Əsas məzmuna keç
STUWIN Kitabxana

Menyu

Görünüş

HTML dərs

Parçanın orta nöqtəsinin koordinatları

8-ci sinif həndəsə oxu dərsi: parçanın orta nöqtəsinin koordinatları. Şagird ədəd oxunda parçanın orta nöqtəsinin koordinatını uc nöqtələrin koordinatlarının ədədi ortası kimi çıxarır, Fales teoremi ilə bu fikri koordinat müstəvisinə köçürür və orta nöqtənin absis və ordinatı üçün düsturu öyrənir, parça koordinat oxlarından birinə paralel olanda düsturu yoxlayır. Bir uc və orta nöqtəyə görə o biri ucun koordinatlarını tapır, düsturu üçbucağın tərəflərinin orta nöqtələrinə və medianlara, paraleloqramın diaqonallarının kəsişmə nöqtəsinə və dördüncü təpəsinə, çevrənin mərkəzinə və diametrin ucuna, nöqtəyə nəzərən simmetrik nöqtəyə tətbiq edir; yarım fərq və orta nöqtəni uc saymaq kimi tipik səhvlərdən qaçır. Koordinatları, Fales teoremini və paraleloqramın xassələrini bilən şagirdlər üçündür; iki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyinə hazırlıqdır.

Provayder
DİM · Riyaziyyat
Bölmə
3.0 8-ci sinif Riyaziyyat
Mövzu
3.55 Parçanın orta nöqtəsinin koordinatları
Dil
Azərbaycan
Dərc olunub

HTML dərsAzərbaycan

Yeni pəncərədə aç
Dərsin mətni
  • 3.55
  • 8-ci sinif
  • Koordinatlar

Parçanın orta nöqtəsinin koordinatları

Aysel xəritədə A(−3; 6), Tural B(13; 2) nöqtəsindədir. Düz yolun tam ortasında görüşmək istəyirlər. Ölçməyə ehtiyac yoxdur: absislərin ortası və ordinatların ortası görüş yerini verir — M(5; 4).

Bu dərsdə

  • ədəd oxunda və koordinat müstəvisində parçanın orta nöqtəsinin koordinatlarını düsturla tapacaqsan;
  • düsturun niyə doğru olduğunu bərabər addımlar və Fales teoremi ilə izah edəcəksən;
  • bir uca və orta nöqtəyə görə o biri ucu, üçbucaqda, paraleloqramda və çevrədə lazım olan nöqtələri tapacaqsan.
  • uclar: x₁, x₂, y₁, y₂
  • orta nöqtə: x₀, y₀

Görüş yeri: AB parçasının orta nöqtəsi

Başla Yenidən Yenidən

  1. A və B absis oxuna proyeksiya olunur: −3 və 13. Ortası: (−3 + 13) : 2 = 5.
  2. Ordinat oxuna: 6 və 2. Ortası: (6 + 2) : 2 = 4.
  3. Bu iki ortadan çəkilən xətlər M(5; 4) nöqtəsində kəsişir: görüş yeri budur.
  1. Kəşf et
  2. Ədəd oxunda
  3. Müstəvidə
  4. Hesabla
  5. Diqqət
  6. Həyatda
  7. Özünü yoxla
  8. Yekun

1 · Kəşf et

Ortaya hər iki ucdan eyni addım

Əvvəl bir ox üzərində. Ədəd oxunda A və B nöqtələri var. Onların tam ortasındakı M nöqtəsinə A-dan da, B-dən də eyni sayda vahid getmək lazımdır. Cütü seç və addımlara bax.

Ucları seç

A(−7), B(5) A(−10), B(−4) A(−4), B(7)

Ədəd oxunda parçanın orta nöqtəsi

M(−1). A-dan B-yə 5 − (−7) = 12 vahiddir, yarısı 6. A-dan 6 vahid sağa: −7 + 6 = −1. B-dən 6 vahid sola: 5 − 6 = −1. Eyni nöqtə alınır.

M(−7). A-dan B-yə −4 − (−10) = 6 vahiddir, yarısı 3: −10 + 3 = −7. İki mənfi ucun ortası da mənfidir.

M(1,5). A-dan B-yə 7 − (−4) = 11 vahiddir, yarısı 5,5: −4 + 5,5 = 1,5. Orta nöqtənin koordinatı tam ədəd olmaya da bilər.

