Audio dərs · Müddət
14:53
Mətn (transkript)
Təsəvvür edin: payız axşamıdır. Nənənin mətbəxində çaydan qaynayır, açıq pəncərədən cırcıramaların səsi gəlir. Masanın arxasında nənə, səkkizinci sinifdə oxuyan Leyla və onun kiçik qardaşı Ramin oturub. Leyla stəkanları düzür və birdən gülümsəyir: «Nənə, sənə bir fokus göstərim? Ağlında birdən doqquza qədər bir ədəd tut. Amma mənə demə.» Nənə bir az fikirləşib ədəd tutur. Leyla yavaş-yavaş deyir: «Ədədini özünə vur. Alınanın üstünə ədədinin səkkiz mislini gəl. İndi bu cəmi tutduğun ədədə böl. Axırda da alınandan öz ədədini çıx.» Nənə barmaqlarını büküb hesablayır. Leyla isə ona baxmadan elan edir: «Səndə səkkiz alındı.» Nənə təəccüblə əl çalır. Bəlkə siz də yoxlamaq istəyirsiniz? Bir ədəd tutun. Addımlar belədir. Ədədi özünə vurun. Üstünə onun səkkiz mislini əlavə edin. Alınanı tutduğunuz ədədə bölün. Sonra öz ədədinizi çıxın. Tələsməyin, mən gözləyirəm. Səkkiz alındı, elə deyilmi? Hansı ədədi tutmağınızdan asılı olmayaraq, cavab həmişə səkkizdir. Bu vaxt Ramin hiyləgərcəsinə gülür: «Mən sıfır tuturam!» Leyla hesablamağa başlayır. Sıfırı özünə vursan, sıfır alınır. Sıfırın səkkiz misli də sıfırdır. İndi sıfırı sıfıra bölmək lazımdır. Leyla susur. Sıfıra bölmək olmaz. Fokus elə bu addımda dayanır. Deməli, iki sual yaranır. Birincisi: niyə hamıda məhz səkkiz alınır? İkincisi: niyə fokus yalnız bir ədəddə, sıfırda sınır? Bu suallara cavab bugünkü mövzudadır. Salam! Bu dinləmə dərsində rasional ifadələrin sadələşdirilməsindən danışacağıq. Əvvəlcə görəcəyik ki, kəsrin görünüşü dəyişə bilər, qiyməti isə dəyişmir. Sonra kəsri üç addımda ixtisar etməyi öyrənəcəyik: ortaq vuruqla, qısa vurma düsturu ilə və kvadrat üçhədli ilə. Daha sonra mənfi işarənin rolunu görəcəyik. Ən sonda isə ən incə məqama gələcəyik: ixtisardan sonra hansı ədədlər qadağan olaraq qalır. Və əlbəttə, Leylanın sirrini açacağıq. Gəlin adi kəsrlərdən başlayaq. Bir tort üç bərabər hissəyə kəsilib, siz onun iki hissəsini götürürsünüz. Bu, tortun üçdə ikisidir. İndi hər hissəni ortadan ikiyə bölək. Tort artıq altı hissədir, sizin boşqabınızda isə dörd hissə var: altıda dörd. Amma boşqabdakı tort nə azalıb, nə çoxalıb. Üçdə iki ilə altıda dörd eyni miqdardır. Bu, kəsrin əsas xassəsidir. Dərslik onu belə deyir: kəsrin surət və məxrəcini sıfırdan fərqli eyni bir ədədə vursaq və ya bölsək, kəsrin qiyməti dəyişməz. Niyə? Çünki surəti və məxrəci eyni ədədə vurmaq kəsri birə vurmaq deməkdir. İkidə iki, üçdə üç, beşdə beş, hamısı birdir. Birə vurmaq isə heç nəyi dəyişmir. Yalnız sıfır olmaz, çünki sıfırı sıfıra bölmək mənasızdır. Eyni xassə hərflərlə də işləyir. Surəti iki, məxrəci iks üstəgəl bir olan kəsri götürək. Onun həm surətini, həm də məxrəcini iks çıx ikiyə vuraq. Yeni surət iki iks çıx dörd olur. Yeni məxrəc isə iks kvadrat çıx iks çıx iki. Bu iki kəsr eyni qiymət verir, amma bir şərtlə: iks üstəgəl bir sıfır olmamalıdır, iks çıx iki də sıfır olmamalıdır. Yəni iks mənfi birə də, ikiyə də bərabər ola bilməz. Belə ifadələrə dərslikdə ad verilir: eyniliklə bərabər, yəni ekvivalent ifadələr. Dəyişənin bütün mümkün qiymətlərində bərabər qiymətlər alan iki ifadə ekvivalentdir. Burada «mümkün qiymətlər» sözləri çox vacibdir. Onları yadda saxlayın, dərsin sonunda onlara qayıdacağıq. Kəsrin əsas xassəsi kəsri lazım olan məxrəcə gətirməyə də kömək edir. Tutaq ki, surəti dörd, məxrəci üç iks olan kəsr var, bizə isə