Rasional ifadələrin sadələşdirilməsi

• 3.26
• 8-ci sinif
• Rasional ifadələr

Rasional ifadələrin sadələşdirilməsi

x² + 3x − 28 / x − 4 kəsri x-in hər qiymətində x + 7 ilə eyni ədədi verir — bir qiymətdən başqa. Hansı? Kəsri vuruğa ixtisar edəndə görəcəksən: bərabərlik yalnız x ≠ 4 olduqda doğrudur.

Bu dərsdə

• ekvivalent ifadələri və kəsrin əsas xassəsini izah edəcək, kəsri verilən məxrəcə gətirəcəksən;
• kəsri üç addımda ixtisar edəcəksən: vuruqlara ayır, ortaq vuruğu tap, ona böl;
• işarəni düzgün dəyişəcək və sadələşdirilmiş bərabərliyin hansı qiymətlərdə doğru olduğunu yazacaqsan.

İki ifadənin qiymət cədvəli: A = (x² + 3x − 28)/(x − 4) və B = x + 7

Başla Yenidən Yenidən

1. Eyni kəsr
2. Əsas xassə
3. Yeni məxrəc
4. İxtisar
5. Üsullar
6. Üçhədli
7. İşarə
8. Diqqət
9. Həyatda
10. Özünü yoxla
11. Yekun

1 · Kəşf et

Eyni kəsr, fərqli görünüş

Adi kəsrlərdən bilirsən: 3 / 4 = 15 / 20. Zolağı 4 bərabər hissəyə bölüb 3-nü rəngləyək, sonra hər hissəni daha 5 hissəyə bölək. Rəngli sahə dəyişmir — sadəcə indi 20 hissədən 15-i rənglidir. Surət də, məxrəc də 5-ə vurulub.

3/4 = 15/20: zolaq 4 hissəyə, sonra 20 hissəyə bölünür

Hər hissə 5-ə bölünəndə hissələrin sayı da (4 → 20), rəngli hissələrin sayı da (3 → 15) 5 dəfə artır; kəsrin qiyməti eyni qalır.

Başla Yenidən Yenidən

İndi eyni işi dəyişənlə görək. 5 / x + 1 kəsrinin surət və məxrəcini x-ə vuraq: 5 · x / (x + 1) · x = 5x / x² + x. Bu iki ifadə həmişə eyni qiymət verirmi? x-in bir neçə qiymətini yoxla.

x-in qiymətini seç

x = 2 x = −3 x = 0 x = −1

Sol: 5 / x + 1

= 5 / 3

Sağ: 5x / x² + x

= 10 / 4 + 2 = 10 / 6 = 5 / 3

Eynidir: 5 / 3.

Sol: 5 / x + 1

= 5 / −2 = −2,5

Sağ: 5x / x² + x

= −15 / 9 − 3 = −15 / 6 = −2,5

Eynidir: −2,5. Mənfi x də işləyir.

Sol: 5 / x + 1

= 5 / 1 = 5

Sağ: 5x / x² + x

= 0 / 0 — mənası yoxdur

Burada fərq var: vurduğumuz x sıfırdır, sağdakı kəsrin məxrəci 0 olur.

Sol: 5 / x + 1

= 5 / 0 — mənası yoxdur

Sağ: 5x / x² + x

= −5 / 0 — mənası yoxdur

Hər iki kəsrin məxrəci 0-dır: bu qiymət heç birinə qoyula bilməz.

Nəticə: iki ifadə hər ikisinin mənalı olduğu bütün x-lərdə eyni qiymət alır. Ona görə bərabərliyi şərtlə yazırıq: 5 / x + 1 = 5x / x² + x, x ≠ 0, x ≠ −1.

2 · Qayda

Ekvivalent ifadələr və kəsrin əsas xassəsi

Yadda saxla

Dərslikdə: «Dəyişənlərinin bütün mümkün qiymətlərində bərabər qiymətlər alan iki ifadəyə eyniliklə bərabər və ya ekvivalent ifadələr deyilir.»

Kəsrin əsas xassəsi: kəsrin surət və məxrəcini sıfırdan fərqli eyni bir ədədə (ifadəyə) vursaq və ya bölsək, kəsrin qiyməti dəyişməz:

a / b = a · c / b · c, b ≠ 0, c ≠ 0

Bu, kəsri c / c-yə, yəni 1-ə vurmaq deməkdir.

Vurmaq

a / b → ac / bc

Kəsri yeni məxrəcə gətirmək üçün (3-cü mərhələ).

