Birhədlinin çoxhədliyə vurulması

• 2.24
• 7‑ci sinif
• Çoxhədlilər

Birhədlinin çoxhədliyə vurulması

Divar üç panelə bölünüb: hündürlüyü 3a, panellərin eni 2a, b və 6. Sahəni bütöv də, panel‑panel də tapmaq olar — cavab eynidir: 6a2 + 3ab + 18a.

Bu dərsdə

• birhədlini çoxhədlinin hər bir həddinə vurub hasili standart şəkildə yazacaqsan;
• hər hasilin işarəsini, əmsalını və üstünü səhvsiz tapacaqsan;
• bir neçə hasildən ibarət ifadəni sadələşdirəcək, qiymətini tapacaq və mötərizəli tənliyi həll edəcəksən.

Hündürlüyü 3a olan divar eni 2a, b və 6 olan üç panelə bölünüb

Başla Yenidən Yenidən

1. Kəşf et
2. Qayda
3. İşarə laboratoriyası
4. Hesabla
5. Sadələşdir
6. Tənlik
7. Diqqət
8. Həyatda
9. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Bir vuruq — bir neçə toplanan

Dərslik belə başlayır: «Siz vurmanın toplamaya və çıxmaya görə paylama xassəsini bilirsiniz.» Bu xassə başda hesablamağı da asanlaşdırır. 6 · 47 hasilini tapmaq üçün 47‑ni 40 + 7 kimi yazırıq:

6 · 47 = 6 · (40 + 7)= 6 · 40 + 6 · 7= 240 + 42 = 282

6 vuruğu mötərizədəki hər toplanana vurulur. Hərflərlə: a(b + c) = ab + ac və a(b − c) = ab − ac.

Yuxarıdakı divar da eyni şeyi göstərir. Bütöv sahə «hündürlük × en»‑dir: 3a(2a + b + 6). Hər panelin sahəsi isə ayrıca hesablanır: 3a · 2a = 6a2; 3a · b = 3ab; 3a · 6 = 18a. Panellər bütün divarı örtdüyü üçün iki yol eyni nəticə verir:

3a(2a + b + 6) = 6a2 + 3ab + 18a

Burada 3a birhədli, 2a + b + 6 isə çoxhədlidir. Deməli, birhədlini çoxhədliyə vurmaq paylama xassəsini bir neçə hədd üçün tətbiq etmək deməkdir.

2 · Qayda

Birhədli hər həddə vurulur

Yadda saxla

«Birhədlini çoxhədliyə vurmaq üçün birhədlini çoxhədlinin hər bir həddinə vurub alınan hasilləri cəm şəklində yazmaq lazımdır.»

a(b + c + d) = ab + ac + ad

Dərslik əlavə edir: «Birhədlinin çoxhədliyə hasili çoxhədlidir!»

a(b + c + d) bərabərliyinin sahə şəkli

Hündürlüyü a olan düzbucaqlı eni b, c, d olan zolaqlara bölünür. Bütöv sahə zolaqların sahələrinin cəminə bərabərdir — bu, paylama xassəsinin həndəsi mənasıdır.

Hər hasil — birhədlilərin hasili

3a · 2a = 6a2

Əmsallar vurulur, eyni hərfin üstləri toplanır (2.19): 3 · 2 = 6, a · a = a2.

İşarə qaydası

(−) · (−) = +

(+) · (−) = −. Hər hasilin işarəsini ayrıca tap: o, vuranın və həddin işarələrindən asılıdır.

Şəkil yalnız müsbət hədlər üçün çəkilir, amma qayda mənfi hədlər üçün də doğrudur: işarələri rasional ədədlərin vurulma qaydası müəyyən edir. Bunu növbəti laboratoriyada yoxlayaq.

3 · İşarə laboratoriyası

Vuranın işarəsi nəyi dəyişir?

Eyni çoxhədlini — 2y2 − 3y + 5 — üç müxtəlif vurana vururuq. Vuranı seç və hasillərin işarəsinə bax.

Vuran

2y −2y −1

Vurma cədvəli: seçilmiş vuran 2y² − 3y + 5 çoxhədlisinin hər həddinə vurulur

2y müsbətdir: hər hasil həddin öz işarəsini saxlayır. 2y · (2y2 − 3y + 5) = 4y3 − 6y2 + 10y.

−2y mənfidir: hər hasilin işarəsi dəyişir. −2y · (2y2 − 3y + 5) = −4y3 + 6y2 − 10y — əvvəlki nəticənin əksi.

−1‑ə vurmaq hər həddin işarəsini dəyişir: −(2y2 − 3y + 5) = −2y2 + 3y − 5. Bu, 2.23‑dəki «mötərizə qarşısında mənfi» qaydasının özüdür.

