Kvadrat tənliklərin həlli. Kvadrat tənliyin kökləri düsturu

• 3.13
• 8-ci sinif
• Kvadrat tənliklər

Kvadrat tənliyin kökləri düsturu

3x² + 8x − 35 = 0. Bir kökü bəlkə təxmin edərsən, bəs o biri? Vuruqlara ayırmaq da asan deyil. Amma elə bir düstur var ki, kökləri yalnız a, b, c əmsallarından hesablayır: x = −5 və x = 73 bölü .

Bu dərsdə

• köklər düsturunun tam kvadrat ayırma ilə necə alındığını izah edəcək, diskriminantın işarəsinə görə köklərin sayını deyəcəksən;
• tam və çevrilmiş kvadrat tənlikləri düsturla həll edəcək, irrasional cavabı sadələşdirəcəksən;
• ikinci əmsal cüt olanda qısa düsturu seçəcək, tənliyi əvvəlcə standart şəklə gətirəcəksən.

Kökləri düsturu tənliyin əmsallarından iki kökü tapır

BaşlaYenidənYenidən

1. Kəşf et
2. Düstur
3. D laboratoriyası
4. Hesabla
5. b cüt olanda
6. Əvvəlcə hazırla
7. Diqqət
8. Həyatda
9. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Tam kvadrat: hər dəfə eyni yol

Əvvəlki dərsdə kvadrat tənliyi tam kvadrat ayırma ilə həll etdin. Gəl bunu bir dəfə də 7x² − 6x − 1 = 0 tənliyi ilə edək və hər addımda nə etdiyimizə fikir verək.

1. 7x² − 6x − 1 = 0Başlanğıc.
2. x² − 67 bölü x − 17 bölü = 0Hər iki tərəfi 7-yə bölürük.
3. x² − 67 bölü x = 17 bölü Sərbəst həddi sağa keçiririk.
4. x² − 67 bölü x + (37 bölü )² = 17 bölü + 949 bölü x-in əmsalının yarısının kvadratını iki tərəfə əlavə edirik.
5. (x − 37 bölü )² = 1649 bölü Sol tərəf tam kvadratdır, sağ tərəfi toplayırıq.
6. x − 37 bölü = ±47 bölü Sağ tərəf mənfi deyil — kvadrat kök alırıq.
7. x = 37 bölü ± 47 bölü x1 = −17 bölü , x2 = 1

Yoxla: x = 1 olanda 7 − 6 − 1 = 0. Addımlara bax: a-ya böl, sərbəst həddi keçir, yarım əmsalın kvadratını əlavə et, kök al, keçir. Bu addımlar heç bir konkret ədəddən asılı deyil. Deməli, onları bir dəfə hərflərlə edə bilərik — və hər kvadrat tənlik üçün hazır cavab alarıq.

2 · Düstur

Düsturu özümüz çıxaraq

Eyni addımları ax² + bx + c = 0 tənliyi üçün edirik. Hər sətrin altında nə etdiyimiz yazılıb (dərslikdəki izahlar).

1. ax² + bx + c = 0, a ≠ 0Başlanğıc: istənilən kvadrat tənlik.
2. x² + ba bölü x + ca bölü = 0«Hər iki tərəfi a-ya bölək.»
3. x² + ba bölü x = −ca bölü «Hər iki tərəfdən c/a çıxaq.»
4. x² + ba bölü x + (b2a bölü )² = −ca bölü + (b2a bölü )²«Sol tərəfi tam kvadrata tamamlamaq üçün tənliyin hər iki tərəfinə (b/2a)² əlavə edək.» Şəkildəki narıncı künc məhz budur.
5. (x + b2a bölü )² = b² − 4ac4a² bölü «Sol tərəfi iki ifadənin cəminin kvadratı kimi yazaq, sağ tərəfi isə sadələşdirək.»
6. x + b2a bölü = ±kvadrat kök b² − 4ac2a bölü «Sağ tərəf mənfi deyilsə, hər iki tərəfdən kvadrat kök alaq.» 4a²-nin kökü 2a-nın moduludur, ± işarəsi isə onun işarəsini onsuz da əhatə edir.
7. x1,2 = −b ± kvadrat kök b² − 4ac2a bölü «Hər iki tərəfdən b/2a çıxaq.»