məxrəci altı iks kvadrat olan kəsr lazımdır. Soruşuruq: üç iksi nəyə vursaq, altı iks kvadrat alınar? Cavab: iki iksə. Bu vuruğa tamamlayıcı vuruq deyilir. Surəti də ona vururuq: dörd vurulsun iki iks, səkkiz iks edir. Yeni kəsrin surəti səkkiz iks, məxrəci altı iks kvadratdır. İndi əks istiqamətdə gedək. Surəti və məxrəci eyni ifadəyə bölmək kəsrin ixtisarıdır. Dərslik bunu üç addımda verir. Birinci: kəsrin surət və məxrəcini, mümkündürsə, vuruqlarına ayırırıq. İkinci: ortaq vuruğu müəyyən edirik. Üçüncü: surət və məxrəci ortaq vuruğa bölürük. Burada bir qızıl qayda var: ixtisar yalnız vuruqlara aiddir, toplananlara yox. Kiçik bir yoxlama edək. Surəti iki ilə altının cəmi, məxrəci isə iki ilə üçün cəmi olan kəsr götürək. Hesablasaq, surətdə səkkiz, məxrəcdə beş alınır: beşdə səkkiz. İndi səhvən ikiləri pozaq. Surətdə altı, məxrəcdə üç qalır, və cavab iki çıxır. Amma beşdə səkkiz iki deyil. Səbəb sadədir: o ikilər vuruq deyildi, toplanan idi. Toplananı ixtisar etmək olmaz. İlk nümunə ortaq vuruqla. Surət: iks kvadrat çıx üç iks. Məxrəc: iki iks çıx altı. Birinci addım: surətdən iksi mötərizə xaricinə çıxarırıq və alırıq: iks vurulsun iks çıx üç. Məxrəcdən ikini çıxarırıq: iki vurulsun iks çıx üç. İkinci addım: ortaq vuruq iks çıx üçdür. Üçüncü addım: surət və məxrəci ona bölürük. Qalır: surəti iks, məxrəci iki olan kəsr, yəni iksin yarısı. Bir daha: iksin yarısı, iks üçə bərabər olmamaq şərti ilə. İkinci nümunədə qısa vurma düsturu kömək edir. Surət: dörd iks kvadrat çıx bir. Məxrəc: altı iks üstəgəl üç. Surət kvadratlar fərqidir: iki iks çıx bir vurulsun iki iks üstəgəl bir. Məxrəcdən üçü çıxarırıq: üç vurulsun iki iks üstəgəl bir. Ortaq vuruq iki iks üstəgəl birdir. Ona bölürük və qalır: surəti iki iks çıx bir, məxrəci üç olan kəsr. Bir daha: surətdə iki iks çıx bir, məxrəcdə üç. Tam kvadrat və qruplaşdırma da eyni işi görür: məqsəd həmişə vuruq görməkdir. Bəs surətdə kvadrat üçhədli olsa? İks kvadratın əmsalı bir olanda dərslik belə bir qayda verir: iki ədəd axtarırıq ki, onların hasili sərbəst həddə, cəmi isə iksin əmsalına bərabər olsun. Belə ədədlər tapılsa, üçhədli iki mötərizənin hasilinə ayrılır. Nümunə. Surət: iks kvadrat üstəgəl iks çıx altı. Məxrəc: üç iks üstəgəl doqquz. Surət üçün hasili mənfi altı, cəmi bir olan iki ədəd axtarırıq. Üç və mənfi iki uyğundur: üç vurulsun mənfi iki, mənfi altıdır; üç üstəgəl mənfi iki isə birdir. Deməli, surət belə ayrılır: iks üstəgəl üç vurulsun iks çıx iki. Məxrəcdən isə üçü çıxarırıq: üç vurulsun iks üstəgəl üç. Ortaq vuruq iks üstəgəl üçdür. Ona bölürük və qalır: surəti iks çıx iki, məxrəci üç olan kəsr. Bir daha: surətdə iks çıx iki, məxrəcdə üç. Diqqət edin: iks üstəgəl üç cavabdan yox oldu. Amma bu o demək deyil ki, iks indi mənfi üçə bərabər ola bilər. Buna son fəsildə qayıdacağıq. İks kvadratın əmsalı bir olmayanda dərslik başqa qayda verir: elə iki ədəd tapırıq ki, hasili birinci əmsalla sərbəst həddin hasilinə, cəmi isə iksin əmsalına bərabər olsun. Surət: iki iks kvadrat üstəgəl beş iks üstəgəl iki. Məxrəc: iks üstəgəl iki. İki vurulsun iki dörddür. Deməli, hasili dörd, cəmi beş olan ədədlər lazımdır: bir və dörd. Beş iksi iks üstəgəl dörd iks kimi yazırıq və qruplaşdırırıq. İlk iki həddən iksi, son iki həddən ikini çıxarırıq. Alınır: iks vurulsun iki iks üstəgəl bir, üstəgəl iki vurulsun iki iks üstəgəl bir. Ortaq mötərizə iki iks üstəgəl