Düz xətlərin paralellik əlamətləri

• 2.17
• 7-ci sinif
• Həndəsə

Düz xətlərin paralellik əlamətləri

İki düz xəttin heç vaxt kəsişməyəcəyini necə bilək? Onları sonsuzadək uzatmaq olmur. Buna ehtiyac da yoxdur: üçüncü düz xətlə əmələ gələn bir cüt bucağı müqayisə etmək kifayətdir.

Bu dərsdə

• paralel düz xətlərin kəsənlə əmələ gətirdiyi beş cüt bucağın xassəsini öyrənəcək və bir bucaqdan qalanlarını tapacaqsan;
• xassəni əlamətdən ayıracaq, iki düz xəttin paralel olduğunu düzgün cütlə əsaslandıracaqsan;
• bucaqlar ifadə ilə veriləndə tənlik quracaq, qırıq xətt düsturlarını köməkçi paralel xətlə izah edəcəksən.

• iti bucaq α
• kor bucaq 180° − α
• a ∥ b

Paralel xətləri üçbucaqlı xətkeşlə çəkmək

Başla Yenidən Yenidən

1. Xətkeşi c xətti boyunca qoy, üçbucaqlı xətkeşin 60°-lik küncünü ona söykə və üst kənarla a xəttini çək.
2. Üçbucağı xətkeş boyunca aşağı sürüşdür: o dönmür, bucaq 60° qalır.
3. Eyni kənarla b xəttini çək: ∠3 = ∠7 = 60°. Bunlar uyğun bucaqlardır, deməli a ∥ b.

1. b-ni döndər
2. Beş xassə
3. Əlamətlər
4. Hesabla
5. Qırıq xətt
6. Diqqət
7. Həyatda
8. Özünü yoxla
9. Yekun

1 · Kəşf et

b-ni döndər: nə vaxt kəsişmirlər?

2.16-dan bilirsən: iki düz xətti üçüncü düz xətt — kəsən — kəsəndə səkkiz bucaq alınır. Burada a və c sabitdir, ∠3 = 60°. b düz xəttini B nöqtəsi ətrafında döndər və ∠7-yə bax.

∠7 neçə dərəcədir?

35° 60° 85°

b düz xəttini döndərəndə

Şəkil 1b-ni döndər∠3 = 60°

∠7 = 35° ≠ 60°. b sağa doğru aşağı enir, solda isə a-ya yaxınlaşır və onu K nöqtəsində kəsir.

∠7 = ∠3 = 60°. b a ilə eyni istiqamətdədir: nə sağda, nə solda yaxınlaşmırlar. a ∥ b.

∠7 = 85° ≠ 60°. b sağa doğru yuxarı qalxır və a-nı sağda, K nöqtəsində kəsir.

∠3 və ∠7 uyğun bucaqlardır: hər biri öz kəsişməsində eyni yerdədir (aşağı-sağ). Bərabərdirlərsə, xətlər kəsişmir; bərabər deyilsə, hansısa tərəfdə kəsişir.

Yadda sal: nömrələr (2.16)

c yuxarı soldan aşağı sağa gedir. a ilə kəsişmədə: 1 yuxarı-sol, 2 yuxarı-sağ, 3 aşağı-sağ, 4 aşağı-sol. b ilə kəsişmədə eyni qaydada 5, 6, 7, 8.

Yadda sal: beş cüt

• uyğun: 1 və 5, 2 və 6, 4 və 8, 3 və 7
• daxili çarpaz: 4 və 6, 3 və 5
• xarici çarpaz: 1 və 7, 2 və 8
• daxili birtərəfli: 4 və 5, 3 və 6
• xarici birtərəfli: 1 və 8, 2 və 7

2 · Qayda

Paralel xətlərin beş xassəsi

İndi a ∥ b verilib. Kəsən c yenə səkkiz bucaq yaradır. Cütü seç və şəklə bax: rənglər bərabər və ya cəmi 180° olan bucaqları göstərir.

Cütü seç

Uyğun Daxili çarpaz Xarici çarpaz Daxili birtərəfli Xarici birtərəfli

Paralel a və b, kəsən c: səkkiz bucaq

Şəkil 2a ∥ b, c kəsəndirα = 55°

Uyğun bucaqlar konqruyentdir: ∠1 ≅ ∠5, ∠2 ≅ ∠6, ∠4 ≅ ∠8, ∠3 ≅ ∠7. Burada ∠1 = ∠5 = ∠3 = ∠7 = 55°, ∠2 = ∠6 = ∠4 = ∠8 = 125°.