Yuxarı sətir — çoxhədlinin hədləri, sol xana — vuran, alt sətir — hasillər. Yaşıl xana müsbət, qırmızı xana mənfi hasildir.

4 · Hesabla

Addım‑addım vururuq

Hər nümunədə eyni iş görülür: birhədlini hər həddə vururuq, hasilləri işarələri ilə birlikdə yazırıq.

Nümunə 1Müsbət birhədli

Hasili çoxhədli şəklində yazın: 4m3 · (5m2 − m + 6).

1. Birhədlini hər həddə vururuq: 4m3 · 5m2 = 20m5; 4m3 · (−m) = −4m4; 4m3 · 6 = 24m3.
2. Hasilləri cəm şəklində yazırıq. Hədlər artıq standart sıradadır: üstlər 5, 4, 3. 4m3 · (5m2 − m + 6) = 20m5 − 4m4 + 24m3

Nümunə 2Mənfi birhədli, iki hərf

Hasili standart şəkildə yazın: −5pq · (3p2 − 2pq + q2).

1. Əmsallar: (−5) · 3 = −15, (−5) · (−2) = +10, (−5) · 1 = −5.
2. Hərflər: pq · p2 = p3q, pq · pq = p2q2, pq · q2 = pq3.
3. Hər hasil: −5pq · 3p2 = −15p3q; −5pq · (−2pq) = 10p2q2; −5pq · q2 = −5pq3. −5pq · (3p2 − 2pq + q2) = −15p3q + 10p2q2 − 5pq3

Nümunə 3Onluq kəsr əmsallar

Vurmanı yerinə yetirin: 1,5y · (4y2 − 0,6y + 2).

1. Əmsallar: 1,5 · 4 = 6; 1,5 · (−0,6) = −0,9; 1,5 · 2 = 3.
2. Hasillər: 1,5y · 4y2 = 6y3; 1,5y · (−0,6y) = −0,9y2; 1,5y · 2 = 3y. 1,5y · (4y2 − 0,6y + 2) = 6y3 − 0,9y2 + 3y

Nümunə 4Sütunla vurma

Dərslik sütunlu vurma üsulunu da göstərir: birhədli çoxhədlinin altında yazılır, hər həddə ox çəkilir və hasillər xəttin altına yazılır. −3d · (2d4 − d2 + 7) hasilini belə tapaq.

Sütunla vurma: −3d birhədlisi 2d⁴ − d² + 7 çoxhədlisinin hər həddinə

Başla Yenidən Yenidən

Hər ox bir hasildir: −3d · 2d4 = −6d5; −3d · (−d2) = 3d3; −3d · 7 = −21d.

−3d · (2d4 − d2 + 7) = −6d5 + 3d3 − 21d

Yoxlama: d = 1 olanda sol tərəf −3 · (2 − 1 + 7) = −24, sağ tərəf −6 + 3 − 21 = −24. Bərabərdir.

5 · Sadələşdir

Bir neçə hasil bir ifadədə

İfadədə bir neçə hasil varsa, əvvəl hər hasili açırıq, sonra oxşar hədləri islah edirik (2.22–2.23). Hasilin qarşısındakı «−» vuranın öz işarəsidir.

Nümunə 5Aç və islah et

İfadəni sadələşdirin: 4b(b − 9) − 3b(b − 8).

1. Birinci hasil: 4b2 − 36b.
2. İkinci vuran −3b‑dir: −3b · b = −3b2, −3b · (−8) = +24b.
3. Hamısını yazırıq: 4b2 − 36b − 3b2 + 24b.
4. Oxşar hədlər: 4b2 − 3b2 = b2, −36b + 24b = −12b. 4b(b − 9) − 3b(b − 8) = b2 − 12b

Nümunə 6Sadələşdir, sonra qiymətini tap

2n(n + 6) − n(n + 11) ifadəsinin n = −6 olanda qiymətini tapın.

1. Açırıq: 2n2 + 12n − n2 − 11n.
2. İslah edirik: n2 + n.
3. n = −6: (−6)2 + (−6) = 36 − 6 = 30.
4. Yoxlama (sadələşdirmədən): 2 · (−6) · 0 − (−6) · 5 = 0 + 30 = 30. n2 + n = 30, n = −6 olanda

Nümunə 7Əsaslandırın

İsbat edin ki, 2t(t − 10) − t(3t − 20) − 7 ifadəsinin qiyməti t‑nin istənilən qiymətində mənfidir.

