Vuruğun kök işarəsi altından çıxarılması: radiodakı üç cavab

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin: cümə günü, böyük tənəffüs. Dəhlizdə səs-küy var, amma birinci mərtəbədəki kiçik otağın qapısı bağlıdır. Qapının üstündə qırmızı lampa yanır: «Efir». Bura məktəb radiosunun studiyasıdır. Doqquzuncu sinif şagirdi Könül hər cümə «Riyazi tapmaca» verilişini aparır. Sinif yoldaşı Sadiq isə səs pultunun arxasında oturur. Keçən həftənin tapmacası belə idi: «Beş yüzün kub kökünü ən sadə şəkildə yazın.» Bu həftə üç səsli mesaj gəlib. Sadiq onları bir-bir açır. Birinci dinləyici deyir: «Cavab: dördün kub kökünün beş misli.» İkinci dinləyici deyir: «Cavab: beşin kub kökünün on misli.» Üçüncü dinləyici isə qısa danışır: «Beş yüzün kub kökü elə ən sadə şəkildir.» Efirə üç dəqiqə qalır. Sadiq tələsir: «Yüz tam kvadratdır, yüzün kökü ondur. Beş yüz ədədi yüzlə beşin hasilidir. Məncə, ikinci cavab doğrudur.» Könül isə fikrə gedir. Üç cavab, üçü də fərqli görünür. Bəlkə ikisi eyni ədədin iki fərqli yazılışıdır? Hansı cavab səhvdir? Və qalibi necə seçmək olar? Dərsin sonunda Könül qalibi efirdə elan edəcək. Siz də onunla birlikdə qərar verəcəksiniz. Salam! Bu dinləmə dərsində vuruğu kök işarəsinin altından çıxarmağı öyrənəcəyik. Bizə iki tanış alət lazımdır. Birincisi: hasilin kökü köklərin hasilinə bərabərdir. İkincisi: kubun kub kökü ədədin özüdür. Yolumuz belədir: əvvəl ədədlər, sonra hərflər, sonra işarə, sonda isə oxşar köklər. Bir razılaşma da edək. «Dördün kub kökünün beş misli» deyəndə kök yalnız dördün üstündədir. Beş isə kökün qarşısında duran vuruqdur. Birinci fəsil: kökün içində gizlənən kub. Beş yüzə baxaq və içində tam kub axtaraq. İkinin kubu səkkizdir. Üçün kubu iyirmi yeddidir. Dördün kubu altmış dörddür. Beşin kubu isə yüz iyirmi beşdir. Yüz iyirmi beş ədədi beş yüzün içinə düz dörd dəfə sığır. Deməli, beş yüz ədədi yüz iyirmi beşlə dördün hasilidir. Hasilin kökü köklərin hasilidir. Yüz iyirmi beşin kub kökü beşdir, və bu beş kökün altından çölə çıxır. Dörd isə kökün altında qalır. Nəticə: dördün kub kökünün beş misli. Bu addımın adı belədir: vuruğun kök işarəsi altından çıxarılması. Gəlin yoxlayaq. Səkkizin kubu beş yüz on ikidir. Deməli, beş yüzün kub kökü səkkizdən bir az kiçikdir. Dördün kub kökü isə bir yarımdan bir az böyükdür, beş misli də yeddi yarımla səkkiz arasına düşür. Hər şey uyğun gəlir. Birinci dinləyicinin cavabı doğrudur. Bəs Sadiqin bəyəndiyi ikinci cavab? Yüz, doğrudan da, tam kvadratdır, və yüzün kvadrat kökü ondur. Amma tapmacada kub kök var. Kub kökün altından on ədədini çıxarmaq üçün kökün altında min olmalıdır, çünki on ədədinin kubu mindir. Hər kök çölə yalnız öz qüvvətini buraxır. Kvadrat kök tam kvadratları buraxır. Kub kök tam kubları buraxır. Dördüncü dərəcədən kök isə tam dördüncü qüvvətləri buraxır. Kökün üstündəki rəqəm sanki açardır: qapını hansı qüvvətin açacağını o deyir. Sağlam düşüncə də bunu göstərir. Beşin kub kökü birdən böyükdür, ona görə də bu kökün on misli on ədədindən böyükdür. Beş yüzün kub kökü isə səkkizdən kiçikdir. İkinci cavab səhvdir. Bir tələ də var: işi yarımçıq qoymaq. İki min yüz altmışın kub kökünə baxaq. Səkkiz dərhal gözə dəyir: iki min yüz altmış ədədi səkkizlə iki yüz yetmişin hasilidir. Səkkizin kub kökü iki çölə çıxır, iki yüz yetmiş isə kökün altında qalır. Amma burada dayanmaq tezdir! İki yüz yetmişin içində də kub gizlənib: iyirmi yeddi. İki yüz yetmiş