Üç cütdə də eyni qısa yol var: ucları topla, 2-yə böl. (−7 + 5) : 2 = −1, (−10 + (−4)) : 2 = −7, (−4 + 7) : 2 = 1,5. Növbəti mərhələdə bunun niyə həmişə belə olduğunu görəcəyik.

2 · Qayda

Ədəd oxunda orta nöqtənin düsturu

Ədəd oxunda uc nöqtələri A(x₁) və B(x₂) olan AB parçasının orta nöqtəsi M(x₀) olsun, x₁ < x₂. Ədəd oxunda iki nöqtə arasındakı məsafə onların koordinatlarının fərqinin moduludur.

  1. M orta nöqtədir: AM = MB.
  2. Məsafələri modulla yazırıq: AM = |x₀ − x₁|, MB = |x₂ − x₀|.
  3. M nöqtəsi A ilə B arasındadır (x₁ < x₀ < x₂), modullar açılır: x₀ − x₁ = x₂ − x₀.
  4. Hər iki tərəfə x₀ + x₁ əlavə edirik: 2x₀ = x₁ + x₂.
  5. x₀ = (x₁ + x₂) : 2

Yadda saxla

Parçanın orta nöqtəsinin koordinatı uc nöqtələrin koordinatlarının ədədi ortasıdır:

x₀ = x₁ + x₂2 /

Sıra fərq etmir

(x₂ + x₁) : 2 də eyni ədəddir: ucların hansını A adlandırmağın əhəmiyyəti yoxdur.

Mənfi ədədlər

Mənfi ucu mötərizəyə al: (−10 + (−4)) : 2 = −7.

Addımla yoxla

x₀ − x₁ və x₂ − x₀ bərabər olmalıdır: 1,5 − (−4) = 5,5, 7 − 1,5 = 5,5.

3 · Qayda

Müstəvidə: iki ox, iki orta

İndi A(x₁; y₁) və B(x₂; y₂) koordinat müstəvisindədir, M(x₀; y₀) isə AB parçasının orta nöqtəsidir. A, M və B nöqtələrindən absis oxuna perpendikulyarlar endirək. Hamısı ordinat oxuna paraleldir, deməli bir-birinə də paraleldir.

  1. Paralel düz xətlər AB üzərində bərabər parçalar ayırır: AM = MB.
  2. Fales teoremi: onda absis oxu üzərində də bərabər parçalar ayırırlar — x₁ ilə x₀ arası x₀ ilə x₂ arasına bərabərdir.
  3. Deməli x₀ absis oxunda x₁ ilə x₂-nin ortasıdır. Bu, ədəd oxu halıdır: x₀ = (x₁ + x₂) : 2.
  4. Ordinat oxuna perpendikulyarlarla eyni mühakimə: y₀ = (y₁ + y₂) : 2.

Fales teoremi ilə orta nöqtə

Narıncı çərtiklər bərabər parçaları göstərir: AB üzərində, sonra hər iki oxda. Başla qurmanı sıra ilə göstərir.

Başla Yenidən Yenidən

Yadda saxla

Uc nöqtələri A(x₁; y₁) və B(x₂; y₂) olan AB parçasının orta nöqtəsi M(x₀; y₀):

x₀ = x₁ + x₂2 / y₀ = y₁ + y₂2 /

Hər koordinat ayrıca hesablanır: absis absislərdən, ordinat ordinatlardan.

Parça oxa paralel olsa?

AB oxlardan birinə paralel olanda yuxarıdakı mühakimə işləmir: perpendikulyarlar ya üst-üstə düşür, ya da parça özü oxa paraleldir. Dərslik düsturu bu halda ayrıca yoxlamağı tapşırır. Parçanı seç.

Parçanı seç

Çəp Absis oxuna paralel Ordinat oxuna paralel

Orta nöqtə: çəp parça və oxlara paralel parçalar

A(−7; −2), B(3; 6). x₀ = (−7 + 3) : 2 = −2, y₀ = (−2 + 6) : 2 = 2. M(−2; 2)

A(−5; −4), B(7; −4). Parça absis oxuna paraleldir: onun bütün nöqtələrinin ordinatı −4-dür. Düstur da bunu verir: y₀ = (−4 + (−4)) : 2 = −4. Absis: x₀ = (−5 + 7) : 2 = 1. M(1; −4). Burada Fales lazım deyil: parça özü ədəd oxu kimidir.

