Audio dərs · Müddət
14:59
Mətn (transkript)
Təsəvvür edin: yazın erkən səhəridir. Geniş, düz bir çöl, uzaqda alçaq təpələr görünür. Bura ceyranların yaşadığı qoruqdur. Külək otları yelləyir, göydə torağaylar oxuyur. Köhnə bir cip torpaq yolun kənarında dayanır. Cipdən qoruğun mühafizəçisi Səbinə xanım və yay könüllüsü, səkkizinci sinif şagirdi Orxan düşür. Orxanın əlində planşet var, ekranda qoruğun xəritəsi açıqdır. Xəritə damalı dəftər vərəqinə bənzəyir. Koordinat başlanğıcında mühafizəçilərin məntəqəsi yerləşir. Sağa getdikcə şərqə, yuxarı getdikcə şimala gedirik. Hər xana bir kilometrdir. Səbinə xanım iki su yerini göstərir. Birinci su yeri A nöqtəsidir: absisi mənfi yeddi, ordinatı yeddi. İkinci su yeri B nöqtəsidir: absisi beş, ordinatı bir. Ceyranlar səhərlər bu iki su yeri arasında düz bir cığırla gedib-gəlir. «Avtomatik kameranı cığırın düz ortasına qoymalıyıq,» deyir Səbinə xanım. «Kamera hər iki su yerindən eyni məsafədə olmalıdır.» Orxan dərhal hesablamağa başlayır. «Asandır! Mənfi yeddidən beşə qədər on iki vahiddir, yarısı altıdır. Yeddidən birə qədər altı vahiddir, yarısı üçdür. Deməli, kamera absisi altı, ordinatı üç olan nöqtədə olmalıdır.» Səbinə xanım gülümsəyir: «Xəritəyə bir də bax. İkinci su yerinin absisi cəmi beşdir. Absisi altı olan nöqtə hər iki su yerindən şərqdə qalır. Kamera cığırdan kənara, boş çölə düşər.» Orxan çaşıb qalır. Bəs səhv harada idi? Fərqin yarısı əslində nəyi göstərir? Cığırın orta nöqtəsi haradadır? Və bir ucun yeri itsə, ortanı bilərək onu tapmaq olarmı? Bu suallara bu gün birlikdə cavab tapacağıq. Salam! Bu, parçanın orta nöqtəsinin koordinatları dərsidir. Birinci fəsildə orta nöqtəni ədəd oxunda tapacağıq. İkinci fəsildə Fales teoremi ilə koordinat müstəvisinə keçəcəyik və kameranın yerini tapacağıq. Üçüncü fəsildə ortanı bilərək itmiş ucu bərpa edəcəyik. Dördüncü fəsildə üçbucaqda, paraleloqramda və çevrədə orta nöqtələrlə işləyəcəyik. Sonda kiçik bir oyun oynayacağıq. Birinci fəsil: ədəd oxunda orta nöqtə. Qoruğun içindən qərbdən şərqə düz bir torpaq yol keçir. Bu yol elə absis oxunun üstündədir, yolun hər yerini bir ədədlə göstərmək olar. Mühafizəçilərin daxması mənfi beş nöqtəsindədir. Köhnə quyu on bir nöqtəsindədir. Gəlin bu iki nöqtənin düz ortasını tapaq. Orta nöqtə hər iki ucdan eyni məsafədədir. Mənfi beşdən on birə qədər məsafə on altı vahiddir. Bunun yarısı səkkizdir. Daxmadan şərqə səkkiz vahid gedək: mənfi beşə səkkiz əlavə edəndə üç alınır. Quyudan qərbə səkkiz vahid gedək: on birdən səkkiz çıxanda yenə üç alınır. Deməli, orta nöqtə üç nöqtəsidir. İndi bunun qısa yolunu tapaq. Orta nöqtə sol ucdan nə qədər böyükdürsə, sağ ucdan da o qədər kiçikdir. Bu səbəbdən orta nöqtəni iki dəfə götürsək, iki ucun cəmini alarıq. Deməli, orta nöqtə uc ədədlərin cəminin yarısıdır. Yoxlayaq: mənfi beş ilə on birin cəmi altıdır, altının yarısı üçdür. Eyni cavab! Orxanın səhvi də indi aydındır. Fərqin yarısı ucdan ortaya qədər olan addımdır, yəni yolun yarı uzunluğudur. Ortanın yerini tapmaq üçün ya bu addımı ucdan atırıq, ya da ucların cəminin yarısını götürürük. İkinci fəsil: koordinat müstəvisi və Fales teoremi. İndi parça çölün içində maili durur və hər ucun iki koordinatı var. Təsəvvür edin ki, A ucundan, orta M nöqtəsindən və B ucundan absis oxuna perpendikulyar düz xətlər endiririk. Bu üç düz xətt bir-birinə paraleldir. Fales teoremini xatırlayaq: paralel düz xətlər bir düz xətt üzərində bərabər parçalar ayırırsa, başqa düz xətt üzərində də bərabər parçalar ayırır. Parçamızda A ilə M arasındakı hissə M ilə B