Daxili çarpaz bucaqlar konqruyentdir: ∠4 ≅ ∠6, ∠3 ≅ ∠5. Hər ikisi a ilə b arasındadır, c-nin müxtəlif tərəfindədir: ∠4 = ∠6 = 125°, ∠3 = ∠5 = 55°.

Xarici çarpaz bucaqlar konqruyentdir: ∠1 ≅ ∠7, ∠2 ≅ ∠8. Zolaqdan kənarda, c-nin müxtəlif tərəfindədirlər: ∠1 = ∠7 = 55°, ∠2 = ∠8 = 125°.

Daxili birtərəfli bucaqların cəmi 180°-dir: ∠4 + ∠5 = 180°, ∠3 + ∠6 = 180°. Biri mavi, biri narıncı: 125° + 55° = 180°.

Xarici birtərəfli bucaqların cəmi 180°-dir: ∠1 + ∠8 = 180°, ∠2 + ∠7 = 180°. Yenə biri mavi, biri narıncı: 55° + 125° = 180°.

İti bucaqlar (1, 3, 5, 7) mavi, kor bucaqlar (2, 4, 6, 8) narıncıdır. Eyni rəngli cüt bərabərdir, müxtəlif rəngli cütün cəmi 180°-dir.

Yadda saxla

İki paralel düz xətti üçüncü düz xətt kəsəndə:

çarpaz və uyğun bucaqlar: ≅ birtərəfli bucaqlar: cəmi 180°

a ∥ b, c kəsəndir

Bir bucaq — səkkiz bucaq

α və 180° − α

∠1 = 55° bilinirsə: ∠1 = ∠3 = ∠5 = ∠7 = 55°, ∠2 = ∠4 = ∠6 = ∠8 = 180° − 55° = 125°.

Kəsən perpendikulyardırsa

c ⊥ a və a ∥ b olarsa, səkkiz bucağın hamısı 90°-dir: α = 180° − α = 90°.

Niyə? Uyğun bucaqlardan qalan dörd xassəyə

Uyğun bucaqların xassəsindən qalan dördü 6-cı sinifdən bildiyin iki faktla alınır: qarşılıqlı bucaqlar bərabərdir, qonşu bucaqların cəmi 180°-dir.

Daxili çarpaz: ∠4 = ∠2 (qarşılıqlı), ∠2 = ∠6 (uyğun), deməli ∠4 = ∠6.

Daxili birtərəfli: ∠5 = ∠1 (uyğun), ∠4 + ∠1 = 180° (qonşu), deməli ∠4 + ∠5 = 180°.

Xarici cütlər də eyni yolla yoxlanılır: məsələn, ∠7 = ∠3 (uyğun) = ∠1 (qarşılıqlı).

3 · Qayda

Tərs təklif: paralellik əlamətləri

Bölmənin əvvəlində dərslik deyir: «Tərs teorem hər hansı teoremin şərti ilə hökmünün yerini dəyişməklə alınır.» Xassədə şərt «a ∥ b»-dir, hökm isə bucaqlar haqqındadır. Yerlərini dəyişəndə əlamət alınır: bucaqlara baxıb paralelliyi sübut edirik.

Xassə

şərt: a ∥ b

a ∥ b ⇒ ∠1 ≅ ∠5

Paralel olduğunu bilirik — bucaqları tapırıq.

Əlamət (tərs təklif)

şərt: ∠1 ≅ ∠5

∠1 ≅ ∠5 ⇒ a ∥ b

Bucaqları bilirik — paralel olduğunu sübut edirik.

Paralellik əlamətləri

İki düz xətti üçüncü düz xətt kəsəndə

• uyğun bucaqlar konqruyentdirsə,
• və ya daxili çarpaz bucaqlar konqruyentdirsə,
• və ya xarici çarpaz bucaqlar konqruyentdirsə,
• və ya daxili birtərəfli bucaqların cəmi 180°-dirsə,
• və ya xarici birtərəfli bucaqların cəmi 180°-dirsə,

onda bu düz xətlər paraleldir.

bir cüt ödəyir ⇒ a ∥ b

Bir cüt kifayətdir

Bir cüt şərti ödəyirsə, qonşu və qarşılıqlı bucaqlar qalan cütləri də ödədir. Ona görə yoxlamaq üçün bir cüt seçmək bəs edir.

Eyni xəttə perpendikulyar iki xətt

a ⊥ c, b ⊥ c ⇒ a ∥ b

Uyğun bucaqlar 90° və 90°-dir — bərabərdir (dərslik, çalışma 20).

