = 76°, ∠C = 60°, AC = 10 sm. Üç bucağın cəmi 180°-dir — bunu 6-cı sinifdən bilirsən: 44° + 76° + 60° = 180°.

Hər təpədə üçbucağın bir daxili bucağı var. Xarici bucağı görmək üçün tərəflərdən birini təpədən o yana uzadırıq. Lövhə 1-də AC tərəfi C-dən o yana D-yə, BC tərəfi isə E-yə uzadılıb.

Tərif

Üçbucağın daxili bucağına qonşu olan bucağa onun həmin təpədəki xarici bucağı deyilir.

xarici + daxili = 180°

• ∠BCD və ∠ACE daxili ∠ACB-yə qonşudur — ikisi də C təpəsindəki xarici bucaqdır: 180° − 60° = 120°.
• Onlar qarşılıqlı bucaqlardır, ona görə bərabərdir. Deməli, hər təpədə bir-birinə konqruyent iki xarici bucaq var.
• ∠DCE xarici bucaq deyil: o, daxili bucağın özünə qarşılıqlıdır və 60°-dir.

C təpəsində iki xarici bucaq

Lövhə 1C təpəsində iki xarici bucaq1 xana = 1 sm

Lime pazlar xarici bucaqlardır, qırmızı ştrixli paz isə daxili bucağa qarşılıqlı olan ∠DCE-dir.

Yada sal: cəm 180°

∠A + ∠B + ∠C = 180°

Ona görə üçbucaqda ən çoxu bir düz və ya bir kor bucaq ola bilər: iki belə bucağın cəmi artıq 180°-yə çatır.

Kiçik daxili — böyük xarici

Xarici və daxili bucaq birlikdə 180° edir. A-da daxili bucaq ən kiçikdir (44°), ona görə oradakı xarici bucaq ən böyükdür: 180° − 44° = 136°.

2 · Qayda

Xarici bucaq nəyə bərabərdir?

Yuxarıdakı şəkildə C-dəki xarici bucaq 120°-dir. A və B təpələrindəki bucaqlar isə ona qonşu olmayan daxili bucaqlardır: 44° + 76° = 120°. Təsadüf deyil.

Teorem

Üçbucağın xarici bucağı ona qonşu olmayan iki daxili bucağının cəminə bərabərdir.

∠BCD = ∠A + ∠B

Niyə?İki bərabərlikdən

1. C-də xarici və daxili bucaqlar qonşudur: ∠BCD = 180° − ∠C.
2. Daxili bucaqların cəmi 180°-dir: ∠A + ∠B = 180° − ∠C.
3. Sağ tərəflər eynidir, deməli sol tərəflər də bərabərdir. ∠BCD = ∠A + ∠B

Hero şəklindəki animasiya bunu başqa yolla göstərir: C-dən AB-yə paralel CK çəkək. ∠KCD = ∠A (uyğun bucaqlar, mavi paz AC boyunca sürüşür), ∠BCK = ∠B (çarpaz bucaqlar, narıncı paz BC-nin ortası ətrafında yarım dövrə fırlanır). İki paz xarici bucağı tam doldurur.

Hər birindən böyükdür

Xarici bucaq ona qonşu olmayan hər daxili bucaqdan böyükdür: 120° > 44° və 120° > 76°.

Hər təpədən biri: 360°

136° + 104° + 120° = 360°

Üç qonşu cütün cəmi 3 · 180°, daxili bucaqlar isə 180° aparır: 540° − 180° = 360°.

3 · Hesabla

Xarici bucaqdan daxili bucaqlara

Nümunə 1Bir xarici, bir daxili bucaq

ABC üçbucağında B təpəsindəki xarici bucaq ∠CBD = 134°, ∠A = 58°. Üçbucağın digər bucaqlarını tapın.