arasındakı hissəyə bərabərdir. Deməli, absis oxunda da M nöqtəsindən gələn perpendikulyarın oturacağı o biri iki oturacağın düz ortasına düşür. Bu isə birinci fəsildəki ədəd oxu məsələsidir! Deməli, orta nöqtənin absisi ucların absislərinin cəminin yarısıdır. Eyni fikri ordinat oxuna endirilən perpendikulyarlarla da deyə bilərik: orta nöqtənin ordinatı ucların ordinatlarının cəminin yarısıdır. Bu dərsin yeganə qaydası budur. Absislər öz aralarında toplanır, ordinatlar da öz aralarında. Hər koordinat öz tayı ilə işləyir. Gəlin çölə qayıdaq. A nöqtəsinin absisi mənfi yeddi, B nöqtəsinin absisi beşdir. Mənfi yeddi ilə beşin cəmi mənfi ikidir, yarısı mənfi birdir. A nöqtəsinin ordinatı yeddi, B nöqtəsinin ordinatı birdir. Yeddi ilə birin cəmi səkkizdir, yarısı dörddür. Kameranın yeri cığırın orta nöqtəsidir: absisi mənfi bir, ordinatı dörd. Addımla da yoxlayaq. Orxanın tapdığı altı və üç elə addımlardır. A nöqtəsindən şərqə altı vahid, cənuba üç vahid gedirik və eyni orta nöqtəyə çatırıq. Orxan dirəyi torpağa çalır, kamera işə düşür. Bir xüsusi hala da baxaq. Tutaq ki, parçanın iki ucunun ordinatı eynidir, məsələn, hər ikisininki altıdır. Belə parça absis oxuna paraleldir. Qaydaya görə orta nöqtənin ordinatı altı ilə altının cəminin yarısıdır, yəni yenə altıdır. Elə də olmalıdır: belə parçanın bütün nöqtələri eyni hündürlükdədir. Ucların absisləri eyni olanda da qayda düz işləyir. Üçüncü fəsil: ortanı bilərək ucu tapırıq. Ertəsi gün ikinci kamera quraşdırılır. Bu kamera köhnə tut ağacı ilə duzluq arasındakı cığırın düz ortasındadır. Duzluq ceyranların duz yaladığı yerdir. Gecə yağış yağır və kağız xəritədə duzluğun işarəsi pozulur. Amma iki nöqtə məlumdur. Tut ağacı: absisi mənfi üç, ordinatı mənfi iki. İkinci kamera: absisi iki, ordinatı mənfi beş. Duzluq haradadır? Ən aydın yol addım üsuludur. Tut ağacından kameraya qədər absis mənfi üçdən ikiyə dəyişir: bu, şərqə beş vahiddir. Ordinat mənfi ikidən mənfi beşə dəyişir: bu, cənuba üç vahiddir. Kamera cığırın ortasıdırsa, duzluq kameradan eyni addım qədər irəlidədir. İkiyə beş əlavə edirik, yeddi alınır. Mənfi beşdən üç çıxırıq, mənfi səkkiz alınır. Duzluq: absisi yeddi, ordinatı mənfi səkkiz. Bunu bir cümlə ilə də demək olar: naməlum ucun koordinatı ortanın koordinatının iki qatından məlum ucun koordinatını çıxanda alınır. İkinin iki qatı dörddür, dörddən mənfi üçü çıxanda yeddi alınır. Mənfi beşin iki qatı mənfi ondur, mənfi ondan mənfi ikini çıxanda mənfi səkkiz alınır. Burada tez-tez rast gəlinən bir tələ var: ağacla kameranın ortasını tapmaq. Belə nöqtə ağacla kameranın arasında qalır, duzluq isə kameradan sonra, cığırın davamındadır. Bu nəticənin başqa adı da var: duzluq tut ağacına kameraya nəzərən simmetrik olan nöqtədir. Nöqtəyə nəzərən simmetrik nöqtəni tapmaq elə bu işdir. Dördüncü fəsil: fiqurlarda orta nöqtələr. Qoruqda üç müşahidə qülləsi var: şimal qülləsi, qərb qülləsi və şərq qülləsi. Onlar bir üçbucağın təpələridir. Şimal qülləsindən qarşı tərəfin düz ortasına cığır salmaq istəyirlər. Yeddinci sinifdən bilirik ki, üçbucağın təpəsini qarşı tərəfin orta nöqtəsi ilə birləşdirən parça üçbucağın medianıdır. Qarşı tərəfin ucları qərb qülləsi və şərq qülləsidir. Qərb qülləsi: absisi mənfi səkkiz, ordinatı mənfi iki. Şərq qülləsi: absisi altı, ordinatı mənfi altı. Medianın ucu qərb və şərq qüllələrinin ortasıdır. Absislər: mənfi səkkiz ilə altının cəmi mənfi ikidir, yarısı mənfi birdir. Ordinatlar: mənfi iki ilə mənfi altının cəmi mənfi səkkizdir, yarısı mənfi dörddür. Medianın ucu: absisi mənfi bir, ordinatı mənfi