Audio dərs · Müddət
12:16
Mətn (transkript)
Təsəvvür edin: sentyabrın isti bir axşamıdır. Dağ kəndində, evin eyvanında bir lampa yanır, bağda cırcıramalar oxuyur. Səkkizinci sinif şagirdi Lalə stolun arxasında oturub. Sabahkı tapşırıq belədir: üç kvadrat tənliyin hər biri üçün əvvəlcə köklərin sayını tapmaq, sonra kökləri hesablamaq. Elə bu an lampa sönür. Bütün kənd qaranlığa qərq olur. Dəftər görünmür, qələm də. Lalə telefonu götürür və şəhərdə universitetdə oxuyan əmisi oğlu Toğrula zəng edir. «Toğrul, işıqlar söndü, tapşırığı isə sabah verməliyəm.» Toğrul sakitcə deyir: «Tənlikləri oxu, mən qulaq asıram.» Lalə yaddaşından oxuyur: dörd iks kvadrat, çıx doqquz iks, üstəgəl iki, sıfıra bərabərdir. Toğrul bir anlıq susur: «Bunun iki müxtəlif kökü var.» İkinci tənlik: iks kvadrat, üstəgəl altı iks, üstəgəl doqquz, sıfıra bərabərdir. «Bunun iki bərabər kökü var.» Üçüncü: iks kvadrat, çıx üç iks, üstəgəl beş, sıfıra bərabərdir. Toğrul gülümsəyir: «Bunun isə ümumiyyətlə həqiqi kökü yoxdur.» Lalə təəccüblənir: «Sən heç kağız da götürmədin! Kökləri tapmamış, onların sayını necə bildin?» Toğrul cavab verir: «Hər tənlik üçün cəmi bir ədəd hesabladım. O ədəd mənə hər şeyi dedi.» Bu hansı ədəddir? Və vuruqlara ayırmaq alınmayanda kökləri necə tapırıq? Gəlin birlikdə öyrənək. Salam! Bu dinləmə dərsinin mövzusu kvadrat tənliklərin həlli və kvadrat tənliyin kökləri düsturudur. Bu gün düsturun haradan gəldiyini, diskriminantın nə olduğunu, onun işarəsinin köklərin sayını necə dediyini və ikinci əmsal cüt olanda qısa yolu öyrənəcəyik. Ədədlər kiçik olacaq, ona görə kağızsız da izləyə bilərsiniz. Əvvəlcə tanış şeyləri xatırlayaq. Kvadrat tənliyin ümumi şəkli belədir: a iks kvadrat, üstəgəl be iks, üstəgəl ce, sıfıra bərabərdir, burada a sıfır deyil. A birinci əmsaldır, be ikinci əmsal, ce isə sərbəst hədd. Siz artıq iki üsul bilirsiniz. Vuruqlara ayırmaq sürətlidir, amma yalnız ədədlər dost olanda alınır. Tam kvadrat ayırma isə həmişə işləyir, lakin hər dəfə uzun yol tələb edir. Dərslik ağıllı bir iş görür: bu uzun yolu bir dəfə ədədlərlə yox, hərflərlə gedir. Onda istənilən tənlik üçün hazır resept alınır. Bu yolu sözlə izləyək. Əvvəlcə tənliyin hər iki tərəfini a-ya bölürük, indi iks kvadratın qarşısında bir durur. Sonra sərbəst həddi sağ tərəfə keçiririk. Ən vacib addım budur: sol tərəfi tam kvadrata tamamlamaq üçün hər iki tərəfə eyni ədədi əlavə edirik, iksin yeni əmsalının yarısının kvadratını. İndi sol tərəf bir ifadənin kvadratıdır: iks üstəgəl be bölünsün iki a-ya, hamısı kvadrat. Sağ tərəf isə bir kəsrdə toplanır. Onun surəti be kvadrat çıx dörd a ce, məxrəci isə dörd a kvadratdır. Bu kəsrə diqqətlə baxaq. Məxrəc, dörd a kvadrat, həmişə müsbətdir. Deməli, hər şey surətdən asılıdır. Surət mənfi deyilsə, hər iki tərəfdən kvadrat kök alırıq. Kök alanda iki işarə yaranır, üstəgəl və çıx, çünki bir ədədin də, onun əks işarəlisinin də kvadratı eynidir. Axırda be bölünsün