Kvadrat köklər. Hesabi kvadrat kök

• 3.1
• 8-ci sinif
• Kvadrat kök

Kvadrat köklər. Hesabi kvadrat kök

Kalkulyatorda 1444 yazıb √ düyməsini bas — ekranda 38 görünəcək. Amma (−38)2 də 1444-dür. Bəs kalkulyator −38-i niyə göstərmir? Çünki √ işarəsi yalnız mənfi olmayan kökü bildirir.

Bu dərsdə

• kvadrat kök ilə hesabi kvadrat kökü fərqləndirəcək, ədədin neçə kvadrat kökü olduğunu əsaslandıracaqsan;
• natural ədədlərin, kəsrlərin, onluq və dövri onluq kəsrlərin hesabi kökünü tapıb yoxlayacaqsan;
• (√a)2 = a və √(a2) = a bərabərliklərini işlədəcək, sadə köklü tənlikləri həll edəcəksən.

Kalkulyatorda √1444 = 38; həm 38, həm də −38 ədədinin kvadratı 1444-dür

BaşlaYenidənYenidən

1. Kəşf et
2. Kvadrat kök
3. Hesabi kök
4. Hesabla
5. Kök və kvadrat
6. Diqqət
7. Həyatda
8. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Kvadratdan geriyə

Kvadratın tərəfi verilsə, sahəsini kvadrata yüksəltmə ilə taparıq. Dərslik əks sualı verir: «Bəs, verilmiş sahəsinə görə kvadratın tərəfini hansı əməli yerinə yetirməklə tapmaq olar?»

Sualı ədədlərlə soruşaq: hansı ədədin kvadratı verilmiş ədədə bərabərdir? Əvvəlcə irəli gedək — bir neçə ədədi kvadrata yüksəldək və oxlarla birləşdirək.

Ədədlər və onların kvadratları: 2,9 və −2,9 ədədlərinin kvadratı 8,41-dür, 0-ın kvadratı 0, −8,41 heç bir ədədin kvadratı deyil

BaşlaYenidənYenidən

Oxlar ədədi kvadratına aparır: 2,92 = 8,41, (−2,9)2 = 8,41, 02 = 0. −8,41-ə heç bir ox gəlmir.

Şəkildə üç hal görünür. 8,41-ə iki ox gəlir — 2,9-dən və −2,9-dən. 0-a yalnız bir ox gəlir. −8,41-ə isə ox gəlmir: istənilən ədədin kvadratı mənfi deyil. Geriyə yol — kvadratı verilmiş ədədi tapmaq — kvadrat kökalma adlanır. Dərslikdə deyildiyi kimi, «kökalma əməli kvadrata yüksəltmə əməlinin tərsidir».

2 · Qayda

Kvadrat kök: neçə dənə?

Yadda saxla

«Kvadratı a-ya bərabər olan ədədə a ədədinin kvadrat kökü deyilir.»

b2 = a

Belə hər b ədədi a-nın kvadrat köküdür. Neçə belə ədəd var? Bu, a-nın işarəsindən asılıdır:

• a > 0 — iki kvadrat kök var: biri müsbət, digəri mənfi; onlar əks ədədlərdir.
• a = 0 — yeganə kvadrat kök 0-dır.
• a < 0 — kvadrat kök yoxdur, çünki istənilən ədədin kvadratı mənfi deyil.

Laboratoriyada a-nı dəyiş və ədəd oxunda kvadratı a olan nöqtələrə bax.

a ədədini seç

20,25 0 −20,25

Ədəd oxunda kvadratı a olan ədədlər

a = 20,25 > 0: iki kvadrat kök var — 4,5 və −4,5, çünki 4,52 = 20,25 və (−4,5)2 = 20,25.

a = 0: kvadratı 0 olan yeganə ədəd 0-dır, ona görə 0-ın bir kvadrat kökü var.

a = −20,25 < 0: ədəd oxunda kvadratı −20,25 olan nöqtə yoxdur — mənfi ədədin kvadrat kökü yoxdur.