birdir, deməli surət belə yazılır: iki iks üstəgəl bir vurulsun iks üstəgəl iki. Məxrəclə ortaq vuruq iks üstəgəl ikidir. İxtisardan sonra məxrəc qalmır: nəticə sadəcə iki iks üstəgəl birdir. Bir daha: iki iks üstəgəl bir, iks mənfi ikiyə bərabər olmamaq şərti ilə. Bəzən ortaq vuruq gizlənir, çünki onun işarəsi tərsdir. Ədədlərlə baxaq: yeddi çıx beş ikidir, beş çıx yeddi isə mənfi iki. Fərqdə yerləri dəyişəndə yalnız işarə dəyişir. Dərslik bunu belə deyir: kəsrin surətinin və ya məxrəcinin işarəsini və kəsrin qarşısındakı işarəni dəyişdikdə, verilən kəsrə ekvivalent kəsr alınır. Nümunə. Surət: yeddi çıx iks. Məxrəc: beş iks çıx otuz beş. Məxrəcdən beşi çıxarırıq: beş vurulsun iks çıx yeddi. Surətdəki yeddi çıx iks isə iks çıx yeddinin əksidir, yəni mənfi işarə ilə iks çıx yeddi. İndi ortaq vuruq görünür: iks çıx yeddi. Ona bölürük, mənfi işarə isə kəsrin qarşısına keçir. Nəticə: mənfi beşdə bir. Bir daha: iks yeddiyə bərabər olmayanda bu ifadənin qiyməti həmişə mənfi beşdə birdir. İndi dərsin ən incə məqamı. Dərslikdə belə bir qeyd var: ekvivalent ifadələrdə dəyişənin mümkün qiymətləri bərabərliyin həm sol, həm də sağ tərəfindəki kəsrə görə müəyyən edilməlidir. Birinci fəsildəki iki kəsrə qayıdaq. Biri: surəti iki, məxrəci iks üstəgəl bir. O biri: surəti iki iks çıx dörd, məxrəci iks kvadrat çıx iks çıx iki. Tutaq ki, iks ikiyə bərabərdir. Birinci kəsr üçdə iki verir, tortdakı kimi. İkinci kəsrdə isə həm surət, həm də məxrəc sıfır olur, sıfırı sıfıra bölmək isə olmaz. Deməli, ixtisar zamanı yox olan vuruq iz qoyur: onun sıfır olduğu ədəd qadağan olaraq qalır. Üçhədli nümunəmizdə də belədir. Cavabda iks üstəgəl üç yoxdur, amma iks mənfi üçə bərabər ola bilməz. Qadağan ədədləri cavabdan yox, verilən kəsrdən yazırıq. İndi sizə bir tapmaca. Leyla fokusun yeni variantını düşünür. Ədədi özünə vur. Ondan ədədin altı mislini çıx. Alınanı ədəddən altı çıxılmış ədədə böl. Axırda öz ədədini çıx. Cavab həmişə sıfırdır. Sual belədir: bu dəfə fokus hansı ədəddə sınır? Bir az düşünün. Cavab: altıda. Surət, yəni iks kvadrat çıx altı iks, iks vurulsun iks çıx altı kimi ayrılır. Məxrəc iks çıx altıdır. Ortaq vuruq iks çıx altıdır, onun sıfır olduğu ədəd isə altıdır. Sıfır isə bu dəfə tamamilə yaxşı işləyir: sıfırı mənfi altıya bölsək, sıfır alınır. İndi nənənin mətbəxinə qayıdaq. Leylanın fokusu əslində bir kəsrdir. Onun surəti iks kvadrat üstəgəl səkkiz iks, məxrəci isə iksdir. Surətdən iksi mötərizə xaricinə çıxarırıq: iks vurulsun iks üstəgəl səkkiz. Ortaq vuruq iksdir, ixtisardan sonra iks üstəgəl səkkiz ifadəsi qalır. Axırda tutduğunuz ədədi, yəni iksi çıxanda, təkcə səkkiz ədədi qalır. Ona görə hamıda eyni ədəd, səkkiz alınır. Bəs Ramin? Onun tutduğu sıfır elə ixtisar etdiyimiz vuruğun, yəni iksin sıfır olduğu ədəddir. Sadələşdirilmiş ifadə sıfırda da səkkiz verərdi, amma verilən kəsrin sıfırda qiyməti yoxdur. Bərabərlik yalnız iks sıfır olmayanda doğrudur. Fokus səhv deyil, sadəcə onun da mümkün qiymətləri var. Bu dərsdən bir fikri yadda saxlayın: ixtisar etmək surət və məxrəci eyni vuruğa bölmək deməkdir. Ona görə əvvəlcə vuruqlara ayırırıq, toplananı isə heç vaxt ixtisar etmirik. İxtisar etdiyimiz vuruğun sıfır olduğu ədəd isə qadağan olaraq qalır. Addım-addım yazılmış nümunələr oxu dərsində və videoda sizi gözləyir. Növbəti mövzuda rasional ifadələri vurmağı və bölməyi öyrənəcəyik. Sağ olun, növbəti dərsdə görüşənədək!