Nümunə 1 fiquru

Lövhə 2Xarici bucaq B-də1 xana = 1 sm

1. Eyni təpədəki daxili və xarici bucaqlar qonşudur: ∠B = 180° − 134° = 46°.
2. Teoremə görə ∠A + ∠C = 134°, deməli ∠C = 134° − 58° = 76°.
3. Yoxla: 58° + 46° + 76° = 180°. ∠B = 46°, ∠C = 76°

Nümunə 2Bərabəryanlı: hansı təpə?

Bərabəryanlı üçbucağın bir xarici bucağı 110°-dir. Üçbucağın bucaqlarını tapın.

Nümunə 2: iki hal

Lövhə 3İki halçərtiklər — bərabər yanlar

1. Şərt xarici bucağın hansı təpədə olduğunu demir, ona görə iki hala baxırıq.
2. a) Oturacaqdakı təpədə: oturacaq bucağı 180° − 110° = 70°, o biri də 70°, təpə bucağı 180° − 140° = 40°.
3. b) Təpədə: teoremə görə iki oturacaq bucağının cəmi 110°, hər biri 110° : 2 = 55°, təpə bucağı 180° − 110° = 70°. 70°, 70°, 40° və ya 55°, 55°, 70°

4 · Qayda

Böyük tərəf — böyük bucaq

Tərəfin qarşısında duran bucaq o tərəfin uclarında olmayan təpədəki bucaqdır. BC-nin ucları B və C-dir, qarşısında isə A durur.

• BC ↔ ∠A
• AC ↔ ∠B
• AB ↔ ∠C

Bizim üçbucağın tərəflərini xətkeşlə ölçək (dərslikdəki praktik iş kimi). Tərəf seç: tərəf və onun qarşısındakı bucaq lime rəngə boyanır.

Tərəf seç

BC AB AC

Tərəflər və qarşı bucaqlar

Lövhə 4Tərəf və qarşı bucaq1 xana = 1 sm

BC ≈ 7,2 sm — ən qısa tərəf. Qarşısında ən kiçik bucaq durur: ∠A = 44°.

AB ≈ 8,9 sm — orta tərəf. Qarşısında orta bucaq durur: ∠C = 60°.

AC = 10 sm — ən uzun tərəf. Qarşısında ən böyük bucaq durur: ∠B = 76°.

İki sıra eyni qaydadadır: BC < AB < AC və ∠A < ∠C < ∠B.

Teorem

Üçbucaqda: 1) böyük tərəf qarşısında böyük bucaq durur; 2) böyük bucaq qarşısında böyük tərəf durur.

BC < AB < AC ⇔ ∠A < ∠C < ∠B

Düzbucaqlı üçbucaq

Düz bucaq ən böyük bucaqdır (qalan ikisi itidir), ona görə onun qarşısındakı hipotenuz ən böyük tərəfdir.

Kor bucaqlı üçbucaq

Kor bucaq yeganədir və ən böyükdür, ən uzun tərəf onun qarşısındadır.

Bərabər tərəflər

Bərabər tərəflərin qarşısında bərabər bucaqlar durur və əksinə. Bərabərtərəfli üçbucağın üç bucağı bərabərdir.

5 · Sırala

Tərəflərdən bucaqlara

Nümunə 3Müxtəlif vahidlər

KLM üçbucağında KL = 6,5 sm, LM = 0,7 dm, KM = 58 mm. Üçbucağın bucaqlarını artan sıra ilə yazın.

Nümunə 3 fiquru

Lövhə 5KLM üçbucağımiqyasla

1. Əvvəl eyni vahidə çevir: 0,7 dm = 7 sm, 58 mm = 5,8 sm.
2. Tərəfləri düz: KM (5,8) < KL (6,5) < LM (7).
3. Hər tərəfin qarşısındakı bucağı yaz: KM ↔ ∠L, KL ↔ ∠M, LM ↔ ∠K. ∠L < ∠M < ∠K

6 · Qayda

Hər üç çubuqdan üçbucaq olurmu?

