Üçbucaqların konqruyentliyinin üçüncü əlaməti

• 2.48
• 7‑ci sinif
• Həndəsə

Üçbucaqların konqruyentliyinin üçüncü əlaməti

Dörd çubuğu mismarla birləşdir: çərçivə yana əyilir. Üç çubuq isə yerindən tərpənmir. Səbəb budur: üçbucağın üç tərəfi onun formasını və ölçüsünü tam müəyyən edir.

Bu dərsdə

• üç tərəfi uyğun olaraq konqruyent olan üçbucaqların konqruyent olduğunu (TTT) tətbiq edəcək və üçbucağın niyə tərpənmədiyini izah edəcəksən;
• uyğun təpələri tərəflərin uzunluqlarından tapacaqsan;
• şəkildə TBT, BTB və TTT arasından lazım olanı seçəcək, üç bucağın kifayət etmədiyini göstərəcəksən.

• qısa tərəf · 1 cizgi
• orta tərəf · 2 cizgi
• uzun tərəf · 3 cizgi

Dörd çubuqlu və üç çubuqlu çərçivə

Başla Yenidən Yenidən

1. Üç uzunluq
2. III əlamət
3. Üç bucaq
4. Uyğunluq
5. Hansı əlamət?
6. Əsaslandır
7. Diqqət
8. Həyatda
9. Özünü yoxla
10. Yekun

1 · Kəşf et

Üç uzunluq — neçə üçbucaq?

Uzunluqları 8 sm, 5 sm və 7 sm olan üç çubuğumuz var. 8 sm‑lik çubuğu AB kimi qoyaq. Üçüncü təpə A‑dan 5 sm aralıdır, yəni A mərkəzli 5 sm radiuslu qövsün üzərindədir; B‑dən isə 7 sm aralıdır, yəni B mərkəzli 7 sm radiuslu qövsün üzərindədir. İki qövs yalnız iki nöqtədə kəsişir. Radiusları yerini dəyişsək, daha iki nöqtə alınır.

Üçüncü təpəni seç

C₁ C₂ C₃ C₄

Üç uzunluqdan dörd yerləşmə

Lövhə 1AB = 8 sm, qövslər 5 sm və 7 sm1 sm = 36 vahid

ΔABC₁: AC₁ = 5 sm, BC₁ = 7 sm. 5 və 8 sm‑lik tərəflər arasındakı bucaq ∠A = 60°‑dir. Bu, bizim üçbucağımızdır.

ΔABC₂: vərəqi AB boyunca qatla — C₂ C₁‑in üzərinə düşür. Bu, eyni üçbucağın güzgü əksidir: yenə AC₂ = 5 sm, ∠A = 60°.

ΔABC₃: 5 və 7 sm yer dəyişib: BC₃ = 5 sm. Üçbucağı AB‑nin ortasından keçən perpendikulyar boyunca qatla — A B‑yə, C₃ C₁‑ə düşür. Bucaq indi B‑dədir: ∠B = 60°.

ΔABC₄: AB‑nin ortası ətrafında 180° döndər — A B‑nin, C₄ C₁‑in yerinə gəlir. Yenə 5 və 8 sm arasında 60°.

Dörd yer, amma bir üçbucaq: hər biri o birinin üzərinə qoyula bilir. Üç uzunluq üçbucağın yerini dəyişə bilər, formasını və ölçüsünü yox.

2 · Qayda

III əlamət: üç tərəfə görə

Yadda saxla

Bir üçbucağın üç tərəfi uyğun olaraq digər üçbucağın üç tərəfinə konqruyentdirsə, bu üçbucaqlar konqruyentdir (III əlamət).

Bu əlamətə TTT (Tərəf, Tərəf, Tərəf) əlaməti də deyilir.

AC ≅ A₁C₁, BC ≅ B₁C₁, AB ≅ A₁B₁ ⇒ ΔABC ≅ ΔA₁B₁C₁

ΔABC və ΔA₁B₁C₁

Lövhə 2Eyni sayda cizgi — konqruyent tərəflər

İkinci üçbucaq döndərilib, amma cizgilər uyğunluğu göstərir: bir cizgi — 5 sm, iki cizgi — 7 sm, üç cizgi — 8 sm.

Niyə doğrudur?

A₁B₁‑i AB‑nin üzərinə qoy. C₁ A‑dan 5 sm, B‑dən 7 sm aralıdır, yəni Lövhə 1‑dəki iki qövsün kəsişməsindədir. Belə nöqtə ya C‑dir, ya da onun AB boyunca güzgü əksi. Hər iki halda üçbucaqlar üst‑üstə düşür.