Tam kvadrata tamamlama sahə ilə

BaşlaYenidənYenidən

Sol tərəf x² + (b/a)x — lime kvadrat və iki mavi zolaq. Tam kvadrat olmağa yalnız narıncı künc çatmır: onun sahəsi (b/2a)²-dir. Onu iki tərəfə əlavə edəndə sol tərəf (x + b/2a)² olur.

Yadda saxla

ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) tənliyinin kökləri:

x1,2 = −b ± kvadrat kök D2a bölü burada D = b² − 4ac

D ədədinə kvadrat tənliyin diskriminantı (ayırdedici) deyilir: köklərin olub-olmamasını məhz o «ayırır».

Düsturu iki hissəyə ayırsaq, mənası görünür: x = −b/2a ± √D/2a. Köklər −b/2a nöqtəsinə görə simmetrikdir və ondan √D/2a qədər uzaqdadır — yuxarıdakı ədəd oxunda gördüyün kimi.

BaşlanğıcDərsin əvvəlindəki tənlik

3x² + 8x − 35 = 0

1. Əmsallar: a = 3, b = 8, c = −35.
2. D = 8² − 4 · 3 · (−35) = 64 + 420 = 484 > 0.
3. x1,2 = −8 ± kvadrat kök 4842 · 3 bölü = −8 ± 226 bölü
4. x1 = −8 − 226 bölü = −306 bölü = −5 x2 = −8 + 226 bölü = 146 bölü = 73 bölü x1 = −5, x2 = 73 bölü

3 · D laboratoriyası

D-nin işarəsi nə deyir?

Düsturda √D var, mənfi ədədin isə hesabi kvadrat kökü yoxdur. x² − 7x + c = 0 tənliyində c-ni dəyiş və köklərə bax: orta nöqtə həmişə −b/2a = 3,5, dəyişən yalnız D-dir.

c neçə olsun?

c = −8 c = 12,25 c = 13

x² − 7x + c = 0 tənliyinin kökləri ədəd oxunda

c = −8: D = (−7)² − 4 · 1 · (−8) = 49 + 32 = 81 > 0. kvadrat kök 81 = 9, köklər ortadan 92 bölü = 4,5 qədər sola və sağadır: x1 = −1, x2 = 8. İki müxtəlif kök.

c = 12,25: D = (−7)² − 4 · 1 · 12,25 = 49 − 49 = 0. Oxlar sıfıra enir, iki kök üst-üstə düşür: x1 = x2 = 3,5. İki bərabər kök.

c = 13: D = (−7)² − 4 · 1 · 13 = 49 − 52 = −3 < 0. Mənfi ədədin hesabi kvadrat kökü yoxdur, ona görə ortadan sola və sağa addım ata bilmirik. Həqiqi kök yoxdur.

Mavi xətt köklərin ortası −b/2a-dır; narıncı oxların uzunluğu √D/2a-dır.

Dərslik bunu belə yazır: «Kvadrat tənliyin həqiqi köklərinin varlığı D-nin işarəsindən asılıdır.»

D > 0

«tənliyin iki müxtəlif həqiqi kökü var: x1 ≠ x2»

D = 0

«tənliyin iki bərabər kökü var: x1 = x2 = −b/2a»

D < 0

«tənliyin həqiqi kökü yoxdur»

Qrafik üsulda (3.12) bu üç hal parabolanın Ox oxunu iki nöqtədə kəsməsi, ona toxunması və onu kəsməməsi kimi görünürdü.

4 · Hesabla

Düsturla addım-addım

Hər dəfə eyni sıra: a, b, c-ni işarəsi ilə yaz → D-ni hesabla → D-nin işarəsinə bax → düstura qoy. D mənfidirsə, iş elə orada bitir.

Nümunə 1D > 0, c mənfidir

8x² + x − 9 = 0 tənliyini həll edin.