dörd. Diqqət edin: bu hesab üçün iki qüllə kifayət etdi, yəni qarşı tərəfin ucları. Ən çox edilən səhv başqa tərəfin ortasını götürməkdir. Tərəfi həmişə təpənin qarşısında axtarın. İndi paraleloqram. Körpə ceyranlar üçün paraleloqram şəklində hasar çəkilir. Dirəklər hasar boyunca ardıcıl düzülüb: birinci, ikinci, üçüncü və dördüncü. Birinci dirək: absisi beş, ordinatı iki. İkinci dirək: absisi səkkiz, ordinatı iki. Üçüncü dirək: absisi doqquz, ordinatı altı. Dördüncü dirəyin yerini biz tapmalıyıq. Paraleloqramın diaqonalları kəsişmə nöqtəsində yarı bölünür. Birinci və üçüncü dirəklər qarşı təpələrdir, onları birləşdirən diaqonalın ortası hasarın mərkəzidir. Absislər: beş ilə doqquzun cəmi on dörddür, yarısı yeddidir. Ordinatlar: iki ilə altının cəmi səkkizdir, yarısı dörddür. Mərkəz: absisi yeddi, ordinatı dörd. Bu nöqtə o biri diaqonalın da ortasıdır, o biri diaqonal isə ikinci dirəkdən dördüncü dirəyə gedir. Üçüncü fəslin qaydası ilə: yeddinin iki qatı on dörddür, on dörddən səkkizi çıxanda altı qalır. Dördün iki qatı səkkizdir, səkkizdən ikini çıxanda altı qalır. Dördüncü dirək: absisi altı, ordinatı altı. Yoxlayaq. Birinci dirəkdən ikinci dirəyə şərqə üç vahid gedirik. Dördüncü dirəkdən üçüncü dirəyə də şərqə üç vahid gedirik. Qarşı tərəflər eyni addımdır, deməli, fiqur həqiqətən paraleloqramdır. Burada da bir tələ var: mərkəzi, yəni yeddi və dördü, dördüncü dirək kimi yazmaq. Mərkəz hasarın içindədir, dirək isə küncdədir. Sonuncu fiqur çevrədir. Qoruqda dəyirmi bir gölməçə var. İki mühafizəçi gölməçənin qarşı sahillərində elə dayanıb ki, onları birləşdirən parça gölməçənin mərkəzindən keçir. Bu parça çevrənin diametridir, çevrənin mərkəzi isə diametrin orta nöqtəsidir. Birinci mühafizəçi: absisi mənfi üç, ordinatı mənfi beş. İkinci mühafizəçi: absisi beş, ordinatı mənfi doqquz. Absislərin cəmi ikidir, yarısı birdir. Ordinatların cəmi mənfi on dörddür, yarısı mənfi yeddidir. Gölməçənin mərkəzi: absisi bir, ordinatı mənfi yeddi. Beşinci fəsil: kiçik oyun. İki sual verəcəyəm, cavabı özünüz fikirləşin. Birinci sual: parçanın hər iki ucunun absisi dördə bərabərdir. Orta nöqtənin absisi nəyə bərabərdir? İkinci sual: kamera cığırın düz ortasındadır. Cığırın bir ucu kameradan şərqə üç kilometr, şimala iki kilometr aralıdadır. Cığırın o biri ucu haradadır? Fikirləşin. Cavablar. Birinci sual: dörd. Dördlə dördün cəmi səkkizdir, yarısı yenə dörddür. Belə parça ordinat oxuna paraleldir. İkinci sual: o biri uc kameradan qərbə üç kilometr, cənuba iki kilometr aralıdadır. İki uc kameraya nəzərən simmetrikdir: addımlar eyni uzunluqdadır, istiqamətlər isə əksinədir. Gəlin çölə qayıdaq. Axşamdır, külək sakitləşib. Səbinə xanımla Orxan birinci kameranın şəkillərinə baxırlar. Absisi mənfi bir, ordinatı dörd olan nöqtədəki kamera bütöv bir ceyran sürüsünü çəkib: ceyranlar bir su yerindən o birinə gedirdilər. Orxan gülür: «İndi bilirəm. Fərqin yarısı ortaya qədər olan addımdır. Ortanın özü isə cəmin yarısıdır.» Yadda saxlamalı olduğumuz fikir sadədir. Parçanın orta nöqtəsinin absisi ucların absislərinin cəminin yarısıdır, ordinatı isə ucların ordinatlarının cəminin yarısıdır. Ortanı və bir ucu bilsək, o biri uc ortadan eyni addım qədər irəlidədir. Üçbucağın medianı, paraleloqramın diaqonalları və çevrənin diametri ilə bağlı çox məsələ elə bu qaydaya gətirilir. Daha çox nümunə üçün bu mövzunun oxu dərsinə və videosuna baxın. Və düşünmək üçün bir sual: parçanın hər iki ucu absis oxundan yuxarıdadırsa, onun orta nöqtəsi absis oxunun üstünə düşə bilərmi? Növbəti dərsdə görüşənədək!