A(7; −3), B(7; 5). Parça ordinat oxuna paraleldir: onun bütün nöqtələrinin absisi 7-dir və x₀ = (7 + 7) : 2 = 7. Ordinat: y₀ = (−3 + 5) : 2 = 1. M(7; 1)

Hər üç halda düstur doğru nəticə verir.

4 · Hesabla

Düsturu işə salırıq

Nümunə 1Orta nöqtə

E(−3; 7) və F(8; −2) nöqtələri verilib. EF parçasının orta nöqtəsinin koordinatlarını tapın.

Nümunə 1: EF parçasının orta nöqtəsi

  1. Absis: x₀ = (−3 + 8) : 2 = 5 : 2 = 2,5.
  2. Ordinat: y₀ = (7 + (−2)) : 2 = 5 : 2 = 2,5.
  3. Koordinatlar kəsr ola bilər: 2,5 iki tam ədədin tam ortasıdır. M(2,5; 2,5)

Nümunə 2Orta nöqtəyə görə uc

M(−2; 4) nöqtəsi AB parçasının orta nöqtəsidir, A(3; 6). B ucunun koordinatlarını tapın.

Nümunə 2: orta nöqtə və bir uca görə o biri uc

A-dan M-ə addım: 5 vahid sola, 2 vahid aşağı. M-dən eyni addım B-yə aparır. Ona görə x₂ = x₀ + (x₀ − x₁) = 2x₀ − x₁.

  1. Düsturdan: x₀ = (x₁ + x₂) : 2 ⇒ 2x₀ = x₁ + x₂ ⇒ x₂ = 2x₀ − x₁. Eyni qayda ilə y₂ = 2y₀ − y₁.
  2. x₂ = 2 · (−2) − 3 = −7, y₂ = 2 · 4 − 6 = 2.
  3. Yoxlama: (3 + (−7)) : 2 = −2, (6 + 2) : 2 = 4 — M alınır. B(−7; 2)

Nümunə 3Üçbucağın tərəflərinin ortaları

Üçbucağın təpələri A(−6; −4), B(6; 0), C(−2; 8). Tərəflərinin orta nöqtələrini tapın. C təpəsindən çəkilən mediana hansı nöqtədə bitir?

Nümunə 3: üçbucağın tərəflərinin orta nöqtələri

Bərabər hissələr eyni sayda çərtiklə işarələnib; qırıq narıncı xətt CK medianasıdır.

  1. AB-nin ortası K: ((−6 + 6) : 2; (−4 + 0) : 2) = (0; −2).
  2. BC-nin ortası L: ((6 + (−2)) : 2; (0 + 8) : 2) = (2; 4).
  3. AC-nin ortası N: ((−6 + (−2)) : 2; (−4 + 8) : 2) = (−4; 2).
  4. Mediana təpəni qarşı tərəfin orta nöqtəsi ilə birləşdirir. C-nin qarşısındakı tərəf AB-dir, ona görə mediana K nöqtəsində bitir. K(0; −2), L(2; 4), N(−4; 2)

Nümunə 4Paraleloqram

A(−5; −1), B(−1; 5), C(6; 4) nöqtələri ABCD paraleloqramının təpələridir. Diaqonalların M kəsişmə nöqtəsini və D təpəsini tapın.

Nümunə 4: paraleloqramın diaqonallarının kəsişməsi və dördüncü təpə

Diaqonallar kəsişmə nöqtəsində yarıya bölünür: bir çərtikli hissələr bərabərdir, iki çərtikli hissələr də.

  1. Paraleloqramın diaqonalları kəsişmə nöqtəsində yarıya bölünür, deməli M — AC-nin orta nöqtəsidir: ((−5 + 6) : 2; (−1 + 4) : 2) = (0,5; 1,5).
  2. M həm də BD-nin orta nöqtəsidir: D = (2 · 0,5 − (−1); 2 · 1,5 − 5) = (2; −2).
  3. Yoxlama: BD-nin ortası ((−1 + 2) : 2; (5 + (−2)) : 2) = (0,5; 1,5). M(0,5; 1,5), D(2; −2)

Nümunə 5Çevrə və diametr

KL çevrənin diametridir: K(−6; 3), L(4; −5). S(−5; 4) nöqtəsi çevrə üzərindədir. Çevrənin Q mərkəzini və S-dən keçən diametrin o biri T ucunu tapın.