AB = 8 sm-lik çubuğun A ucuna 5 sm-lik, B ucuna c sm-lik çubuq bərkidək. Pərgarla çəkdiyimiz kimi, qövslər çubuqların uclarının çata biləcəyi yerlərdir. Qövslər AB-dən yuxarıda kəsişsə, üçbucaq qapanır.

Üçüncü çubuq, c

2 sm 3 sm 6 sm 10 sm 13 sm

Üçüncü çubuq üçbucağı qapayırmı?

Lövhə 6Qövslər kəsişirmi?1 xana = 1 sm

c = 2 sm — üçbucaq yoxdur. 5 + 2 = 7 < 8: çubuqları AB üzərinə yatırsaq belə, 1 sm çatmır.

c = 3 sm — üçbucaq yoxdur. 5 + 3 = 8: uclar yalnız AB-nin üzərində görüşür, üç çubuq bir parçaya «yatır».

c = 6 sm — üçbucaq var. 5 + 6 > 8, 5 + 8 > 6, 6 + 8 > 5.

c = 10 sm — üçbucaq var. İki kiçik tərəfin cəmi ən böyükdən böyükdür: 5 + 8 = 13 > 10.

c = 13 sm — üçbucaq yoxdur. 5 + 8 = 13: qövslər yenə düz xətt üzərində, A-dan sola 5 sm-də toxunur. c daha uzun olsa, heç çatmaz.

Üçbucaq yalnız 8 − 5 < c < 8 + 5, yəni 3 < c < 13 olanda alınır.

Üçbucaq bərabərsizliyi

Üçbucağın hər bir tərəfinin uzunluğu digər iki tərəfinin uzunluqları cəmindən kiçik, fərqindən isə böyükdür.

a − b < c < a + b (a ≥ b)

Qısa yoxlama

Üç parçanı yoxlamaq üçün iki kiçiyin cəmi ən böyükdən böyük olmalıdır — bu kifayətdir.

Bərabərlik olmaz

a + b = c olanda üçbucaq «yastılanır» və parçaya çevrilir: belə parçalar üçbucağın tərəfləri ola bilməz.

7 · Yoxla

Bərabərsizliyi işə salırıq

Nümunə 4Üçbucaq varmı?

Bu parçalar hər hansı üçbucağın tərəfləri ola bilərmi? a) 4 sm, 9 sm, 4,5 sm; b) 2,6 dm, 30 sm, 45 sm; c) 1,2 m, 70 sm, 50 sm.

Nümunə 4: iki kiçik tərəfin cəmi ən böyük tərəflə

Lövhə 7İki kiçik tərəf ən böyük tərəfə qarşıhər sətir öz miqyasında

Hər cütdə yuxarıda iki kiçik tərəf (mavi və narıncı), aşağıda ən böyük tərəf. Qırmızı ştrixli hissə fərqdir: a)-da cəm çatmır, b)-də cəm artıqdır, c)-də fərq yoxdur.

1. a) 4 + 4,5 = 8,5 < 9 — ola bilməz.
2. b) Vahidi çevir: 2,6 dm = 26 sm. 26 + 30 = 56 > 45 — ola bilər.
3. c) 1,2 m = 120 sm. 70 + 50 = 120 — bərabərlikdir, ola bilməz. yalnız b)

Nümunə 5Üçüncü tərəf və perimetr

Üçbucağın iki tərəfi 5 sm və 8 sm-dir (Lövhə 6). Üçüncü tərəf hansı tam qiymətləri ala bilər? Perimetr hansı aralıqdadır?

1. Fərq və cəm: 8 − 5 < c < 8 + 5, yəni 3 < c < 13.
2. Uclar alınmır (bərabərlik), tam qiymətlər: 4, 5, …, 12 — cəmi 9 qiymət.
3. Perimetr P = 5 + 8 + c = 13 + c, ona görə 13 + 3 < P < 13 + 13. 16 sm < P < 26 sm

Nümunə 6Bərabəryanlı: yan hansıdır?