ədədi iyirmi yeddi ilə on ədədinin hasilidir. İndi üç də çölə çıxır, iki ilə üçün hasili isə altıdır. Nəticə: on ədədinin kub kökünün altı misli. Qayda belədir: kökaltı ədəddə ən böyük tam kubu axtarın. Bu ədəddə o, iki yüz on altıdır, yəni altının kubu. Dördüncü dərəcədən kökdə eyni iş dördüncü qüvvətlərlə görülür. İkinin dördüncü qüvvəti on altıdır. Üçün dördüncü qüvvəti səksən birdir, yəni səksən birin dördüncü dərəcədən kökü üçdür. İndi yüz yetmiş altının dördüncü dərəcədən kökünü götürək. Yüz yetmiş altı ədədi on altı ilə on birin hasilidir. Vuruqlardan on altının dördüncü dərəcədən kökü ikidir, və o, çölə çıxır. Kökün altında isə on bir qalır. Nəticə: on birin dördüncü dərəcədən kökünün iki misli. İndi növbə sizindir. İki min ədədinin kub kökünü sadə şəkildə yazın. İpucu: içində çox tanış, yuvarlaq bir kub gizlənib. Bir az fikirləşin. Cavab: iki min ədədi min ilə ikinin hasilidir. Minin kub kökü ondur. Deməli, on çölə çıxır, iki isə kökün altında qalır. Nəticə: ikinin kub kökünün on misli. İkinci fəsil: hərflər kökün altından necə çıxır. Tutaq ki, iks müsbət ədəddir. İksin səkkizinci qüvvətinin kub kökünü sadələşdirək. İksin səkkizinci qüvvəti səkkiz iksin hasilidir. Bu iksləri üçlük qruplara bölək. İki tam qrup alınır, iki iks də artıq qalır. Hər tam qrup kökün altından bir iks kimi çıxır. Nəticədə kökün qarşısında iks kvadrat durur, kökün altında da iks kvadrat qalır. Qısa yol belədir: qüvvət üstünü kökün dərəcəsinə bölün. Tam hissə çölə çıxan qüvvətdir, qalıq isə kökün altında qalan qüvvətdir. Səkkizi üçə bölsək, tam hissə iki, qalıq da ikidir. Burada iki səhv tez-tez olur. Birincisi: qüvvət üstündən üçü götürüb çölə iksin beşinci qüvvətini yazmaq. İkincisi kvadrat kök vərdişidir: səkkizi yarıya bölüb çölə iksin dördüncü qüvvətini yazmaq. Hər ikisi səhv yoldur. Kub kök üçlük qruplarla işləyir. Yenə sizə sual. İks müsbətdir. İksin on üçüncü qüvvətinin dördüncü dərəcədən kökünü sadələşdirin. Kökün qarşısında nə durur, altında nə qalır? Cavab: on üçü dördə bölürük. Tam hissə üçdür, qalıq isə birdir. Kökün qarşısında iks kub durur, kökün altında isə sadəcə iks qalır. Üçüncü fəsil: işarə. Bu vaxta qədər iks müsbət idi. Bəs iks mənfi olsa? Əvvəlcə tək dərəcəyə baxaq. Mənfi iki min ədədinin kub kökü mənfi ədəddir. Mənfi işarəsi sadəcə kökün qarşısına çıxır. Cavab belədir: ikinin kub kökünün on misli, qarşısında mənfi işarəsi ilə. Tək dərəcə işarəni saxlayır. Cüt dərəcə isə başqa cür davranır. Mənfi üçü dördüncü qüvvətə yüksəldək: səksən bir alınır, müsbət ədəd. Səksən birin dördüncü dərəcədən kökü isə üçdür, müsbət üç. Deməli, iksin dördüncü qüvvətinin dördüncü dərəcədən kökü iksin moduludur. Modul ədədin sıfırdan uzaqlığıdır. O, həmişə ya müsbətdir, ya da sıfır. Bir nümunə: iksin dördüncü qüvvətinin on bir mislinin dördüncü dərəcədən kökü. İksin dördüncü qüvvəti çölə iksin modulu kimi çıxır, on bir isə kökün altında qalır. İks mənfi olanda modul iksin əksidir, yəni mənfi iks. Kökün qarşısında mənfi iks yazılır, və bu, müsbət ədəddir, çünki iks özü mənfidir. Yoxlayaq: tutaq ki, iks mənfi iki ədədinə bərabərdir. Kökün altında on bir ilə on altının hasili alınır, yəni yüz yetmiş altı. Bir az əvvəl tapdıq: yüz yetmiş altının dördüncü dərəcədən kökü on birin dördüncü dərəcədən kökünün iki mislidir. Mənfi iks də düz ikiyə bərabərdir. Hər şey tutur. Bir də dəyişənin mümkün qiymətləri var. İksin yeddinci qüvvətinin dördüncü dərəcədən kökünə