Yaşıl nöqtə mənfi olmayan kökdür. Mənfi a üçün oxda heç bir nöqtə işıqlanmır.

3 · Qayda

Hesabi kvadrat kök və √ işarəsi

Müsbət ədədin iki kvadrat kökü olduğu üçün onlardan birinə ayrıca ad və işarə verilib.

Tərif

«Kvadratı a-ya bərabər, mənfi olmayan ədədə a-nın hesabi kvadrat kökü deyilir, √a kimi yazılır və belə oxunur: “a-nın hesabi kvadrat kökü”.»

kök altında a = b burada b ≥ 0 və b2 = a

Oxunuşda «hesabi» sözü adətən buraxılır: √1444 «1444-ün kvadrat kökü» kimi oxunur, amma həmişə mənfi olmayan kök nəzərdə tutulur.

√a = b yazılışının hissələri

√ — radikal (kök) işarəsi. Xəttin altındakı ifadə — kökaltı ifadə. Nəticə b mənfi deyil.

Kvadrat kökün tapılması əməli kvadrat kökalma adlanır. Natural ədədin kvadratına bərabər ədəd tam kvadrat ədəd adlanır: 1444 tam kvadratdır, çünki 1444 = 382.

«Kvadrat kök» və «hesabi kvadrat kök» fərqi

Sıfırın kökü

kök altında 0 = 0

02 = 0 və 0 mənfi deyil.

Kökaltı ifadə

kök altında a, a ≥ 0

«Kökaltı ifadə mənfi ola bilməz.» Məsələn, kök altında −2 yazılışının mənası yoxdur.

4 · Hesabla

Hesabi kökü tap və yoxla

Hər cavabı tərifə görə yoxlayırıq: nəticə mənfi deyil və onun kvadratı kökaltı ifadəyə bərabərdir. Dərslikdə olduğu kimi «çünki …» yazırıq.

Nümunə 1Natural ədəd

kök altında 1764 hesablayın.

1. Sonu 4 olan ədəd yalnız sonu 2 və ya 8 olan ədədin kvadratı ola bilər.
2. 402 = 1600; bir az böyük olan 42-ni yoxlayırıq: 422 = 42 · 42 = 1764. kök altında 1764 = 42, çünki 42 ≥ 0 və 422 = 1764

Nümunə 2Adi kəsr

kök altında 81196 / hesablayın.

1. Surət və məxrəc tam kvadratdır: 81 = 92, 196 = 142.
2. Deməli, (914 / )2 = 81196 / və 914 / ≥ 0. kök altında 81196 / = 914 /

Nümunə 3Onluq kəsr

kök altında 5,29 hesablayın.

1. Onluq kəsri adi kəsrə çeviririk: 5,29 = 529100 / = (2310 / )2.
2. Kökaltında vergüldən sonra 2 rəqəm var, kökdə 1 rəqəm olur. Yoxlama: 2,32 = 5,29. kök altında 5,29 = 2,3

Nümunə 4Dövri onluq kəsr

kök altında 21,(7) hesablayın.

1. Dövri kəsri adi kəsrə çeviririk: 21,(7) = 2179 / = 1969 / .
2. 196 = 142, 9 = 32, deməli (143 / )2 = 1969 / . kök altında 21,(7) = 143 / = 423 /

5 · Kök və kvadrat

Kvadrat və kök bir-birini aradan qaldırır

Yadda saxla

«Hesabi kvadrat kökün tərifinə görə alırıq ki, a ≥ 0 olduqda»

(kök altında a)2 = a və kök altında a2 = a

Birincisi: √a elə ədəddir ki, kvadratı a-dır. İkincisi: a mənfi deyil və kvadratı a2-dir — deməli, o, a2-nin hesabi köküdür.