Eyni xəttə paralel iki xətt

m ∥ a, a ∥ b ⇒ m ∥ b

Üçünü də kəsən düz xətt çək: uyğun bucaqlar m və a-da bərabərdir, a və b-də bərabərdir, deməli m və b-də də bərabərdir.

4 · Hesabla

Əvvəl cütün adı, sonra xassə

Hər məsələdə ilk sual eynidir: bu iki bucaq hansı cütdür? Ad bilinəndə qayda da bilinir: bərabərdir, yoxsa cəmi 180°-dir.

Nümunə 1Xassə: bir bucaqdan üçünə

a ∥ b, c kəsəndir və ∠7 = 41°. ∠1, ∠4 və ∠6-nı tapın.

Nümunə 1: ∠7 = 41°

Şəkil 3∠7 verilibα = 41°

1. ∠1 və ∠7 xarici çarpaz bucaqlardır: ∠1 = ∠7 = 41°.
2. ∠6 və ∠7 b üzərində qonşu bucaqlardır: ∠6 = 180° − 41° = 139°.
3. ∠4 və ∠6 daxili çarpaz bucaqlardır: ∠4 = ∠6 = 139°. ∠1 = 41°, ∠4 = ∠6 = 139°

Nümunə 2Əlamət: paraleldirmi?

c düz xətti a və b-ni kəsir: ∠3 = 68°, ∠8 = 109°. a və b paraleldirmi?

Nümunə 2: ∠3 = 68°, ∠8 = 109°

Şəkil 4Paralel olduğu hələ məlum deyil

1. Cütün adı: ∠3 a-da aşağı-sağda, ∠8 b-də aşağı-soldadır. Bu, beş cütdən heç biri deyil — əvvəlcə cütə çevirək.
2. ∠6 və ∠8 qarşılıqlı bucaqlardır: ∠6 = ∠8 = 109°. ∠3 və ∠6 isə daxili birtərəfli bucaqlardır.
3. Əlamət cəm tələb edir: 68° + 109° = 177° ≠ 180°. a ∥ b olsaydı, xassəyə görə cəm 180° olardı, deməli a və b kəsişir. paralel deyil

∠8 = 112° olsaydı: ∠3 + ∠6 = 68° + 112° = 180° və əlamətə görə a ∥ b olardı.

Nümunə 3Cəbr: fərq verilib

a ∥ b, c kəsəndir. ∠6 ∠1-dən 50° böyükdür. ∠1 və ∠6-nı tapın.

Nümunə 3: ∠6 ∠1-dən 50° böyükdür

Şəkil 5∠1 və ∠6 — körpü ∠2

1. ∠1 və ∠6 adlı cüt deyil. Körpü: ∠2 və ∠6 uyğun bucaqlardır, ∠2 = ∠6; ∠1 və ∠2 qonşudur, ∠1 + ∠2 = 180°. Deməli ∠1 + ∠6 = 180°.
2. ∠1 = x desək, ∠6 = x + 50°: x + x + 50 = 180, 2x = 130, x = 65.
3. ∠1 = 65°, ∠6 = 65° + 50° = 115°. Yoxla: 65° + 115° = 180°. ∠1 = 65°, ∠6 = 115°

5 · Qayda

Qırıq xətt: köməkçi paralel xətt

Dərslik «Yadda saxlayın» bölməsində paralel xətlər arasında sınan xətt üçün düsturlar verir. Onları əzbərləmək lazım deyil: sınma nöqtəsindən paralel xətt çəksən, hər şey çarpaz bucaqlara gətirilir.

Qırıq xətt: x = y + z

Şəkil 6Sınma nöqtəsi xətlərin arasındax = y + z

Başla Yenidən Yenidən

1. a ∥ b. A-da y bucağı, B-də z bucağı; sınma nöqtəsindəki x = ∠AMB-ni y və z ilə ifadə edək.
2. M-dən a-ya paralel m xəttini çək. m ∥ a və a ∥ b, deməli m ∥ b.
3. AM kəsəndir və a ∥ m: x-in yuxarı hissəsi y ilə daxili çarpazdır — o da y-dir.
4. BM kəsəndir və b ∥ m: aşağı hissəsi z ilə daxili çarpazdır — z. Deməli x = y + z.