1. a = 8, b = 1, c = −9. c mənfidir, ona görə −4ac müsbət olacaq.
2. D = 1² − 4 · 8 · (−9) = 1 + 288 = 289 > 0 — iki müxtəlif kök.
3. x1,2 = −1 ± kvadrat kök 2892 · 8 bölü = −1 ± 1716 bölü
4. x1 = −1 − 1716 bölü = −1816 bölü = −98 bölü x2 = −1 + 1716 bölü = 1616 bölü = 1 x1 = −98 bölü , x2 = 1

Nümunə 2D = 0

4x² − 44x + 121 = 0 tənliyini həll edin.

1. a = 4, b = −44, c = 121.
2. D = (−44)² − 4 · 4 · 121 = 1936 − 1936 = 0.
3. D = 0 — iki bərabər kök: x1 = x2 = −b2a bölü = 442 · 4 bölü = 5,5. Yoxlama: sol tərəf (2x − 11)²-dir, o isə yalnız x = 5,5 olanda sıfırdır. x1 = x2 = 5,5

Nümunə 3D < 0

7x² + 3x + 1 = 0 tənliyini həll edin.

1. a = 7, b = 3, c = 1.
2. D = 3² − 4 · 7 · 1 = 9 − 28 = −19 < 0.
3. Mənfi ədədin hesabi kvadrat kökü yoxdur, düsturun qalanını yazmağa ehtiyac yoxdur. Həqiqi kökü yoxdur

Nümunə 4Cavab irrasionaldır

3x² − 6x + 1 = 0 tənliyini həll edin.

1. a = 3, b = −6, c = 1.
2. D = (−6)² − 4 · 3 · 1 = 36 − 12 = 24 > 0, amma 24 tam kvadrat deyil: kvadrat kök 24 = kvadrat kök 4 · 6 = 2kvadrat kök 6 (vuruğu kök altından çıxarırıq).
3. x1,2 = 6 ± kvadrat kök 242 · 3 bölü = 6 ± 2kvadrat kök 66 bölü = 2(3 ± kvadrat kök 6)6 bölü = 3 ± kvadrat kök 63 bölü Surətdəki hər iki hədd 2-yə bölünür, yalnız biri yox. x1,2 = 3 ± kvadrat kök 63 bölü

Çevrilmiş tənlik

x² + px + q = 0 tənliyində a = 1, b = p, c = q-dur. Dərslik: diskriminant D = p² − 4q, D ≥ 0 olduqda x1 = −p − kvadrat kök p² − 4q2 bölü , x2 = −p + kvadrat kök p² − 4q2 bölü .

Nümunə 5Çevrilmiş tənlik

x² − 3x − 54 = 0 tənliyini həll edin.

1. p = −3, q = −54.
2. D = p² − 4q = (−3)² − 4 · (−54) = 9 + 216 = 225, kvadrat kök 225 = 15.
3. x1 = 3 − 152 bölü = −6, x2 = 3 + 152 bölü = 9. x1 = −6, x2 = 9

5 · b cüt olanda

Qısa yol: D₁

İkinci əmsal cütdürsə, onu b = 2k kimi yazmaq hesabı kiçildir. Dərslikdəki qutu:

Yadda saxla

D = (2k)² − 4ac = 4k² − 4ac = 4(k² − ac) = 4D1x1,2 = −2k ± kvadrat kök 4D12a bölü = −2k ± 2kvadrat kök D12a bölü = 2(−k ± kvadrat kök D1)2a bölü = −k ± kvadrat kök D1a bölü

x1,2 = −k ± kvadrat kök D1a bölü burada D1 = k² − ac

D = 4D1 olduğundan D1-in işarəsi D-nin işarəsi ilə eynidir: köklərin sayını D1 də deyir. Məxrəcdə artıq a durur, 2a yox.

Nümunə 6D₁ ilə

5x² + 6x − 8 = 0 tənliyini həll edin.