baxaq. Cüt dərəcədən kök yalnız sıfırdan və müsbət ədədlərdən alınır. İksin yeddinci qüvvəti isə iks mənfi olanda mənfidir. Deməli, bu ifadə yalnız iks sıfıra bərabər və ya sıfırdan böyük olanda mənalıdır. Dəyişənin mümkün qiymətləri bunlardır. Belə iks üçün modul iksin özüdür. Kökün qarşısında iks durur, kökün altında isə iks kub qalır. İndi sınaq. İks mənfi ədəddir. Birinci sual: iksin kubunun səkkiz mislinin kub kökü nədir? İkinci sual: iksin dördüncü qüvvətinin on altı mislinin dördüncü dərəcədən kökü nədir? Diqqət: dərəcələrdən biri tək, biri cütdür. Cavablar. Birincidə dərəcə təkdir, işarə saxlanılır. Cavab iki iksdir, və bu, mənfi ədəddir. İkincidə dərəcə cütdür, çölə modul çıxır. Cavab mənfi iki iksdir, və bu, müsbət ədəddir. Yadda saxlayın: tək dərəcə işarəni çölə olduğu kimi buraxır, cüt dərəcə isə çölə yalnız modul buraxır. Dördüncü fəsil: oxşar köklər üzə çıxır. Gəlin studiyaya baxaq. Sadiq gələn həftənin tapmacasını artıq yazıb: beş yüzün kub kökü ilə dördün kub kökünün cəmi. İlk baxışda bu iki kök tamam fərqli görünür. Amma vuruğu çıxaranda beş yüzün kub kökü dördün kub kökünün beş misli olur. İndi iki kökün altında eyni dörd var. Beş dənə dördün kub kökü ilə bir dənə dördün kub kökünün cəmi altı dənədir, eynilə beş alma ilə bir almanın cəmi altı alma olduğu kimi. Cavab: dördün kub kökünün altı misli. Belə köklərə oxşar köklər deyilir. Belə kökləri toplayanda ortaq vuruq mötərizə xaricinə çıxır. Bir xəbərdarlıq. Kökaltı ədədləri toplamaq səhv yoldur. Səkkizin kub kökü ikidir, iki belə kökün cəmi dörd edir. Səkkizlə səkkizin cəmi isə on altıdır, və on altının kub kökü üçdən kiçikdir, çünki üçün kubu on altıdan böyükdür. Köklər yalnız kökaltı ifadələri eyni olanda toplanır. Bu halda vuruqlar toplanır, kök isə olduğu kimi qalır. Son sual sizə. Üç minin kub kökü ilə mənfi səksən birin kub kökünün cəmini tapın. İpucu: hər iki ədədin içində bir kub gizlənib, və o kub üçə vurulub. Cavab. Üç min ədədi min ilə üçün hasilidir, ona görə üç minin kub kökü üçün kub kökünün on mislidir. Mənfi səksən bir ədədi mənfi iyirmi yeddi ilə üçün hasilidir. Dərəcə təkdir, mənfi işarəsi saxlanılır: üçün kub kökünün üç misli, qarşısında mənfi. İndi vuruqları toplayaq: on ilə mənfi üçün cəmi yeddidir. Cavab: üçün kub kökünün yeddi misli. Gəlin studiyaya qayıdaq. Qırmızı lampa yanır, Könül mikrofona yaxınlaşır. «Əziz dinləyicilər! Üç cavabın ikisi eyni ədəddir. Üçüncü dinləyicinin cavabı doğru ədəddir, amma tapmaca ən sadə şəkil istəyirdi, iş yarımçıq qalıb. İkinci cavab səhvdir: yüz ədədindən kvadrat kök alınıb, halbuki kub kök kub axtarır. Bu həftənin qalibi birinci dinləyicidir: dördün kub kökünün beş misli!» Sadiq gülümsəyib düyməni basır. Dəhlizdə tənəffüsün bitdiyini bildirən zəng çalınır. Bu dərsdən bir fikri götürün: kökün üstündəki rəqəm hansı qüvvətin çölə çıxacağını deyir. Kub kökdən kublar çıxır, dördüncü dərəcədən kökdən dördüncü qüvvətlər. Kökaltı ədəddə ən böyük belə vuruğu axtarın. Cüt dərəcədə çölə modul çıxır, tək dərəcədə işarə saxlanılır. Vuruqları çıxarandan sonra gizli oxşar köklər üzə çıxır və toplanır. Hesablamaları addım-addım oxu dərsində və videoda görəcəksiniz. Növbəti dərsdə isə əks yolu gedəcəyik: vuruğu kökün altına salacağıq. Düşünmək üçün bir sual: beş min ədədinin dördüncü dərəcədən kökünü sadə şəkildə necə yazarsınız? İpucu: dördüncü qüvvətlərin siyahısında bir az irəli gedin. Sağ olun, növbəti dərsdə görüşənədək!