Bölmək

ac / bc → a / b

Kəsri ixtisar etmək üçün (4-cü mərhələ). Ortaq vuruq c ixtisar olunur.

DiqqətDərslikdə: «Ekvivalent ifadələrdə dəyişənin mümkün qiymətləri bərabərliyin sağ və sol tərəfindəki hər iki kəsrə nəzərən müəyyən edilməlidir.» Yəni bərabərliyi yazanda iki tərəfin hər birinin məxrəcini, həm də vurduğun və ya ixtisar etdiyin vuruğu yoxla: hansı qiymət onlardan birini 0 edirsə, bərabərliyin yanına x ≠ … yazılır.

3 · Hesabla

Kəsri verilən məxrəcə gətirmək

Yeni məxrəci köhnə məxrəcə bölürük: alınan ifadə tamamlayıcı vuruqdur. Surət və məxrəci ona vururuq. Adi kəsrlərdə 3 / 4-ü 20 məxrəcinə gətirəndə də belə edirdik: 20 : 4 = 5.

Nümunə 1Birhədli məxrəc

5m / 6n kəsrini 18mn² məxrəcinə gətirin.

1. Tamamlayıcı vuruq: 18mn² : 6n = 3mn.
2. Surət və məxrəci 3mn-ə vururuq: 5m · 3mn / 6n · 3mn = 15m²n / 18mn².
3. Verilən kəsr üçün n ≠ 0 idi; vuruq m-i də daxil edir, ona görə yeni kəsrdə m ≠ 0, n ≠ 0.

5m / 6n = 15m²n / 18mn²

Nümunə 2Əvvəl yeni məxrəci vuruqlara ayır

x − 1 / x + 4 kəsrini x² + 8x + 16 məxrəcinə gətirin.

1. Tam kvadrat: x² + 8x + 16 = (x + 4)².
2. Tamamlayıcı vuruq: (x + 4)² : (x + 4) = x + 4.
3. Vururuq: (x − 1)(x + 4) / (x + 4)(x + 4) = x² + 3x − 4 / x² + 8x + 16, x ≠ −4.

x − 1 / x + 4 = x² + 3x − 4 / x² + 8x + 16

Nümunə 3Tamamlayıcı vuruq −1 ola bilər

7 / 3 − y kəsrini y − 3 məxrəcinə gətirin.

1. y − 3 = −(3 − y), deməli tamamlayıcı vuruq −1-dir.
2. Surət və məxrəci −1-ə vururuq: 7 · (−1) / (3 − y) · (−1) = −7 / y − 3, y ≠ 3.

7 / 3 − y = −7 / y − 3

4 · Qayda

Kəsrin ixtisarı — üç addım

Yadda saxla

Dərslikdə: «Kəsri ixtisar etmək üçün:

1. Kəsrin surət və məxrəci (mümkündürsə) vuruqlarına ayrılır;
2. Ortaq vuruq müəyyən edilir;
3. Surət və məxrəc ortaq vuruğa bölünür.»

İxtisar vuruğa aiddir: surət də, məxrəc də hasil şəklində olmalıdır. İxtisar etdiyin vuruğun sıfır olduğu qiymətlər x ≠ … kimi yazılır.

14a³b/(21ab²) kəsrinin üç addımda ixtisarı

Narıncı 7ab həm surətdə, həm məxrəcdə vuruqdur, ona görə ixtisar olunur. Kəsr əvvəlcə a = 0 və b = 0-da mənasız idi — bu şərt cavabda da qalır.

Başla Yenidən Yenidən

5 · Hesabla

Ortaq vuruğu necə görmək olar?

Birinci addım — vuruqlara ayırmaq — ən çətinidir. Surətə və məxrəcə bax, aşağıdakı cədvəldən uyğun üsulu seç. Bu üsulları 7-ci sinifdən və kvadrat üçhədli mövzusundan bilirsən.

Vuruqlara ayırma üsulları

Nümunə 4Ortaq vuruğu mötərizə xaricinə çıxar

İxtisar edin: 6x² + 9x / 15x

1. Surət: 6x² + 9x = 3x(2x + 3); məxrəc: 15x = 3x · 5.
2. Ortaq vuruq 3x: 3x(2x + 3) / 3x · 5.
3. Kəsr x = 0-da mənasızdır: x ≠ 0.