iki a-nı sağ tərəfə keçiririk və resept hazırdır. Onu bir dəfə yavaş deyirəm. İks bərabərdir: mənfi be, üstəgəl və ya çıx, be kvadrat çıx dörd a ce ifadəsinin kvadrat kökü, və bütün bu surət bölünür iki a-ya. Bu, kvadrat tənliyin kökləri düsturudur. İndi Toğrulun sirrinə gəlirik. Kök işarəsinin altındakı ifadəyə, yəni be kvadrat çıx dörd a ce ifadəsinə, xüsusi ad verilib: diskriminant. Dərslik onu həm də ayırdedici adlandırır və böyük de hərfi ilə işarə edir. Deməli, de bərabərdir be kvadrat çıx dörd a ce. Ayırdedici adı təsadüfi deyil: bu ədəd tənlikləri köklərinin sayına görə bir-birindən ayırır. Üç hal var. Birinci hal: de müsbətdir. Onda onun kvadrat kökü müsbət ədəddir. Onu bir dəfə əlavə edirik, bir dəfə çıxırıq və iki müxtəlif kök alırıq. İkinci hal: de sıfırdır. Sıfırı əlavə etmək də, çıxmaq da eyni nəticəni verir, ona görə iki kök bir-birinə bərabər olur: iks bərabərdir mənfi be bölünsün iki a-ya. Üçüncü hal: de mənfidir. Heç bir ədədin kvadratı mənfi ola bilməz, ona görə mənfi ədədin kvadrat kökü yoxdur. Deməli, tənliyin həqiqi kökü də yoxdur. Toğrulun etdiyi də budur. Birinci tənlikdə a dörddür, be mənfi doqquzdur, ce ikidir. Be kvadrat səksən birdir, çünki mənfi ədədin kvadratı müsbətdir. Dörd a ce otuz ikidir. Səksən bir çıx otuz iki, qırx doqquz edir. Bu, müsbət ədəddir, deməli iki müxtəlif kök var. İkinci tənlikdə be kvadrat otuz altıdır, dörd a ce də otuz altıdır. Fərq sıfırdır, deməli iki bərabər kök var. Üçüncüdə be kvadrat doqquzdur, dörd a ce iyirmidir. Doqquzdan iyirmini çıxanda mənfi on bir alınır, deməli həqiqi kök yoxdur. Toğrul sadəcə üç kiçik çıxma əməli edib. Burada iki tələyə diqqət edin. Birincisi: ikinci əmsal mənfi olsa da, onun kvadratı həmişə müsbətdir. İkincisi: a müsbət, sərbəst hədd isə mənfi olanda dörd a ce mənfi olur, mənfi ədədi çıxmaq isə əlavə etmək deməkdir. İndi sıra sizdədir. İks kvadrat, üstəgəl beş iks, üstəgəl altı, sıfıra bərabərdir. Bu tənliyin neçə kökü var? Bir az fikirləşin. Be kvadrat iyirmi beşdir, dörd a ce iyirmi dörd. Fərq birdir, müsbət ədəddir, deməli iki müxtəlif kök var. Yoxlamaq istəsəniz, onlar mənfi iki və mənfi üçdür. İndi kökləri özləri tapaq. Qaranlıq kənddə Lalə soruşur: «Yaxşı, birinci tənliyin kökləri hansılardır?» Toğrul deyir: «Reseptə bax. Diskriminant artıq hazırdır, ondan kvadrat kök alırıq. Sonra ikinci əmsalın işarəsini dəyişirik və ona bu kökü bir dəfə əlavə edirik, bir dəfə də ondan çıxırıq. Hər iki nəticəni birinci əmsalın iki mislinə bölürük.» Birinci tənlikdə diskriminant qırx doqquz idi, onun kvadrat kökü yeddidir. İkinci əmsal mənfi doqquz idi, işarəsini dəyişəndə müsbət doqquz olur. Birinci əmsalın iki misli səkkizdir. Doqquz üstəgəl yeddi on altıdır, səkkizə bölünəndə iki alınır. Doqquz çıx yeddi ikidir, səkkizə bölünəndə səkkizdə iki, yəni dörddə bir alınır. Deməli, köklər iki və dörddə birdir. Yoxlayaq: iksin yerinə iki yazsaq, dörd iks kvadrat on altı olur, doqquz iks isə on