1. Açırıq: 2t2 − 20t − 3t2 + 20t − 7.
2. İslah edirik: 2t2 − 3t2 = −t2, −20t + 20t = 0; qalır −t2 − 7.
3. t2 ≥ 0 olduğundan −t2 ≤ 0, deməli −t2 − 7 ≤ −7 < 0. −t2 − 7 < 0 — ifadə həmişə mənfidir

6 · Tənlik

Mötərizəli tənliklər

Tənlikdə mötərizə varsa, əvvəl vurmanı yerinə yetiririk, sonra dərsliyin xatırlatdığı kimi «tənliyin hədlərini bərabərliyin bir tərəfindən digərinə» keçiririk — keçən hədd işarəsini dəyişir.

Nümunə 8Mötərizələri aç, hədləri keçir

Tənliyi həll edin: 4(3x − 2) − 5(x + 8) = 78.

1. Açırıq: 12x − 8 − 5x − 40 = 78.
2. İslah edirik: 7x − 48 = 78.
3. −48‑i sağa keçiririk: 7x = 78 + 48 = 126; x = 126 : 7 = 18.
4. Yoxlama: 4 · 52 − 5 · 26 = 208 − 130 = 78. x = 18

Nümunə 9«Neçə vahid kiçik?»

y‑in hansı qiymətində 2(y − 9) ifadəsinin qiyməti 5(y + 6) ifadəsinin qiymətindən 9 vahid kiçikdir?

1. «9 vahid kiçik» o deməkdir ki, böyük ifadədən 9 çıxsaq, kiçiyini alırıq: 2(y − 9) = 5(y + 6) − 9.
2. Açırıq: 2y − 18 = 5y + 30 − 9, yəni 2y − 18 = 5y + 21.
3. Hədləri keçiririk: 2y − 5y = 21 + 18; −3y = 39; y = −13.
4. Yoxlama: 2 · (−22) = −44, 5 · (−7) = −35, −35 − 9 = −44. y = −13

7 · Diqqət

Dörd tipik səhv

Yalnız birinci həddə vuranda sahənin böyük hissəsi itir

Birhədlini yalnız birinci həddə vuranda qalan zolaqlar «1» hündürlüyündə qalır: 8k2 və 14k sahələri itir.

Yalnız birinci hədd

2k(k2 + 4k + 7) = 2k3 + 4k + 7

4k və 7 birhədliyə vurulmayıb.

Hər hədd

2k(k2 + 4k + 7) = 2k3 + 8k2 + 14k

2k hər üç həddə vurulur.

Üstlər vurulub

−2y3(y4 + 3y) = −2y12 − 6y3

y3 · y4 «y12» deyil.

Üstlər toplanır

−2y3(y4 + 3y) = −2y7 − 6y4

y3 · y4 = y7, y3 · y = y4.

Mənfi · mənfi = mənfi?

−4n(2n − 3) = −8n2 − 12n

İkinci hasilin işarəsi səhvdir.

Mənfi · mənfi = müsbət

−4n(2n − 3) = −8n2 + 12n

(−4n) · (−3) = +12n.

«−» yalnız birinci həddə

7t − 4(t − 5) = 3t − 20

−4 · (−5) mənfi götürülüb.

Vuran −4‑dür

7t − 4(t − 5) = 3t + 20

−4 · (−5) = +20, deməli 7t − 4t + 20 = 3t + 20.

8 · Həyatda

Fermer sahəsinin planı

Fermer sahəsinin planı (sxematik)

Plan sxematikdir: zolaqların eni miqyasla çəkilməyib.

Fermer düzbucaqlı sahəni üç hissəyə bölür: pomidor, xiyar və bibər. Sahənin eni 5x metr, hissələrin uzunluqları 2x, 7 və x metrdir. Bütöv sahə:

5x(2x + 7 + x) = 5x(3x + 7) = 15x2 + 35x

Hissələrin sahələrini ayrıca toplasaq da eyni çoxhədli alınır: 10x2 + 35x + 5x2 = 15x2 + 35x. Formula bir dəfə yazılır, sonra istənilən x üçün hesablanır.

x = 13 olanda sahənin eni 65 m, uzunluğu 46 m olur:

x = 13 olanda hissələrin sahələri

Yoxlama: 65 · 46 = 2990 m2 — düzbucaqlının eni ilə uzunluğunun hasili də eyni cavabı verir.