6x² + 9x / 15x = 2x + 3 / 5, x ≠ 0

Nümunə 5Kvadratlar fərqi

İxtisar edin: x² − 64 / 5x + 40

1. x² − 64 = (x − 8)(x + 8), 5x + 40 = 5(x + 8).
2. Ortaq vuruq x + 8: (x − 8)(x + 8) / 5(x + 8).
3. x + 8 = 0 olanda kəsr mənasızdır: x ≠ −8.

x² − 64 / 5x + 40 = x − 8 / 5, x ≠ −8

Nümunə 6Tam kvadrat

İxtisar edin: x² − 10x + 25 / 3x − 15

1. x² − 10x + 25 = (x − 5)² = (x − 5)(x − 5), 3x − 15 = 3(x − 5).
2. Bir x − 5 vuruğu ixtisar olunur, surətdə biri qalır: (x − 5)(x − 5) / 3(x − 5).
3. Kəsr x = 5-də mənasızdır: x ≠ 5.

x² − 10x + 25 / 3x − 15 = x − 5 / 3, x ≠ 5

Nümunə 7Qruplaşdırma, iki dəyişən

İxtisar edin: ab − 3a + 2b − 6 / b² − 9

1. Surəti qruplaşdırırıq: a(b − 3) + 2(b − 3) = (b − 3)(a + 2).
2. Məxrəc: b² − 9 = (b − 3)(b + 3). Ortaq vuruq b − 3: (b − 3)(a + 2) / (b − 3)(b + 3).
3. Məxrəc b = 3 və b = −3-də sıfırdır: b ≠ ±3 (a istənilən ədəd ola bilər).

ab − 3a + 2b − 6 / b² − 9 = a + 2 / b + 3, b ≠ ±3

Qısa yolKəsrin qiymətini hesablamaq lazımdırsa, əvvəl sadələşdir. Nümunə 11: y² + 7y / y² + 14y + 49 kəsrinin y = 13-də qiyməti.

y(y + 7) / (y + 7)² = y / y + 7, y ≠ −7y = 13: 13 / 20 = 0,65

Sadələşdirmədən hesablasaq: 169 + 91 / 169 + 182 + 49 = 260 / 400 = 0,65 — cavab eynidir, amma iş çoxdur.

6 · Hesabla

Surətdə və ya məxrəcdə kvadrat üçhədli

Dərslikdən

x² + bx + c üçhədlisi üçün hasili c-yə, cəmi isə b-yə bərabər olan m və n ədədlərini tapmaq mümkün olarsa:

x² + bx + c = (x + m)(x + n)

Səbəb: (x + m)(x + n) = x² + (m + n)x + mn.

Bunu sahə kimi də görmək olar. Cəbr kartları: x² — tərəfi x olan kvadrat, x — eni 1, uzunluğu x olan zolaq, 1 — vahid kvadrat. x² + 9x + 18 üçün 1 kvadrat, 9 zolaq və 18 vahidi boşluqsuz bir düzbucaqlıya düzək.

Cəbr kartları: x² + 9x + 18 = (x + 3)(x + 6)

Vahidlər 3 sətir və 6 sütunla düzülür: 3 · 6 = 18 (hasil), zolaqlar 3 + 6 = 9 (cəm). Düzbucaqlının tərəfləri vuruqlardır.

Başla Yenidən Yenidən

Mənfi əmsallarda kartlar çətinləşir; orada dərslikdəki kimi cədvəl qururuq: c-nin vuruq cütləri və onların cəmi.

Nümunə 8İki üçhədli

İxtisar edin: x² + 4x − 12 / x² + 9x + 18

−12-nin vuruqları və cəmləri

18-in vuruqları və cəmləri

1. x² + 4x − 12 = (x − 2)(x + 6), x² + 9x + 18 = (x + 3)(x + 6).
2. Ortaq vuruq x + 6: (x − 2)(x + 6) / (x + 3)(x + 6).
3. Məxrəc x = −3 və x = −6-da sıfırdır: x ≠ −3, x ≠ −6. −6-nı cavabın məxrəcindən görmək olmur — onu verilən kəsrdən yazırıq.

x² + 4x − 12 / x² + 9x + 18 = x − 2 / x + 3, x ≠ −3, x ≠ −6

Dərslikdən

ax² + bx + c üçhədlisini (a ≠ 0) vuruqlara ayırmaq üçün elə iki m və n ədədləri tapmaq lazımdır ki, mn = ac, m + n = b olsun. Sonra orta həddi mx + nx kimi yazıb qruplaşdırırıq.