Nümunə 5Kökün kvadratı və kvadratın kökü

(kök altında 43)2 + kök altında 342 ifadəsinin qiymətini tapın.

1. (kök altında 43)2 = 43 — 43 tam kvadrat deyil, amma kvadratı 43 olan mənfi olmayan ədəd məhz √43-dür.
2. kök altında 342 = 34, çünki 34 ≥ 0. Toplayırıq: 43 + 34 = 77. (kök altında 43)2 + kök altında 342 = 77

Nümunə 6Hasilin kvadratı

(−6kök altında 2)2 ifadəsinin qiymətini tapın.

1. Hasilin kvadratında hər vuruq kvadrata yüksəlir: (−6kök altında 2)2 = (−6)2 · (kök altında 2)2.
2. (−6)2 = 36, (kök altında 2)2 = 2, deməli 36 · 2 = 72. (−6kök altında 2)2 = 72

Nümunə 7Əvvəlcə kökaltı ifadə

kök altında 6,52 − 3,32 hesablayın.

1. Dərslikdəki qayda: «əvvəlcə kökaltı ifadə hesablanır». 6,52 = 42,25, 3,32 = 10,89.
2. 42,25 − 10,89 = 31,36.
3. kök altında 31,36 = 5,6, çünki 5,62 = 31,36. Diqqət: 6,5 − 3,3 = 3,2 başqa ədəddir — kök fərqin hər həddinə ayrıca tətbiq olunmur. kök altında 6,52 − 3,32 = 5,6

Nümunə 8Kök olan tənlik

kök altında x − 3 = 2,7 tənliyini həll edin.

1. Tərifə görə kökaltı ifadə 2,72-yə bərabərdir: x − 3 = 7,29.
2. x = 7,29 + 3 = 10,29. Yoxlama: kök altında 10,29 − 3 = kök altında 7,29 = 2,7. x = 10,29

Nümunə 9Həlli olmayan tənlik

6,4 + kök altında x = 2 tənliyini həll edin.

1. Kökü tək saxlayırıq: kök altında x = 2 − 6,4 = −4,4.
2. Hesabi kök mənfi ola bilməz, ona görə bərabərlik x-in heç bir qiymətində doğru deyil. Həlli yoxdur

6 · Diqqət

Altı tipik səhv

Hər səhvdə ya «kvadrat kök» ilə «hesabi kök» qarışdırılıb, ya da kök ifadənin bir hissəsinə tətbiq olunub.

Kök işarəsi «±» demək deyil

Səhv

kök altında 961 = ±31

961-in kvadrat kökləri ±31-dir, amma √961 bir ədəddir.

Düz

kök altında 961 = 31

Hesabi kök mənfi deyil: 31 ≥ 0 və 312 = 961.

Mənfi kökaltı ifadə

Səhv

kök altında −4,84 = −2,2

(−2,2)2 = 4,84, −4,84 deyil.

Düz

kök altında −4,84 — mənasızdır

Kvadratı mənfi olan ədəd yoxdur, ona görə kökaltı ifadə mənfi ola bilməz.

Cəmin kökü köklərin cəmi deyil

Səhv

kök altında 4,41 + 7,84 = 2,1 + 2,8 = 4,9

Kök hər toplanana ayrıca tətbiq olunub.

Düz

kök altında 4,41 + 7,84 = kök altında 12,25 = 3,5

Əvvəlcə kökaltı ifadə hesablanır, sonra kök alınır.

Sahəsi 4,41 və 7,84 olan iki kvadrat və sahəsi 12,25 olan bir kvadrat

İki kvadratın sahələrini toplayanda alınan kvadratın tərəfi 3,5-dir, 2,1 + 2,8 = 4,9 deyil.

Vergülün yeri

Səhv

kök altında 0,0529 = 0,023

0,0232 = 0,000529.