Üçbucağın dayanıqlığı

Çubuqların uzunluğu dəyişmirsə, TTT‑yə görə üçbucağın bucaqları da dəyişə bilməz. Ona görə üç çubuqlu çərçivə tərpənmir.

Dörd tərəf kifayət deyil

Tərəfi 4 sm olan kvadrat və tərəfi 4 sm olan romb — dörd tərəf eynidir, bucaqlar fərqlidir. Hero‑dakı dördbucaqlı çərçivə də belə əyilir.

3 · Müqayisə

Üç bucaq kifayət deyil

Bəs üç bucaq bərabər olsa? Aşağıdakı üç üçbucağın hər birində bucaqlar 50°, 70° və 60°‑dir. Onlar eyni formadadır, amma ölçüləri fərqlidir — birini o birinin üzərinə qoysaq, üst‑üstə düşməzlər.

Bucaqları eyni olan üç üçbucaq

Lövhə 3Eyni bucaqlar, fərqli tərəflər1 sm = 50 vahid

Başla Yenidən Yenidən

• ΔAB₁C₁: AB₁ = 3 sm
• ΔAB₂C₂: AB₂ = 4,5 sm
• ΔAB₃C₃: AB₃ = 6 sm

Üç bucağın bərabərliyi yalnız formanı verir, ölçünü yox. Ona görə hər konqruyentlik əlamətində ən azı bir tərəf var: TBT‑də iki, BTB‑də bir, TTT‑də üç.

Eyni formalı, fərqli ölçülü fiqurları yuxarı siniflərdə «oxşar» adlandıracaqsan.

4 · Uyğunluq

Təpələri uzunluqlardan tap

TTT‑də bucaq verilmir, ona görə uyğun təpələri tərəflərdən tapırıq. Hər təpə iki tərəfin görüşdüyü yerdir: eyni uzunluqlu iki tərəfin görüşdüyü təpələr uyğundur.

Nümunə 1Hansı təpə hansına?

ΔDEF‑də DE = 7 sm, EF = 9 sm, DF = 4 sm. ΔXYZ‑də XY = 4 sm, YZ = 7 sm, XZ = 9 sm. Üçbucaqlar konqruyentdirmi? Konqruyentliyi düzgün hərf sırası ilə yazın və bərabər bucaqları göstərin.

ΔDEF və ΔXYZ

Lövhə 4ΔXYZ çevrilib və döndərilib1 sm = 22 vahid

1. Uzunluqları düzək: hər iki üçbucaqda 4, 7 və 9 sm. DF = XY, DE = YZ, EF = XZ — III əlamətə (TTT) görə üçbucaqlar konqruyentdir.
2. D‑də 4 və 7 sm‑lik tərəflər görüşür. ΔXYZ‑də 4 sm (XY) və 7 sm (YZ) Y‑də görüşür: D ↔ Y.
3. E‑də 7 və 9 sm görüşür: YZ və XZ — Z‑də, E ↔ Z. F‑də 9 və 4 sm: XZ və XY — X‑də, F ↔ X.
4. Yoxlama: ən uzun tərəfin qarşısındakı bucaqlar uyğun olmalıdır. EF = 9 sm D‑nin, XZ = 9 sm Y‑nin qarşısındadır — D ↔ Y düzdür. ΔDEF ≅ ΔYZX; ∠D = ∠Y, ∠E = ∠Z, ∠F = ∠X

5 · Hansı əlamət?

TBT, BTB, yoxsa TTT?

Əlaməti şəkildəki nişanlar seçir. Eyni iki üçbucağa beş fərqli nişan dəsti qoyaq. Bucaq qövsünün rəngi və sayı qarşısındakı tərəfin rəngi və cizgi sayı ilə eynidir.

Nişan dəstini seç

1 2 3 4 5

ΔGHJ və ΔUVW üzərində nişanlar

Lövhə 5ΔGHJ və ΔUVW: nə verilib?

TTTGH = UV, HJ = VW, GJ = UW — üç cüt tərəf. III əlamətə görə ΔGHJ ≅ ΔUVW.

TBTGH = UV, HJ = VW və onların arasındakı ∠H = ∠V. I əlamətə görə ΔGHJ ≅ ΔUVW.

BTBGH = UV və ona bitişik iki bucaq: ∠G = ∠U, ∠H = ∠V. II əlamətə görə ΔGHJ ≅ ΔUVW.

Əlamət deyilGH = UV, HJ = VW, ∠G = ∠U. ∠G GH və GJ arasındadır, GH və HJ arasında deyil — bu nişanlar TBT vermir.

Əlamət deyilÜç bucaq bərabərdir, amma heç bir tərəf verilməyib. Lövhə 3‑də gördük: ölçü fərqli ola bilər.

