Kvadrat köklər və hesabi kvadrat kök: «Gizli ədəd» oyunu

Mətn (transkript)

Payız axşamıdır. Pəncərəyə yağış döyür, mətbəxdə çaydan qaynayır. Rəna ilə böyük qardaşı Orxan nənələrinin evində, stolun arxasında armudu stəkanlarda çay içirlər. Darıxmamaq üçün Orxan bir oyun təklif edir. Oyunun adı belədir: «Gizli ədəd». Qaydalar sadədir. Biri bir ədəd fikirləşir və onu kiçik bir kağıza yazıb qatlayır. Sonra həmin ədədi özünə vurur və yalnız nəticəni ucadan deyir. O biri isə gizli ədədi tapmalıdır. Orxan kağıza nəsə yazır, qatlayıb stəkanının yanına qoyur. «Mən ədədimi özünə vurdum, üç min altı yüz aldım.» Rəna bir az fikirləşir və sevinclə deyir: «Altmış!» Orxan gülümsəyir və kağızı açır. Orada yazılıb: mənfi altmış. Rəna etiraz edir: «Bu ədalətsizlikdir! Altmışı özünə vursan da, üç min altı yüz alınır!» Bəs kim haqlıdır? Bir nəticənin arxasında iki ədəd gizlənə bilərmi? Bu suala dərsin sonunda qayıdacağıq. Salam! Bu, STUWIN-in dinləmə dərsidir. Bu gün səkkizinci sinif riyaziyyatının ilk mövzusunu öyrənəcəyik: kvadrat köklər və hesabi kvadrat kök. Sonda Rənanın çaşqınlığını aradan qaldıran razılaşmanı da biləcəksiniz. Əvvəlcə tanış bir əməli xatırlayaq: kvadrata yüksəltmə. Ədədi kvadrata yüksəltmək onu özünə vurmaq deməkdir. Burada işarələrə diqqət edin. Müsbət ədədi özünə vursaq, nəticə müsbətdir. Mənfi ədədi özünə vursaq da, nəticə müsbətdir, çünki iki mənfi ədədin hasili müsbətdir. Sıfırı özünə vursaq, sıfır alınır. Deməli, istənilən ədədin kvadratı mənfi ola bilməz. Bu cümləni yadda saxlayın, bu gün ona dəfələrlə qayıdacağıq. İndi isə yolu tərsinə gedək. Kvadrat bizə məlumdur, ədədin özünü axtarırıq. Orxanın oyunu məhz budur. Riyaziyyatda belə ədədin adı var. Kvadratı verilmiş ədədə bərabər olan ədədə həmin ədədin kvadrat kökü deyilir. Məsələn, kvadratı üç min altı yüz olan hər bir ədəd üç min altı yüzün kvadrat köküdür. Gəlin yoxlayaq. Altı min dörd yüzün kvadrat kökləri hansı ədədlərdir? Bir anlıq dayanın və cavabı özünüz deyin. Səksən, çünki səksəni özünə vursaq, altı min dörd yüz alınır. Amma bu, cavabın yalnız yarısıdır. Mənfi səksəni özünə vursaq da, altı min dörd yüz alınır. Deməli, altı min dörd yüzün iki kvadrat kökü var: səksən və mənfi səksən. Onları güzgüdəki əkizlər kimi təsəvvür edin. Hər ikisi sıfırdan eyni uzaqlıqdadır, sadəcə biri sağda, biri solda dayanır. İndi sayaq: bir ədədin neçə kvadrat kökü ola bilər? Burada üç hal var. Birinci hal müsbət ədəddir. Müsbət ədədin həmişə iki kvadrat kökü var: biri müsbət, digəri mənfi. Orxanın üç min altı yüzü də belədir. Onun kvadrat kökləri altmış və mənfi altmışdır. Deməli, Rəna da, Orxan da düzgün kök tapıb. İkinci hal sıfırdır. Kvadratı sıfıra bərabər olan yeganə ədəd sıfırın özüdür. Sıfırın müsbət və mənfi əkizi yoxdur. Ona görə də onun yalnız bir kvadrat kökü var: sıfır. Üçüncü hal mənfi ədəddir. Növbə Rənaya çatır. O, hiyləgərcəsinə gülümsəyir və elan edir: «Mən ədədimi özünə vurdum, mənfi üç min altı yüz aldım.» Orxan bir an fikirləşir və gülür: «Belə ədəd yoxdur!» Doğrudan da, istənilən ədədin kvadratı mənfi ola bilməz. Deməli, mənfi ədədin heç bir kvadrat kökü yoxdur. İndi bu günün ən vacib fikrinə gəlirik. Müsbət ədədin iki kvadrat kökü olması oyunda əyləncəlidir, amma hesablamada çətinlik yaradır. Bir ifadənin qiyməti bir ədəd olmalıdır, iki ədəd yox. Ona görə riyaziyyatçılar razılaşıblar ki, iki kökdən birini xüsusi adla seçsinlər. Kvadratı verilmiş ədədə bərabər olan mənfi olmayan ədədə həmin ədədin hesabi kvadrat kökü deyilir. Hesabi kvadrat kök üçün xüsusi işarə var: kök işarəsi. Ona radikal da deyirlər. Onu belə təsəvvür edin: kiçik bir qarmaq və ondan sağa uzanan dam. Ədəd