9 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan 5(3w − 2) hasilini tap. Cavab variantları 15w − 2 15w − 10 15w + 10 8w + 3 5 hər iki həddə vurulub, işarə də yerindədir. 5‑i hər həddə vur və işarəni saxla: 5 · (−2) = −10. Həllə bax 5 · 3w = 15w, 5 · (−2) = −10, deməli 15w − 10. «15w − 2» — ikinci hədd vurulmayıb; «15w + 10» — 5 · (−2) müsbət götürülüb; «8w + 3» — əmsallar vurulmayıb, toplanıb.
2. Asan r2(4r − 3) hasilini tap. Cavab variantları 4r3 − 3r2 4r3 + 3r2 4r3 − 3 5r3 − 2r2 Əla! r2 · 4r = 4r3, r2 · (−3) = −3r2. r2-ni ikinci həddə də vur; əmsallar vurulur, toplanmır. Həllə bax r2 · 4r = 4r3 (üstlər toplanır: 2 + 1 = 3), r2 · (−3) = −3r2. Cavab: 4r3 − 3r2. «4r3 − 3» — −3 vurulmayıb; «4r3 + 3r2» — işarə səhvdir; «5r3 − 2r2» — əmsallar toplanıb.
3. Orta −3v(2v2 − v + 4) hasilini tap. Cavab variantları 6v3 − 3v2 + 12v −6v3 + 3v2 − 12v −6v3 + 3v2 + 4 −6v3 − 3v2 − 12v Düzdür! (−3v) · (−v) = +3v2. Hər hasilin işarəsini ayrıca yoxla: mənfi · mənfi = müsbət, mənfi · müsbət = mənfi. Həllə bax (−3v) · 2v2 = −6v3; (−3v) · (−v) = +3v2; (−3v) · 4 = −12v. Cavab: −6v3 + 3v2 − 12v. «−6v3 − 3v2 − 12v» — (−) · (−) mənfi götürülüb; «6v3 − 3v2 + 12v» — birhədlinin minusu itib; «−6v3 + 3v2 + 4» — 4 vurulmayıb.
4. Orta 2m(3m − 1) − m(m + 8) ifadəsini sadələşdir. Cavab variantları 5m2 − 2m + 8 5m2 + 6m 5m2 − 10m 7m2 − 10m Düzdür! İkinci hasilin hər iki həddi mənfi oldu. İkinci vuran −m‑dir: −m · m = −m2, −m · 8 = −8m. Həllə bax 6m2 − 2m − m2 − 8m = 5m2 − 10m. «5m2 + 6m» — −m · 8 müsbət götürülüb; «7m2 − 10m» — −m · m müsbət götürülüb; «5m2 − 2m + 8» — −m yalnız birinci həddə vurulub.
5. Çətin Tənliyi həll et: 3(4x − 5) − 4(2x − 7) = −15. Cavab variantları 1,75 −9,5 −0,5 −7 Düzdür! Yoxlama: 3 · (−33) − 4 · (−21) = −99 + 84 = −15. Əvvəl mötərizələri tam aç: −4 · (−7) = +28, sonra 13‑ü işarəsini dəyişərək keçir. Həllə bax 12x − 15 − 8x + 28 = −15; 4x + 13 = −15; 4x = −28; x = −7. «1,75» — −4 yalnız 2x‑ə vurulub; «−0,5» — 13 o biri tərəfə işarəsi dəyişmədən keçirilib; «−9,5» — 3 yalnız 4x‑ə vurulub.
6. Çətin y(4y − 5) − 2y(2y − 3) − y − 9 ifadəsini sadələşdir. Nə alınır? Cavab variantları −9 −6y − 12 −12y − 9 8y2 − 9 Əla! y‑li hədlərin hamısı silinir: ifadənin qiyməti y‑dən asılı deyil. Hasilləri tam aç: −2y · 2y = −4y2, −2y · (−3) = +6y, sonra oxşar hədləri topla. Həllə bax 4y2 − 5y − 4y2 + 6y − y − 9 = −9: 4y2 − 4y2 = 0 və −5y + 6y − y = 0. «−12y − 9» — −2y · (−3) mənfi götürülüb; «8y2 − 9» — −2y · 2y müsbət götürülüb; «−6y − 12» — −2y yalnız birinci həddə vurulub.

Xülasə

Yadda qalanlar

• a(b + c + d) = ab + ac + adBirhədli çoxhədlinin hər həddinə vurulur; nəticə çoxhədlidir.
• (−) · (−) = +Hər hasilin işarəsini ayrıca tap; mənfi birhədli bütün işarələri dəyişir.
• Aç → islah etİfadədə və tənlikdə əvvəl mötərizələri aç, sonra oxşar hədləri topla.

Növbəti mövzu: 2.25 Çoxhədlinin çoxhədliyə vurulması

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 7‑ci sinif», Bölmə 4 · 6 «Birhədlinin çoxhədliyə vurulması», çap səh. 96–98; «…» işarəsi ilə verilən sitatlar oradandır. Nümunələrdəki və suallardakı ifadələr, ədədlər bu dərs üçün yeni seçilib; dərslikdəki tapşırıqlar təkrarlanmır.