Nümunə 9Böyük əmsal: mn = ac

İxtisar edin: 5x² + 13x − 6 / 5x² − 2x

1. ac = 5 · (−6) = −30, cəm 13 olmalıdır: 15 · (−2) = −30, 15 + (−2) = 13.
2. 5x² + 13x − 6 = 5x² + 15x − 2x − 6 = 5x(x + 3) − 2(x + 3) = (x + 3)(5x − 2).
3. Məxrəc: 5x² − 2x = x(5x − 2). Ortaq vuruq 5x − 2: (x + 3)(5x − 2) / x(5x − 2).
4. Məxrəc x = 0 və 5x − 2 = 0, yəni x = 0,4-də sıfırdır: x ≠ 0, x ≠ 0,4.

5x² + 13x − 6 / 5x² − 2x = x + 3 / x, x ≠ 0, x ≠ 0,4

7 · Qayda

İşarəni dəyişmək

Diqqət!

Dərslikdə: «Kəsrin surətinin (və ya məxrəcinin) işarəsini və kəsrin qarşısındakı işarəni dəyişdikdə, verilən kəsrə ekvivalent kəsr alınır.»

−a / b = −a / b = a / −b, b − a = −(a − b)

Bu, ortaq vuruğu «gizlədən» işarəni üzə çıxarır: 10 − 2a ilə a − 5 ilk baxışda fərqlidir, amma 10 − 2a = −2(a − 5).

Nümunə 10Mənfi vuruğu çıxar

İxtisar edin: 10 − 2a / a² − 10a + 25

1. Surət: 10 − 2a = −2(a − 5); məxrəc: (a − 5)².
2. Ortaq vuruq a − 5: −2(a − 5) / (a − 5)(a − 5) = −2 / a − 5, a ≠ 5.
3. Mənfini məxrəcə keçirsək: −2 / a − 5 = 2 / −(a − 5) = 2 / 5 − a. Hər iki cavab düzdür.

10 − 2a / a² − 10a + 25 = 2 / 5 − a, a ≠ 5

8 · Diqqət

Dörd tipik səhv

Toplananı ixtisar etmək olmaz

Səhv

x + 9 / x + 2 = 9 / 2

x surətdə və məxrəcdə vuruq deyil, toplanandır. x = 1 qoy: 10 / 3 ≠ 4,5.

Düz

x + 9 / x + 2 ixtisar olunmur

Surət və məxrəcin ortaq vuruğu yoxdur — kəsr artıq sadədir.

Şərti cavabdan yazmaq

Səhv

3x − 6 / x² − 2x = 3 / x, x ≠ 0

x = 2 unudulub: orada sol tərəf 0 / 0-dır, sağ tərəf isə 1,5.

Düz

3(x − 2) / x(x − 2) = 3 / x, x ≠ 0, x ≠ 2

Şərt verilən kəsrin məxrəcindən yazılır: x(x − 2) ≠ 0.

İşarəni itirmək

Səhv

(x − 4)² / 4 − x = x − 4

4 − x ilə x − 4 eyni vuruq deyil — əks ifadələrdir. x = 6: sol tərəf 4 / −2 = −2, amma x − 4 = 2.

Düz

(x − 4)² / −(x − 4) = −(x − 4) = 4 − x

Əvvəl 4 − x = −(x − 4) yaz, sonra ixtisar et; x ≠ 4.

Hamısı ixtisar olunanda 0 yox, 1 qalır

Səhv

y + 5 / y² + 5y = 0 / y = 0

Surət bütünlüklə ortaq vuruqdur; onu özünə bölmək 1 verir, 0 yox.

Düz

1 · (y + 5) / y(y + 5) = 1 / y

y ≠ 0, y ≠ −5.

9 · Həyatda

Qutuları qarışdırmaq payı dəyişirmi?

Zavodda m qutu lampa var, hər qutuda n lampa. Yoxlama göstərib ki, hər qutuda 2 lampa qüsurludur. Bütün lampaları bir yerə töküb təsadüfən birini götürürük. Onun qüsurlu olma ehtimalı nədir?

Ehtimal = qüsurlu lampaların sayı : bütün lampaların sayı. Qüsurlu 2m, cəmi mn lampa var:

P = 2m / mn = 2m / mn = 2 / n

Cavab qutuların sayından asılı deyil: qarışıqdan götürmək bir qutudan götürmək kimidir. Məsələn, m = 40, n = 25: 80 / 1000 = 0,08 və 2 / 25 = 0,08.

Kəsr m = 0 və n = 0-da mənasızdır; burada m və n onsuz da natural ədədlərdir (qutu və lampa sayı), bu da vəziyyətin öz şərtidir.

4 qutu, hər qutuda 5 lampa, 2-si qüsurlu

Qırmızı (aşağı sıra) — qüsurlu, lime (yuxarı sıra) — saz. Hər qutuda pay 2 / 5-dir, hamısı birlikdə də 8 / 20 = 2 / 5.