Üç əlamət yanaşı

6 · Əsaslandır

Şəkildə üçbucaqları tap və əsaslandır

Nümunə 2Evin fasadı

ABCDE beşbucaqlısında AD = BC, DE = CE və AE = BE‑dir (AE və BE parçaları çəkilib). ∠ADE = 124° olarsa, ∠BCE‑ni tapın.

Evin fasadı ABCDE

Lövhə 6ΔADE və ΔBCE

Mühakimə

1. Uyğunluq cizgilərdən: A‑da bir və üç cizgi görüşür, ΔBCE‑də onlar B‑də görüşür, deməli A ↔ B. Eyni qayda ilə D ↔ C, E ↔ E.
2. ∠ADE D‑dədir, D‑yə C uyğundur: ∠ADE = ∠BCE. ∠BCE = 124°

7 · Diqqət

Üç tez‑tez edilən səhv

Uyğunluğu əlifba sırası ilə yazmaq

Səhv

ΔDEF ≅ ΔXYZ

Bu yazılışa görə DE = XY olmalıdır, amma 7 sm ≠ 4 sm.

Düz

ΔDEF ≅ ΔYZX

Hər təpəni onda görüşən iki tərəfin uzunluğu ilə tanı (Nümunə 1).

Əlamətin adını qarışdırmaq

Səhv

2 tərəf + aradakı bucaq ⇒ II əlamət

II əlamətdə (BTB) bir tərəf və ona bitişik iki bucaq olur.

Düz

2 tərəf + aradakı bucaq ⇒ I əlamət (TBT)

Dərslikdəki MİSAL‑da (səh. 195) belə addım «II əlamət» adlandırılıb — düzgün adı I əlamətdir.

Üç bucağı əlamət saymaq

Səhv

∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F ⇒ ≅

Üç bucaq yalnız formanı verir (Lövhə 3).

Düz

ən azı bir tərəf lazımdır

Məsələn, bir tərəf və ona bitişik iki bucaq — BTB.

8 · Həyatda

Üçbucaq formanı saxlayır

Bir şey yük altında əyilməməlidirsə, ustalar onun içində üçbucaq düzəldir: üç tərəf bərkidiləndə bucaqlar da bərkiyir (TTT).

Rəf dirsəyi

Lövhə 7Rəf dirsəyi

Divar, rəf və çəp dayaq üçbucaq yaradır. Kitabların ağırlığı rəfi aşağı əyə bilmir.

Taxta darvaza

Lövhə 8Taxta darvaza

Dörd taxtalı çərçivə əyilərdi. Çəp taxta onu iki üçbucağa bölür, darvaza formasını saxlayır.

Qatlanan nərdivan

Lövhə 9Qatlanan nərdivan

İki ayaq və kəmər üçbucaqdır. Kəmər açılanda üçüncü tərəf qalmır və ayaqlar aralanıb sürüşə bilər.

9 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç: düz olanda lime, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllə də baxa bilərsən.