səkkiz. On altı çıx on səkkiz, üstəgəl iki, düz sıfırdır. Burada da iki tələ var. Bölmə bütün surətə aiddir, həm doqquza, həm də kökə. Bölən isə a deyil, iki a-dır. İkinci tənlikdə diskriminant sıfır idi. Onda düstur qısalır: iks bərabərdir mənfi be bölünsün iki a-ya. Be altıdır, a birdir. Mənfi altını ikiyə bölürük və mənfi üç alınır. Bu, iki bərabər kökdür, burada kök yoxdur demək səhv olardı. Birinci əmsal bir olanda dərslik belə tənliyi çevrilmiş kvadrat tənlik adlandırır, onun düsturunda məxrəc sadəcə ikidir. Son fəsildə dərslikdəki qısa yola baxaq. Bəzən ikinci əmsal cüt ədəd olur. Onda onu iki ka şəklində yazırıq, yəni ka ikinci əmsalın yarısıdır. Hesablasaq, diskriminant ka kvadrat çıx a ce ifadəsinin dörd mislinə bərabər olur. Bu ifadəni de bir adlandırırlar: de bir bərabərdir ka kvadrat çıx a ce. Köklər isə belə tapılır: mənfi ka, üstəgəl və ya çıx de birin kvadrat kökü, bölünsün a-ya. Diqqət edin: indi bölən iki a deyil, sadəcə a-dır, ədədlər də kiçik qalır. Bir nümunə. İks kvadrat, çıx altı iks, çıx yeddi, sıfıra bərabərdir. İkinci əmsal mənfi altıdır, onun yarısı, yəni ka, mənfi üçdür. Ka kvadrat doqquzdur. A ce mənfi yeddidir, onu çıxanda əslində əlavə edirik: doqquz üstəgəl yeddi on altı edir. De birin kvadrat kökü dörddür. Mənfi ka müsbət üçdür. Üç üstəgəl dörd yeddidir, üç çıx dörd isə mənfi birdir. A bir olduğu üçün bölməyə ehtiyac yoxdur. Köklər yeddi və mənfi birdir. Adi diskriminantla da eyni cavab alınardı, amma orada altmış dörd kimi böyük ədədlə işləməli olardıq. İndi sıra yenə sizdədir. İks kvadrat, üstəgəl səkkiz iks, üstəgəl yeddi, sıfıra bərabərdir. Qısa yolla həll edin: əvvəlcə ka-nı, sonra de biri tapın. Bir az fikirləşin. Ka dörddür, ka kvadrat on altıdır. On altıdan yeddini çıxanda doqquz qalır, de bir doqquzdur, kökü üçdür. Mənfi ka mənfi dörddür. Mənfi dörd üstəgəl üç mənfi birdir, mənfi dörd çıx üç isə mənfi yeddidir. Köklər mənfi bir və mənfi yeddidir. Bir faydalı qeyd də var: diskriminant de birin dörd misli olduğu üçün onların işarəsi həmişə eynidir. Deməli, de bir də köklərin sayını deyir. Gəlin kəndə qayıdaq. Birdən eyvanda lampa yenidən yanır. Lalə tez dəftəri açır və hər şeyi yazır. Toğrulun dediyi üç tənliyin üçündə də düz çıxır. Birincinin iki müxtəlif kökü var: iki və dörddə bir. İkincinin iki bərabər kökü var: mənfi üç. Üçüncünün isə həqiqi kökü yoxdur. Toğrulun sirli ədədi diskriminant idi. O, tənliyi həll etməzdən əvvəl köklərin sayını deyir, kökləri isə düstur tapır. Bu dərsdən bir fikri yadda saxlayın. İstənilən kvadrat tənlikdə əvvəlcə diskriminantı hesablayın: be kvadrat çıx dörd a ce. Müsbətdirsə, iki müxtəlif kök var. Sıfırdırsa, iki bərabər kök var. Mənfidirsə, həqiqi kök yoxdur. Sonra düstur kökləri özü verir. Addım-addım yazılmış nümunələri oxu dərsində və videoda tapacaqsınız. Növbəti dəfə vuruqlara ayırmaq alınmayanda narahat olmayın: artıq hər kvadrat tənliyə uyğun açarınız var. Sağ olun, görüşənədək!