1. b = 6 = 2 · 3, deməli k = 3; a = 5, c = −8.
2. D1 = k² − ac = 3² − 5 · (−8) = 9 + 40 = 49 > 0, kvadrat kök 49 = 7.
3. x1 = −3 − 75 bölü = −105 bölü = −2 x2 = −3 + 75 bölü = 45 bölü = 0,8 Adi D ilə: D = 36 + 160 = 196, kvadrat kök 196 = 14 və 10-a bölmək lazım olardı — cavab eynidir, ədədlər böyükdür. x1 = −2, x2 = 0,8

Nümunə 4-ə qayıdaq: 3x² − 6x + 1 = 0, b = −6 = 2 · (−3), k = −3.

D1 = k² − ac = (−3)² − 3 · 1 = 9 − 3 = 6x1,2 = 3 ± kvadrat kök 63 bölü

Kök altından vuruq çıxarmağa və ixtisara ehtiyac qalmadı: D = 4D1-dəki 4 elə həmin «2-yə bölmə» idi.

6 · Əvvəlcə hazırla

Tənliyi standart şəklə gətir

Düstur yalnız ax² + bx + c = 0 şəklindəki tənliyə tətbiq olunur. Tənlik başqa şəkildədirsə, əvvəlcə mötərizələri aç, bütün hədləri bir tərəfə keçir, oxşar hədləri birləşdir. Kəsr və onluq əmsalları isə dərsliyin dediyi kimi «tam ədədlər olsun» deyə uyğun ədədə vur.

Nümunə 7Mötərizəni aç

(x − 2)² + 3x = 2x² − 8 tənliyini həll edin.

1. Sol tərəf: x² − 4x + 4 + 3x = x² − x + 4.
2. Hamısını sağa keçiririk (a müsbət qalsın): 0 = 2x² − 8 − x² + x − 4, yəni x² + x − 12 = 0.
3. a = 1, b = 1, c = −12: D = 1 + 48 = 49, kvadrat kök 49 = 7, x1,2 = −1 ± 72 bölü .
4. x1 = −4, x2 = 3. Yoxlama ilk tənlikdə: x = 3 olanda 1 + 9 = 10 və 18 − 8 = 10; x = −4 olanda 36 − 12 = 24 və 32 − 8 = 24. x1 = −4, x2 = 3

Nümunə 8Onluq əmsallar

0,3x² − 0,05x − 0,35 = 0 tənliyini həll edin.

1. Hər iki tərəfi 100-ə vururuq: 30x² − 5x − 35 = 0. Bütün əmsallar 5-ə bölünür: 6x² − x − 7 = 0.
2. D = (−1)² − 4 · 6 · (−7) = 1 + 168 = 169 > 0, kvadrat kök 169 = 13.
3. x1 = 1 − 1312 bölü = −1212 bölü = −1 x2 = 1 + 1312 bölü = 1412 bölü = 76 bölü x1 = −1, x2 = 76 bölü

c = 0 olanda

ax² + bx = 0

Düstur da işləyir (D = b²), amma x-i mötərizə xaricinə çıxarmaq daha qısadır: x(ax + b) = 0. Kök 0-ı itirmə.

b = 0 olanda

ax² + c = 0

D = −4ac. x² = −c/a yazıb kök almaq daha tezdir; −c/a mənfidirsə, həqiqi kök yoxdur.

7 · Diqqət

Beş tez-tez edilən səhv

Bu səhvlərin hamısında düstur düz yazılıb — itən bir işarə və ya bir bölmədir. Ona görə a, b, c-ni işarəsi ilə yaz və mötərizəyə al.

c mənfi olanda: 3x² + x − 5 = 0

Səhv

D = 1 − 60 = −59, kök yoxdur

c = −5 «5» kimi götürülüb, nəticə də tərsinə çevrilib.

Düz

D = 1 − 4 · 3 · (−5) = 1 + 60 = 61

Mənfi c ilə 4ac mənfidir, «− 4ac» isə müsbət olur: iki kök var.

b mənfi olanda: 2x² − 13x + 6 = 0

Səhv

(−13)² = −169

Mənfi ədədin kvadratı mənfi olmur.

Düz

D = (−13)² − 48 = 169 − 48 = 121

b-ni mötərizəyə al: (−13)² = 169.