Düz

kök altında 0,0529 = 0,23

Yoxlama: 0,232 = 0,0529. Kökaltında vergüldən sonra 4 rəqəm, kökdə 2.

Qarışıq ədədin kökü

Səhv

kök altında 10916 / = 1034 /

Kök yalnız kəsr hissəsindən alınıb.

Düz

kök altında 10916 / = kök altında 16916 / = 314 /

Qarışıq ədədi əvvəlcə düzgün olmayan kəsrə çevir: 132 = 169, 42 = 16.

−1,42 ilə (−1,4)2

Səhv

kök altında −1,42 = 1,4

−1,42 = −1,96: əvvəl qüvvət, sonra minus. Kökaltı mənfidir — ifadə mənasızdır.

Düz

kök altında (−1,4)2 = kök altında 1,96 = 1,4

Mötərizədəki mənfi ədədin kvadratı müsbətdir; əvvəlcə kökaltını hesabla.

7 · Həyatda

Top neçə saniyəyə düşər?

Hündürlükdən buraxılan top sürətlənərək düşür. Hava müqavimətini nəzərə almasaq, o, t saniyədə təxminən h = 5t2 metr yol gedir.

Top 28,8 m hündürlükdən düşür: h = 5t²

Bərabər zaman aralıqlarında topun yerləri: hər növbəti aralıqda top daha çox yol gedir.

MəsələDüşmə vaxtı

Top 28,8 m hündürlükdən buraxılıb. Neçə saniyəyə yerə çatar?

1. 5t2 = 28,8, deməli t2 = 28,8 : 5 = 5,76.
2. Kvadratı 5,76 olan ədədlər: 2,4 və −2,4. Vaxt mənfi ola bilməz, ona görə hesabi kökü götürürük: t = kök altında 5,76 = 2,4.
3. Yoxlama: 5 · 2,42 = 5 · 5,76 = 28,8. t = 2,4 s