Bərabəryanlı üçbucağın tərəflərindən biri 4 sm, digəri 9 sm-dir. Perimetri tapın.

1. Yanlar 4 sm olsa: 4, 4, 9 — 4 + 4 = 8 < 9, üçbucaq yoxdur.
2. Yanlar 9 sm olsa: 9, 9, 4 — 4 + 9 = 13 > 9, üçbucaq var.
3. P = 9 + 9 + 4 = 22 sm. P = 22 sm

8 · Diqqət

Tez-tez edilən səhvlər

Səhv

BC qarşısında ∠B

B nöqtəsi BC-nin ucudur — ∠B tərəfin yanındadır, qarşısında deyil.

Düz

BC qarşısında ∠A

Tərəfin adında olmayan hərf qarşı bucağın təpəsidir.

Səhv

3 + 5 = 8 → üçbucaq var

Bərabərlikdə uclar düz xətt üzərində görüşür, üçbucaq alınmır.

Düz

a + b > c olmalıdır

Cəm ən böyük tərəfdən ciddi böyük olmalıdır; aralığın ucları alınmır.

Səhv

ən böyük xarici bucaq → ən böyük daxili bucaq

Xarici və daxili bucaq birlikdə 180°-dir: biri böyüdükcə o biri kiçilir.

Düz

136° xarici ↔ 44° daxili

Ən böyük xarici bucaq ən kiçik daxili bucağın yanındadır; ən uzun tərəf isə ən böyük daxili bucağın qarşısındadır.

9 · Həyatda

Düz yol həmişə qısadır

Leyla evdən məktəbə 1,2 km, məktəbdən mağazaya 0,9 km gedir (məsafələr quş uçuşu ilə). Evdən mağazaya qədər məsafə nə qədər ola bilər?

Ev, məktəb və mağaza xəritədə

Lövhə 8Ev, məktəb, mağaza1 xana = 100 m

Üç bina bir düz xətt üzərində deyilsə, onlar üçbucağın təpələridir və bərabərsizlik işləyir.

1. Cəmdən kiçikdir: 1,2 + 0,9 = 2,1 km. Məktəbdən keçən yol düz yoldan uzundur.
2. Fərqdən böyükdür: 1,2 − 0,9 = 0,3 km. 0,3 km < məsafə < 2,1 km

Xəritədə bu məsafə 1,5 km-dir — aralığın içindədir. Məktəbə uğramadan getsə, Leyla 2,1 − 1,5 = 0,6 km az yol gedər.

10 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç: düz olanda lime, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllə də baxa bilərsən.