Nümunə 5: çevrənin mərkəzi və ikinci diametrin ucu

Hər diametrin ortası çevrənin mərkəzidir: KL və ST Q nöqtəsində yarıya bölünür.

  1. Diametrin orta nöqtəsi mərkəzdir: Q = ((−6 + 4) : 2; (3 + (−5)) : 2) = (−1; −1).
  2. ST də diametrdir, Q onun ortasıdır: T = (2 · (−1) − (−5); 2 · (−1) − 4) = (3; −6).
  3. Q nöqtəsi ST-nin ortası olduğu üçün T nöqtəsi S-ə Q-ya nəzərən simmetrikdir. Nöqtəyə nəzərən simmetrik nöqtə də elə bu düsturla tapılır. Q(−1; −1), T(3; −6)

5 · Diqqət

İki tez-tez edilən səhv

Yarım fərq orta nöqtə deyil

A(−4; −5), B(8; 3). AB parçasının orta nöqtəsi hansıdır?

Səhv

(6; 4)

Fərqin yarısı götürülüb: (8 − (−4)) : 2 = 6. Bu, A-dan M-ə addımın uzunluğudur, nöqtə deyil.

Düz

M(2; −1)

Cəmin yarısı: (−4 + 8) : 2 = 2, (−5 + 3) : 2 = −1. Addımla yoxla: −4 + 6 = 2.

Yarım fərq nöqtə deyil, addımdır

Absis oxunda: 6 A-dan M-ə gedən addımdır. Orta nöqtə −4 + 6 nöqtəsidir, 6 nöqtəsi yox.

Orta nöqtəni uc saymaq

AB parçasının orta nöqtəsi M(0; 3), A(−3; 6). B ucu hansıdır?

Səhv

(−1,5; 4,5)

A ilə M-in ortası tapılıb. Bu, AM parçasının orta nöqtəsidir, B deyil.

Düz

B(3; 0)

x₂ = 2 · 0 − (−3) = 3, y₂ = 2 · 3 − 6 = 0. Yoxlama: (−3 + 3) : 2 = 0, (6 + 0) : 2 = 3.

6 · Həyatda

Orta nöqtə hər yerdə

İki nöqtənin koordinatları məlum olan hər yerdə orta nöqtə eyni qayda ilə tapılır: meydanda, xəritədə, ekranda.

Futbol meydanının mərkəz nöqtəsi

Futbol meydanı 105 m × 68 m-dir. Koordinat başlanğıcını sol aşağı küncə qoysaq, qapıların ortaları (0; 34) və (105; 34) olur. Mərkəz nöqtəsi: ((0 + 105) : 2; (34 + 34) : 2) = (52,5; 34).

Ekranda pəncərənin mərkəzi

Ekranda nöqtənin yeri piksellə verilir. Pəncərənin qarşı küncləri (240; 120) və (1000; 600) olarsa, onun M mərkəzi diaqonalın ortasıdır: ((240 + 1000) : 2; (120 + 600) : 2) = (620; 360).

7 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç: düz olanda lime, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllə də baxa bilərsən.