İrrasional cavabı ixtisar edəndə (Nümunə 4)

Səhv

(6 ± 2kvadrat kök 6) : 6 = 1 ± 2kvadrat kök 6

Yalnız birinci hədd 6-ya bölünüb.

Düz

(6 ± 2kvadrat kök 6) : 6 = (3 ± kvadrat kök 6) : 3

Surətin hər iki həddi ortaq vuruq 2-yə bölünür.

D = 0 olanda: x² + 1,4x + 0,49 = 0

Səhv

D = 0 → kök yoxdur; x = ±0,7

«Sıfır» «yox» demək deyil, ± isə √D = 0 ilə yox olur.

Düz

x1 = x2 = −1,42 bölü = −0,7

D = 1,96 − 1,96 = 0: iki bərabər kök, işarəsi −b/2a-dan gəlir.

D₁ düsturunda (Nümunə 6)

Səhv

(3 ± 7) : 5 → 2 və −0,8

−k əvəzinə k götürülüb.

Düz

(−3 ± 7) : 5 → 0,8 və −2

Burada k = 3, ona görə surətdə −3 durur; məxrəcdə a = 5, 2a yox.

8 · Həyatda

Top neçə dəfə o hündürlükdə olur?

Top yerdən 17 m/s sürətlə şaquli yuxarı atılıb. Hava müqavimətini nəzərə almasaq və g ≈ 10 m/s² götürsək, top t saniyədən sonra təxminən h = 17t − 5t² metr hündürlükdə olur. Bu düstur fizikadan sadələşdirilmiş modeldir — burada o, hazır verilir.

Topun hündürlüyü zamana görə

Boz nöqtələr topun hər 0,1 saniyədəki yeridir. Üfüqi xətti top neçə nöqtədə kəsirsə, o hündürlükdə o qədər dəfə olur.

«Top 10,4 m hündürlükdə nə vaxt olur?» sualı 17t − 5t² = 10,4, yəni 5t² − 17t + 10,4 = 0 tənliyidir.

D = (−17)² − 4 · 5 · 10,4 = 289 − 208 = 81t1,2 = 17 ± 910 bölü → t = 0,8 və t = 2,6

İki kök — iki an: top qalxarkən 0,8 s-də, düşərkən 2,6 s-də 10,4 m hündürlükdədir.

Hündürlüyə görə D və cavab

D = 0 olan hündürlük topun ən yüksək nöqtəsidir: oraya top yalnız bir an çatır. D < 0 isə «top ora çatmır» deməkdir.