10 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düz olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan İxtisar edin: 9a²b / 12ab³ Sual 1: cavabı seç 3a / 4b 3a / 4b² 3a² / 4b² Düzdür! Ortaq vuruq 3ab-dir. Yox. Ortaq vuruğu tap: 9 və 12-də 3, a² və a-da a, b və b³-də b. Qalanları say. Həllə bax 9a²b = 3ab · 3a, 12ab³ = 3ab · 4b². 3ab-yə bölürük: 3a / 4b², a ≠ 0, b ≠ 0.
2. Asan 2 / 3y kəsrini 15y² məxrəcinə gətirin. Sual 2: cavabı seç 2 / 15y² 10 / 15y² 10y / 15y² Düzdür! Tamamlayıcı vuruq 5y-dir. Yox. Surət də məxrəcin vurulduğu eyni vuruğa vurulmalıdır: 15y² : 3y = ? Həllə bax 15y² : 3y = 5y. 2 · 5y / 3y · 5y = 10y / 15y².
3. Orta İxtisar edin: x² − 144 / x² − 12x Sual 3: cavabı seç x + 12 / x x − 12 / x 12 / x Düzdür! Ortaq vuruq x − 12-dir. Yox. Əvvəl vuruqlara ayır: kvadratlar fərqi və ortaq vuruq x. Toplananları (x² ilə x²) ixtisar etmək olmaz. Həllə bax x² − 144 = (x − 12)(x + 12), x² − 12x = x(x − 12). x − 12-yə bölürük: x + 12 / x, x ≠ 0, x ≠ 12.
4. Orta İxtisar edin: 8 − 4b / b² − 2b Sual 4: cavabı seç 4 / b −4 / b −4 / b − 2 Düzdür! 8 − 4b = −4(b − 2). Yox. 8 − 4b ilə b − 2 əks işarəlidir: −4 vuruğunu çıxar, sonra b − 2-yə ixtisar et. Həllə bax −4(b − 2) / b(b − 2) = −4 / b, b ≠ 0, b ≠ 2.
5. Çətin İxtisar edin: x² − 9x + 14 / x² − 49 Sual 5: cavabı seç x + 2 / x + 7 x − 2 / x − 7 x − 2 / x + 7 Düzdür! Hasili 14, cəmi −9: −2 və −7. Yox. Surət üçün hasili 14, cəmi −9 olan iki ədəd tap — ikisi də mənfidir. Sonra hansı vuruğun məxrəcdə də olduğuna bax. Həllə bax x² − 9x + 14 = (x − 2)(x − 7), x² − 49 = (x − 7)(x + 7). x − 7-yə bölürük: x − 2 / x + 7, x ≠ ±7.
6. Çətin İxtisar edin: 3x² + 5x − 2 / x² + 2x Sual 6: cavabı seç 3x + 1 / x 3x − 1 / x 3x − 1 Düzdür! mn = 3 · (−2) = −6, m + n = 5: 6 və −1. Yox. mn = ac = −6, m + n = 5 olan cütü tap, orta həddi parçala; məxrəcdə x vuruğu qalır. Həllə bax 3x² + 6x − x − 2 = 3x(x + 2) − (x + 2) = (x + 2)(3x − 1); x² + 2x = x(x + 2). x + 2-yə bölürük: 3x − 1 / x, x ≠ 0, x ≠ −2.

Yekun

Yadda qalanlar

• a / b = ac / bc, c ≠ 0Surət və məxrəci eyni sıfırdan fərqli vuruğa vurmaq və ya bölmək kəsrin qiymətini dəyişmir.
• Vuruqlara ayır → ortaq vuruq → bölYalnız vuruq ixtisar olunur, toplanan yox; b − a = −(a − b).
• x ≠ …Şərt verilən kəsrdən yazılır: ixtisar olunan vuruğun sıfırları da cavabın yanında qalır.

Növbəti mövzu: 3.27 Rasional ifadələrin vurulması, bölünməsi və qüvvətə yüksəldilməsi

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 8-ci sinif», «Rasional ifadələr» bölməsi, «Rasional ifadələrin sadələşdirilməsi», səh. 95–99 (tərif, kəsrin əsas xassəsi, ixtisarın üç addımı, «Diqqət!» qeydləri, kvadrat üçhədlinin vuruqlara ayrılması qaydaları). Nümunələrdəki ifadələr və ədədlər bu dərs üçün seçilib.