  1. Asan Ədəd oxunda A(−8) və B(2) nöqtələri verilib. AB parçasının orta nöqtəsinin koordinatı neçədir? Sual 1 variantları 5 −3 −6 Düzdür! (−8 + 2) : 2 = −3. Ucları topla və cəmi 2-yə böl. Fərqin yarısı addımdır, nöqtə deyil. Həllə bax (−8 + 2) : 2 = −6 : 2 = −3. Yoxlama: −3 nöqtəsi hər iki ucdan 5 vahid aralıdır.
  2. Asan C(−8; 7) və D(2; −1) nöqtələri verilib. CD parçasının orta nöqtəsi hansıdır? Sual 2 variantları (5; −4) (−3; 3) (−6; 6) Düzdür! Absis və ordinat ayrıca ortalanır. Hər koordinatda ucların cəmini 2-yə böl. Həllə bax x₀ = (−8 + 2) : 2 = −3, y₀ = (7 + (−1)) : 2 = 3. Cavab (−3; 3).
  3. Orta M(3; −4) nöqtəsi PQ parçasının orta nöqtəsidir, P(−2; 1). Q nöqtəsinin koordinatları hansıdır? Sual 3 variantları (0,5; −1,5) (8; −9) (−7; 6) Düzdür! x₂ = 2x₀ − x₁, y₂ = 2y₀ − y₁. M orta nöqtədir, uc deyil: x₂ = 2x₀ − x₁ düsturunu işlət, x₀ orta nöqtənin absisidir. Həllə bax x₂ = 2 · 3 − (−2) = 8, y₂ = 2 · (−4) − 1 = −9. Yoxlama: (−2 + 8) : 2 = 3, (1 + (−9)) : 2 = −4.
  4. Orta Çevrənin diametrinin ucları (−9; 2) və (5; −4) nöqtələridir. Çevrənin mərkəzi hansı nöqtədir? Sual 4 variantları (7; −3) (−1; −2) (−2; −1) Düzdür! Mərkəz diametrin orta nöqtəsidir. Mərkəz diametrin orta nöqtəsidir: cəmin yarısını tap, absisi birinci yaz. Həllə bax ((−9 + 5) : 2; (2 + (−4)) : 2) = (−2; −1).
  5. Çətin A(−5; 0), B(−2; 6), C(7; 2) nöqtələri ABCD paraleloqramının təpələridir. D təpəsinin koordinatları hansıdır? Sual 5 variantları (10; 8) (4; −4) (1; 1) Düzdür! AC və BD diaqonallarının ortası eyni nöqtədir. Diaqonallar kəsişmə nöqtəsində yarıya bölünür: AC-nin ortası BD-nin də ortasıdır. D təpəsi B-nin qarşısındadır. Həllə bax AC-nin ortası: ((−5 + 7) : 2; (0 + 2) : 2) = (1; 1). D = (2 · 1 − (−2); 2 · 1 − 6) = (4; −4). (1; 1) kəsişmə nöqtəsidir, təpə yox; (10; 8) isə təpələrin sırası səhv götürüləndə (B + C − A) alınır.
  6. Çətin A(5; b + 3) və B(−1; 2b − 9) nöqtələri verilib. AB parçasının orta nöqtəsi absis oxu üzərindədir. b neçədir? Sual 6 variantları −2 12 2 Düzdür! Orta nöqtənin ordinatı 0 olmalıdır. Absis oxundakı nöqtənin ordinatı 0-dır: y₀ = 0 tənliyini qur və işarələrə diqqət et. Həllə bax y₀ = (b + 3 + 2b − 9) : 2 = (3b − 6) : 2 = 0, deməli 3b − 6 = 0 və b = 2. Yoxlama: A(5; 5), B(−1; −5), orta nöqtə (2; 0) absis oxundadır. 12 ucların ordinatlarını bərabərləşdirəndə alınır — bu, parçanın absis oxuna paralel olması şərtidir, başqa sualdır.

8 · Yekun

Üç nəticə

  • Ədəd oxunda: cəmin yarısıx₀ = (x₁ + x₂) : 2, çünki orta nöqtəyə hər iki ucdan eyni addım var.
  • Müstəvidə: hər koordinat ayrıcaFales teoremi ilə: x₀ = (x₁ + x₂) : 2, y₀ = (y₁ + y₂) : 2.
  • Naməlum uc: x₂ = 2x₀ − x₁Ordinat üçün də eynidir: y₂ = 2y₀ − y₁. Mediana, paraleloqram, çevrə və simmetrik nöqtə məsələləri bununla həll olunur.

Növbəti mövzu: 3.56 İki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyi — yenə iki nöqtənin koordinatlarından başlayacağıq.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 8-ci sinif», səh. 195: ədəd oxunda orta nöqtənin çıxarışı (AM = MB, modullar), Fales teoremi ilə koordinat müstəvisinə keçid, orta nöqtənin koordinatları düsturu və onu oxlara paralel parçada yoxlamaq tapşırığı; öyrənmə tapşırıqlarının fikirləri (uc nöqtə, üçbucağın tərəflərinin ortaları, paraleloqram, çevrənin mərkəzi). Ordinat üçün mühakimə burada absis üçün olanın tayıdır. Bütün nöqtələr bu dərs üçün seçilib; lövhələr koordinatlara görə dəqiq çəkilib.