bu damın altına yazılır. Ona görə deyirik: kök altında üç min altı yüz. Bu yazı belə oxunur: üç min altı yüzün kvadrat kökü. Oxuyanda «hesabi» sözünü çox vaxt demirik, amma kök işarəsi həmişə hesabi kvadrat kökü bildirir. Yəni kök altında üç min altı yüz yalnız altmışa bərabərdir. Mənfi altmışa yox. Ən çox rast gəlinən səhv budur: bəziləri yazır ki, kök altında üç min altı yüz həm altmışdır, həm də mənfi altmış. Bu, səhvdir. Kök işarəsi iki kökdən yalnız birini, mənfi olmayanını göstərir. Mənfi kök lazım olanda, kök işarəsinin qarşısına ayrıca «mənfi» sözü əlavə edirik. Mənfi, kök altında üç min altı yüz, bu, mənfi altmışdır. Kök işarəsinin altında duran ifadənin də adı var: kökaltı ifadə. Onun üçün bir qadağa var: kökaltı ifadə mənfi ola bilməz. Rənanın tapmacasını xatırlayın. Kök altında mənfi üç min altı yüz yazsaq, bu ifadə mənasızdır, çünki kvadratı mənfi olan ədəd yoxdur. İndi kökü necə tapmağı və necə yoxlamağı danışaq. Kvadrat kökün tapılması əməlinə kvadrat kökalma deyilir. Kökalma kvadrata yüksəltmənin tərsidir: biri ədədi kvadrata yüksəldir, o biri geri qaytarır. Cavabı yoxlamaq üçün iki şərtə baxın. Birincisi, cavab mənfi ola bilməz. İkincisi, cavabın kvadratı kökaltı ifadəyə bərabər olmalıdır. Hər iki şərt ödənirsə, kök düzgün tapılıb. Bir dəfə də sınayaq, bu dəfə onluq kəsrlə. Kök altında on bir tam yüzdə əlli altı neçədir? Kiçik bir ipucu: cavabda vergüldən sonra bir rəqəm olacaq, bir az fikirləşin. Üç tam onda dörd. Yoxlayaq. Üç tam onda dörd mənfi deyil. Onu özünə vursaq, on bir tam yüzdə əlli altı alınır. Hər iki şərt ödənir. Diqqət edin: kök altında vergüldən sonra iki rəqəm var idi, cavabda isə bir rəqəm qaldı. Kök ilə kvadrat bir-birini geri qaytarır: mənfi olmayan ədədi kvadrata yüksəldib sonra kök alsaq, həmin ədədə qayıdırıq. Bəs ədəd mənfi olsa? Orxanın gizli ədədini götürək: mənfi altmış. Onu kvadrata yüksəldirik: üç min altı yüz. İndi kök alırıq: altmış. Mənfi altmışa qayıtmadıq! Kök işarəsi bizə gizli ədədi yox, onun müsbət əkizini qaytardı. Ona görə qayda belədir: əvvəlcə kökaltı ifadə hesablanır, sonra kök alınır. Son fəsildə sualı tərsinə qoyaq. Hesabi kvadrat kökü üç yüz olan ədəd hansıdır? Dayanın və özünüz tapın. Doxsan min. Çünki üç yüz mənfi deyil və üç yüzün kvadratı doxsan mindir. Yəni kök altında naməlum ədəd olan ifadə üç yüzə bərabərdirsə, həmin naməlumu tapmaq üçün üç yüzü kvadrata yüksəldirik. Bəs hesabi kvadrat kökü mənfi üç yüz olan ədəd varmı? Yoxdur. Kök işarəsi heç vaxt mənfi nəticə vermir. Belə bərabərlik naməlumun heç bir qiymətində doğru deyil. Eyni fikir həyatda da işləyir. Kvadrat şəklində bir otağın sahəsini bilib tərəfini axtaranda biz də kök alırıq və yalnız mənfi olmayan kökü götürürük, çünki uzunluq mənfi ola bilməz. Gəlin yenidən nənənin evinə, çay süfrəsinə qayıdaq. Yağış hələ də pəncərəyə döyür. Bəs «Gizli ədəd» oyununda kim haqlı idi? Orxanın tapmacasının iki düzgün cavabı var idi. Altmış da düzgün idi, mənfi altmış da, çünki kvadrat ədədin işarəsini gizlədir. Əgər Orxan soruşsaydı ki, kök altında üç min altı yüz neçədir, yeganə cavab altmış olardı. O zaman Rəna şübhəsiz qalib gələrdi. Rənanın öz tapmacası isə daha hiyləgər idi, çünki mənfi üç min altı yüzün heç bir kvadrat kökü yoxdur. Bu dərsdən bir fikri yadda saxlayın. Müsbət ədədin iki kvadrat kökü var, sıfırın bir kökü var, mənfi ədədin isə heç bir kvadrat kökü yoxdur. Kök işarəsi isə həmişə yalnız mənfi olmayan kökü göstərir. Addım-addım hesablamaları oxu dərsində və videoda görəcəksiniz. Növbəti dəfə kimsə sizə «Mən ədədi özünə vurdum» desə, əvvəlcə soruşun: kvadrat kökü axtarırıq, yoxsa hesabi kvadrat kökü? Sağ olun, görüşənədək!