1. Asan ΔPQR‑in tərəfləri 3 sm, 5 sm və 6 sm‑dir. Tərəfləri hansı olan üçbucaq ΔPQR ilə konqruyentdir? Sual 1 variantları 3 sm, 5 sm, 7 sm 5 sm, 6 sm, 3 sm 6 sm, 10 sm, 12 sm Düzdür! Sıra fərqlidir, uzunluqlar eynidir — TTT. Üç uzunluğun hamısı eyni olmalıdır: nə biri fərqli, nə də hamısı iki dəfə böyük. Həllə bax 5, 6, 3 sm — eyni üç uzunluqdur, TTT‑yə görə konqruyentdir. 3, 5, 7‑də bir tərəf fərqlidir; 6, 10, 12 isə eyni formalı, iki dəfə böyük üçbucaqdır.
2. Asan ΔABC və ΔDEF‑də AB = DE, AC = DF və ∠A = ∠D‑dir. Üçbucaqlar hansı əlamətə görə konqruyentdir? Sual 2 variantları III əlamət (TTT) II əlamət (BTB) I əlamət (TBT) Düzdür! ∠A AB və AC‑nin arasındadır. Neçə tərəf və neçə bucaq verilib? Bucaq hansı tərəflərin arasındadır? Həllə bax İki tərəf (AB, AC) və onların arasındakı ∠A verilib — bu I əlamətdir (TBT). TTT üçün BC = EF də lazım olardı; BTB‑də isə iki bucaq olur.
3. Orta ΔMNP‑də MN = 10 sm, NP = 12 sm, MP = 7 sm; ΔSTV‑də ST = 12 sm, TV = 7 sm, SV = 10 sm. Hansı yazılış düzdür? Sual 3 variantları ΔMNP ≅ ΔSTV ΔMNP ≅ ΔVST ΔMNP ≅ ΔTVS Düzdür! M ↔ V, N ↔ S, P ↔ T. Hərfləri əlifba ilə yox, təpədə görüşən iki tərəflə uyğunlaşdır. Həllə bax M‑də 10 və 7 sm görüşür; ΔSTV‑də 10 (SV) və 7 (TV) V‑də görüşür: M ↔ V. N‑də 10 və 12: SV və ST — S‑də, N ↔ S. P‑də 12 və 7: ST və TV — T‑də, P ↔ T. Cavab ΔMNP ≅ ΔVST.
4. Orta Dörd çubuqlu menteşəli çərçivəyə iki qarşı küncünü birləşdirən beşinci çubuq bərkidildi. Çərçivə niyə daha əyilmir? Sual 4 variantları Çubuqların sayı tək oldu Çərçivə iki üçbucağa bölündü, hər birinin üç tərəfi sabitdir Beşinci çubuq bütün bucaqları 90° etdi Düzdür! Üç tərəfi sabit olan üçbucaq formasını dəyişmir (TTT). Diaqonal çubuq çərçivəni hansı fiqurlara bölür? Həllə bax Diaqonal dördbucaqlını iki üçbucağa bölür. Hər üçbucağın üç tərəfi çubuqdur, uzunluqları dəyişmir, ona görə TTT‑yə görə bucaqları da dəyişə bilməz. Bucaqlar 90° olmaya da bilər — darvaza nümunəsinə bax.
5. Orta İki üçbucağın hər birinin bucaqları 40°, 60° və 80°‑dir. Bu üçbucaqlar haqqında nə demək olar? Sual 5 variantları Mütləq konqruyentdir: üç bucaq bərabərdir Konqruyent olmaya da bilər: ölçüləri fərqli ola bilər BTB‑yə görə konqruyentdir Düzdür! Bucaqlar formanı verir, ölçünü yox. Lövhə 3‑ə bax: bucaqlar eynidir, tərəflər fərqlidir. Həllə bax Heç bir tərəf verilməyib. BTB üçün bərabər bir tərəf də lazımdır. Bucaqları 40°, 60°, 80° olan kiçik və böyük üçbucaq çəkmək olar.
6. Çətin ΔABC‑də AB = 3 sm, BC = 5 sm, AC = 7 sm və ∠B = 120°. ΔKLM‑də KL = 7 sm, LM = 3 sm, KM = 5 sm. ΔKLM‑in hansı bucağı 120°‑dir? Sual 6 variantları ∠L ∠K ∠M Düzdür! B‑də 3 və 5 sm görüşür, ΔKLM‑də onlar M‑də görüşür. B ikinci hərf olduğu üçün L‑i seçmə: B‑də hansı iki tərəf görüşür? Həllə bax Uzunluqlar eynidir (3, 5, 7), TTT‑yə görə üçbucaqlar konqruyentdir. B‑də AB = 3 və BC = 5 görüşür. ΔKLM‑də 3 sm (LM) və 5 sm (KM) M‑də görüşür, deməli B ↔ M və ∠M = ∠B = 120°. Yoxlama: ∠B ən uzun tərəfin (AC = 7) qarşısındadır, ∠M də KL = 7‑nin qarşısındadır.

10 · Yekun

Üç nəticə

• Üç tərəf — bir üçbucaqÜç tərəfi uyğun olaraq konqruyent olan üçbucaqlar konqruyentdir (III əlamət, TTT). Ona görə üçbucaq tərpənmir.
• Təpəni iki tərəfi ilə tanıEyni uzunluqlu iki tərəfin görüşdüyü təpələr uyğundur; əlifba sırası yox.
• Nişanlar əlaməti seçir3 tərəf — TTT, 2 tərəf + aradakı bucaq — TBT, tərəf + bitişik 2 bucaq — BTB. Üç bucaq əlamət deyil.

Növbəti mövzu: 2.49 Bərabəryanlı və bərabərtərəfli üçbucağın xassələri — orada bu əlamətlər üçbucağın öz hissələrini müqayisə etməyə kömək edəcək.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 7‑ci sinif», Bölmə 9, dərs 4, səh. 195–197: III əlamətin ifadəsi, TTT adı, MİSAL (onun «II əlamət» adlandırdığı addım iki tərəf və aradakı bucaqdır, yəni I əlamətdir), çalışmalar və üçbucağın dayanıqlığı haqqında praktik iş. Bütün fiqurlar, hərflər və ədədlər bu dərs üçün yaradılıb; lövhələr miqyasla çəkilib və bucaqlar uzunluqlardan hesablanıb.