9 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan 4x² − 3x − 5 = 0 tənliyinin diskriminantı neçədir? Cavab variantları −71 89 29 71 Düzdür! c mənfidir, ona görə −4ac = +80. Yox. a, b, c-ni işarəsi ilə qoy: b² = (−3)², c = −5. Həllə bax D = (−3)² − 4 · 4 · (−5) = 9 + 80 = 89. −71: c-nin işarəsi itib (9 − 80). 29: 4 vuruğu unudulub (9 + 20). 71: (−3)² mənfi sanılıb (−9 + 80).
2. Asan 2x² − 5x + 4 = 0 tənliyinin neçə həqiqi kökü var? Cavab variantları iki müxtəlif kök iki bərabər kök həqiqi kökü yoxdur Düzdür! D mənfidir. Yox. Əvvəlcə D-ni hesabla və işarəsinə bax. Həllə bax D = (−5)² − 4 · 2 · 4 = 25 − 32 = −7 < 0 — həqiqi kökü yoxdur. «İki müxtəlif»: c-nin işarəsi dəyişib (25 + 32 = 57). «İki bərabər»: mənfi D sıfır sanılıb — iki bərabər kök yalnız D = 0 olanda olur.
3. Orta 7x² + 4x − 3 = 0 tənliyini həll edin. Cavab variantları −37 bölü və 1 −2 və 67 bölü −1 və 37 bölü Əla! D = 100, √D = 10, məxrəc 14. Yox. Düsturda −b və 2a durur: −4 və 14. Həllə bax D = 4² − 4 · 7 · (−3) = 16 + 84 = 100, kvadrat kök 100 = 10. x1 = −4 − 1014 bölü = −1414 bölü = −1 x2 = −4 + 1014 bölü = 614 bölü = 37 bölü −37 bölü və 1: −b əvəzinə b götürülüb. −2 və 67 bölü : 2a = 14 əvəzinə a = 7-yə bölünüb.
4. Orta 7x² − 2x − 5 = 0 tənliyini D1 ilə həll edin. Cavab variantları −57 bölü və 1 −1 və 57 bölü −5 və 377 bölü Düzdür! k = −1, D₁ = 64. Yox. b = −2 = 2 · (−1), deməli k = −1 və surətdə −k = 1 durur; D₁-in kökünü al. Həllə bax k = −1, D1 = k² − ac = (−1)² − 7 · (−5) = 1 + 35 = 36, kvadrat kök 64 = 8. x1 = 1 − 89 bölü = −79 bölü x2 = 1 + 89 bölü = 1 −1 və 57 bölü : −k əvəzinə k götürülüb. −5 və 377 bölü : kvadrat kök D1 əvəzinə D1 = 64 yazılıb.
5. Çətin 2x² − 4x − 9 = 0 tənliyinin kökləri hansıdır? Cavab variantları 1 ± kvadrat kök 22 2 ± kvadrat kök 222 bölü −2 ± kvadrat kök 222 bölü Əla! D₁ = 22, məxrəc a = 2. Yox. k = −2, deməli surətdə 2 durur; ixtisar edəndə hər iki həddi böl. Həllə bax b = −4 = 2 · (−2), k = −2. D1 = k² − ac = (−2)² − 2 · (−9) = 4 + 18 = 22 > 0. x1,2 = 2 ± kvadrat kök 222 bölü . 22 = 2 · 11, kvadrat kök 22 sadələşmir və 2-yə bölünmür, ona görə cavab belə qalır. 1 ± kvadrat kök 22: yalnız birinci hədd 2-yə bölünüb. −2 ± kvadrat kök 222 bölü : −k əvəzinə k götürülüb.
6. Çətin 3x(x + 2) = 5x + 4 tənliyinin kiçik kökü hansıdır? Cavab variantları −2 −43 bölü −1 Düzdür! Əvvəl standart şəkil: 3x² + x − 4 = 0. Yox. Əvvəlcə mötərizəni aç və hər şeyi bir tərəfə keçir; sonra −b ilə düstur. Həllə bax 3x² + 6x = 5x + 4 → 3x² + x − 4 = 0. D = 1 + 48 = 49, x1,2 = −1 ± 76 bölü → −43 bölü və 1. Kiçiyi −43 bölü . −2: sağ tərəf sıfır sanılıb (3x(x + 2) = 0 → 0 və −2). −1: −b əvəzinə b götürülüb (köklər −1 və 43 bölü alınır).

Xülasə

Yadda qalanlar

• x1,2 = (−b ± √D)/2aTam kvadrat ayırmanın hərflərlə bir dəfə edilmiş halıdır; köklər −b/2a-ya görə simmetrikdir.
• D = b² − 4acD > 0 — iki müxtəlif kök, D = 0 — iki bərabər kök, D < 0 — həqiqi kök yoxdur.
• b = 2k: (−k ± √D₁)/aD₁ = k² − ac. Əvvəlcə tənliyi standart şəklə gətir, a, b, c-ni işarəsi ilə yaz.

Növbəti mövzu: 3.14 Viyet teoremi — köklərlə əmsallar arasında daha bir əlaqə.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 8-ci sinif», Bölmə 3, «Kvadrat tənliklərin həlli. Kvadrat tənliyin kökləri düsturu», səh. 59–61: düsturun tam kvadrat ayırma ilə çıxarılması və yan izahları, diskriminant (ayırdedici), D-nin üç halı, çevrilmiş tənlik, b = 2k halında D₁ düsturu. Sitatlar «…» içindədir. Dərsdəki bütün tənliklər və ədədlər bu dərs üçün seçilib; topun hündürlüyü düsturu fizikadan sadələşdirilmiş modeldir.