Düstur sadələşdirilmiş modeldir (g ≈ 10 m/s2 götürülüb); hava müqaviməti topu bir az ləngidir.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan 1521 ədədinin kvadrat kökləri hansılardır? Cavab variantları 39 və −39 yalnız 39 yalnız −39 760,5 və −760,5 Düzdür! 392 = 1521 və (−39)2 = 1521 — müsbət ədədin iki kvadrat kökü var. Kvadratı 1521 olan bütün ədədləri axtar: müsbət ədədin iki kvadrat kökü var. Kökalma 2-yə bölmək deyil. Həllə bax 392 = 39 · 39 = 1521 və (−39)2 = 1521, deməli 1521-in kvadrat kökləri 39 və −39-dur. «Yalnız 39» hesabi kökdür (kök altında 1521 = 39), sual isə bütün kvadrat kökləri soruşur. 760,5 — 1521-in yarısıdır, kökü deyil.
2. Asan kök altında 0,0784 neçəyə bərabərdir? Cavab variantları 0,28 0,028 2,8 0,28 və −0,28 Düzdür! 0,282 = 0,0784 və 0,28 ≥ 0. Kökaltında vergüldən sonra 4 rəqəm var — kökdə 2 olmalıdır. √ işarəsi bir ədəd, mənfi olmayanı verir. Həllə bax 0,0784 = 78410000 / = (28100 / )2, deməli kök altında 0,0784 = 0,28. 0,0282 = 0,000784, 2,82 = 7,84. 0,28 və −0,28 ədədin kvadrat kökləridir, kök altında 0,0784 isə yalnız 0,28-dir.
3. Orta x-in hansı qiymətində kök altında x ifadəsinin mənası yoxdur? Cavab variantları x = 0 x = 2,89 x = −0,01 Düzdür! Kökaltı ifadə mənfi ola bilməz: −0,01 < 0. Kökaltı ifadənin işarəsinə bax: kök altında 0 = 0 və kök altında 2,89 = 1,7 — hər ikisinin mənası var. Həllə bax kök altında x yalnız x ≥ 0 olanda mənalıdır. x = 0: kök altında 0 = 0. x = 2,89: kök altında 2,89 = 1,7, çünki 1,72 = 2,89. x = −0,01: kvadratı −0,01 olan ədəd yoxdur — ifadə mənasızdır.
4. Orta (−5kök altında 7)2 ifadəsinin qiymətini tapın. Cavab variantları 175 −175 35 1225 Düzdür! (−5)2 · (kök altında 7)2 = 25 · 7 = 175. Hasilin kvadratında hər vuruq kvadrata yüksəlir. Kökün kvadratı kökaltı ədədin özüdür. Həllə bax (−5kök altında 7)2 = (−5)2 · (kök altında 7)2 = 25 · 7 = 175. −175: mənfi ədədin kvadratı müsbətdir. 35: −5 kvadrata yüksəldilməyib. 1225: (kök altında 7)2 = 49 sanılıb, amma (kök altında 7)2 = 7.
5. Çətin x-in hansı qiymətində kök altında 2x − 2,2 = 2 bərabərliyi doğrudur? Cavab variantları 8,82 2,1 17,64 Düzdür! kök altında 2 · 8,82 = kök altında 17,64 = 4,2 və 4,2 − 2,2 = 2. Əvvəl kökü tək saxla, sonra tərifə görə kökaltı ifadə kökün kvadratına bərabərdir. Həllə bax kök altında 2x = 2 + 2,2 = 4,2 ≥ 0, deməli 2x = 4,22 = 17,64, x = 8,82. Yoxlama: kök altında 17,64 − 2,2 = 2. 2,1: 2x = 4,2 yazılıb — kökaltı ifadə kvadrata yüksəldilməyib. 17,64: 2x tapılıb, amma 2-yə bölünməyib.
6. Çətin kök altında 1,4 + kök altında 0,0016 ifadəsinin qiymətini tapın. Cavab variantları 1,2 1,44 0,12 Düzdür! kök altında 0,0016 = 0,04, 1,4 + 0,04 = 1,44, kök altında 1,44 = 1,2. İçdən başla və hər kökü sona qədər al: əvvəl daxili kök, sonra xarici. Həllə bax kök altında 0,0016 = 0,04, çünki 0,042 = 0,0016. Kökaltı ifadə: 1,4 + 0,04 = 1,44. kök altında 1,44 = 1,2, çünki 1,22 = 1,44. 1,44: xarici kök alınmayıb. 0,12: vergül səhvi — 0,122 = 0,0144.

Xülasə

Yadda qalanlar

• b2 = ab — a-nın kvadrat kökü: a > 0 olanda iki (əks ədədlər), a = 0 olanda bir (0), a < 0 olanda yoxdur.
• kök altında a = b ⇔ b ≥ 0, b2 = aHesabi kök — mənfi olmayan kökdür; kökaltı ifadə mənfi ola bilməz.
• (kök altında a)2 = a, kök altında a2 = aa ≥ 0 üçün. Əvvəlcə kökaltı ifadəni hesabla, cavabı kvadrata yüksəldib yoxla.

Növbəti mövzu: 3.2 Həqiqi ədədlər

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 8-ci sinif», Bölmə 1 «Kvadrat kök. Həqiqi ədədlər», «Kvadrat köklər. Hesabi kvadrat kök», səh. 7–8: kvadrat kökün və hesabi kvadrat kökün tərifləri, üç hal, radikal, kökaltı ifadə, kvadrat kökalma, (√a)2 = a və √(a2) = a, «əvvəlcə kökaltı ifadə hesablanır»; «» içindəki cümlələr dərslikdəndir. Nümunələrdəki, laboratoriyadakı və yoxlama suallarındakı ədədlər bu dərs üçün seçilib; düşmə düsturu h ≈ 5t2 sadələşdirilmiş fizika modelidir.