1. Asan KLM üçbucağında LM tərəfinin qarşısında hansı bucaq durur? Sual 1 variantları ∠L ∠M ∠K Düzdür! K nöqtəsi LM-in ucu deyil. L və M LM-in uclarıdır. Qarşı bucağın təpəsi tərəfin adında olmayan hərfdir. Həllə bax LM-in ucları L və M-dir, üçüncü təpə K-dır. Deməli, LM-in qarşısında ∠K durur.
2. Asan Üçbucağın bir təpəsindəki daxili bucaq 72°-dir. Həmin təpədəki xarici bucaq neçə dərəcədir? Sual 2 variantları 72° 108° 18° Düzdür! 180° − 72° = 108°. Eyni təpədəki xarici və daxili bucaq qonşudur: cəmləri 90° yox, 180°-dir. Həllə bax Xarici bucaq daxili bucağa qonşudur, ona görə 180° − 72° = 108°. 72° daxili bucağın özüdür; həmin təpədəki iki xarici bucağın ikisi də 108°-dir.
3. Orta Hansı üç parça üçbucağın tərəfləri ola bilər? Sual 3 variantları 2 sm, 3 sm, 5 sm 4 sm, 4 sm, 9 sm 6 sm, 7 sm, 12 sm Düzdür! 6 + 7 = 13 > 12. İki kiçik parçanın cəmini ən böyükü ilə müqayisə et. Bərabərlik də olmaz. Həllə bax 2 + 3 = 5 — bərabərlikdir, olmaz. 4 + 4 = 8 < 9 — olmaz. 6 + 7 = 13 > 12 — olar.
4. Orta PQR üçbucağında ∠P = 35°, ∠Q = 95°. Ən böyük tərəf hansıdır? Sual 4 variantları PQ PR QR Düzdür! Ən böyük bucaq ∠Q-dür, PR onun qarşısındadır. Əvvəl ən böyük bucağı tap, sonra onun qarşısındakı tərəfi — tərəfin adında o təpənin hərfi olmamalıdır. Həllə bax ∠R = 180° − 35° − 95° = 50°. Ən böyük bucaq ∠Q = 95°, onun qarşısında PR durur, deməli PR ən böyük tərəfdir.
5. Çətin Üçbucağın xarici bucağı 100°-dir, ona qonşu olmayan iki daxili bucaq isə bərabərdir. Onların hər biri neçə dərəcədir? Sual 5 variantları 40° 50° 80° Düzdür! 100° : 2 = 50°. Xarici bucaq qonşu olmayan iki daxili bucağın cəminə bərabərdir. 80° qonşu daxili bucaqdır. Həllə bax Teoremə görə iki bucağın cəmi 100°-dir, bərabər olduqlarından hər biri 50°. Yoxla: üçüncü bucaq 180° − 100° = 80°, 50° + 50° + 80° = 180°.
6. Çətin Üçbucağın iki tərəfi 2 sm və 9 sm-dir, üçüncü tərəfi tam ədəddir (sm ilə). Üçüncü tərəf neçə müxtəlif qiymət ala bilər? Sual 6 variantları 2 3 5 Düzdür! 8, 9 və 10 sm. 7 < c < 11: aralığın ucları alınmır. Həm cəmi, həm fərqi işlət. Həllə bax 9 − 2 < c < 9 + 2, yəni 7 < c < 11. Tam qiymətlər 8, 9, 10 — üç qiymət. 7 və 11 olmaz: 2 + 7 = 9 və 2 + 9 = 11 bərabərlikdir.

11 · Yekun

Üç nəticə

• Xarici bucaq = qonşu olmayan iki daxili bucağın cəmiHər təpədə iki bərabər xarici bucaq var; xarici + daxili = 180°.
• Böyük tərəf ⇔ böyük qarşı bucaqQarşı bucaq tərəfin uclarında olmayan təpədədir; sıranı çıxarmazdan əvvəl vahidləri eyniləşdir.
• a − b < c < a + bİki kiçik tərəfin cəmi ən böyükdən ciddi böyük olmalıdır; bərabərlikdə üçbucaq yoxdur.

Növbəti mövzu: 2.29 Üçbucağın elementləri — tənbölən, median, hündürlük.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 7-ci sinif», Bölmə 5 · 2 «Üçbucağın bucaqları və tərəfləri», səh. 115–124: xarici bucağın tərifi və hər təpədə iki konqruyent xarici bucaq, daxili bucaqların cəmi teoremi, xarici bucağın xassəsi, tərəflərlə bucaqlar arasındakı münasibət teoremi, üçbucaq bərabərsizliyi və onun fərq forması, parçaları yoxlamaq qaydası. Paralel CK ilə animasiya teoremin əlavə şəkilli izahıdır; 360° cəmi iki teoremdən çıxarılan nəticədir. Bütün ədədlər öyrətmək üçün seçilmişdir; lövhələr miqyasla çəkilib, 7,2 sm və 8,9 sm bucaqlardan hesablanıb yuvarlaqlaşdırılmış uzunluqlardır.