Yadda saxla · a ∥ b

Dərsliyin üç düsturu (Şəkil 45 a, b, c). Hamısı eyni üsulla — sınma nöqtəsindən paralel xətt çəkməklə — alınır.

x = y + z

x = y + znöqtə arada

x = y + z − 180°

x = y + z − 180°nöqtə zolaqdan kənarda

x = y − z

x = y − znöqtə hər iki ucdan o tərəfdə

Nümunə 4Sınma nöqtəsi hər iki ucdan o tərəfdə

a ∥ b. a şüası P-dən, b şüası Q-dan sağa gedir, sınma nöqtəsi M hər ikisindən aşağı-soldadır. Q-da y = 151° (b-nin altından), M-də z = 39°. P-dəki x bucağını tapın.

Nümunə 4: sınma nöqtəsi hər iki ucdan o tərəfdə

Şəkil 7Köməkçi xətt m ∥ ax = y − z

1. Q-da y-nin qonşusu: 180° − 151° = 29°.
2. M-dən m ∥ a çək (onda m ∥ b). QM kəsəndir: m ilə MQ arasındakı bucaq 29°-lik bucaqla daxili çarpazdır — 29°.
3. m ilə MP arasındakı bucaq: 29° + 39° = 68°. PM kəsəndir: P-də x-in qonşusu bununla daxili çarpazdır — 68°, deməli x = 180° − 68° = 112°.
4. Düsturla yoxla: x = y − z = 151° − 39° = 112°. x = 112°

6 · Diqqət

Üç tez-tez edilən səhv

«Cəmi 180° — deməli paraleldir»

Səhv

∠1 + ∠2 = 180° ⇒ a ∥ b

∠1 və ∠2 qonşudur: onların cəmi istənilən iki xətt üçün 180°-dir.

Düz

∠1 = 70°, ∠5 = 78°

Müxtəlif kəsişmələrdəki cütü yoxla: uyğun bucaqlar bərabər deyil, a və b paralel deyil.

Qonşu bucaqlar heç nə sübut etmir

Şəkil 8Qonşu bucaqlar heç nə sübut etmir

Adı olmayan cütü «uyğun» saymaq

Səhv

a ∥ b ⇒ ∠1 = ∠6

∠1 və ∠6 beş cütdən heç biri deyil: biri iti, o biri kor bucaqdır.

Düz

∠6 = ∠2, ∠1 + ∠2 = 180°

Körpü bucaqla adlı cütə keç: deməli ∠1 + ∠6 = 180° (Nümunə 3).

Düsturu sınma nöqtəsinin yerinə baxmadan seçmək

Səhv

x = 151° + 39° = 190°

Bu, açıq bucaqdan da böyükdür — P-dəki bucaq belə ola bilməz.

Düz

x = 151° − 39° = 112°

Sınma nöqtəsi hər iki ucdan o tərəfdədirsə, düstur x = y − z-dir (Şəkil 7). Şübhə olanda köməkçi xətt çək.

7 · Həyatda

Usta xətləri uzadıb yoxlamır

Paralel xətt çəkmək lazım olanda usta bir kəsən seçir və bütün bucaqları eyni edir. Dərsin əvvəlindəki üçbucaqlı xətkeş də məhz bunu edir.

Dayanacaq zolaqları

Şəkil 9Dayanacaq zolaqları

Səki kənarı kəsəndir. Hər zolaq onunla 65° bucaq əmələ gətirir — uyğun bucaqlar bərabərdir, zolaqlar paraleldir.

Kitab rəfi

Şəkil 10Kitab rəfi

Yan dirək kəsəndir. Hər rəf onunla 90° bucaq əmələ gətirir: eyni düz xəttə perpendikulyar xətlər paraleldir.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç: düz olanda lime, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Nömrələr Şəkil 2-dəki kimidir. Həllə də baxa bilərsən.

1. Asan c düz xətti a və b-ni kəsir. ∠4 və ∠6 necə adlanır? Sual 1 variantları uyğun bucaqlar daxili çarpaz bucaqlar daxili birtərəfli bucaqlar Düzdür! Hər ikisi a ilə b arasındadır, c-nin müxtəlif tərəfindədir. Bucaqların yerinə bax: zolağın içindədirmi, c-nin eyni tərəfindədirmi? Həllə bax ∠4 a-nın altında, c-nin solundadır; ∠6 b-nin üstündə, c-nin sağındadır. Hər ikisi daxilidir və c-nin müxtəlif tərəfindədir — daxili çarpaz bucaqlar.
2. Asan a ∥ b, ∠2 = 134°. ∠8 neçə dərəcədir? Sual 2 variantları 46° 134° 67° Düzdür! ∠2 və ∠8 xarici çarpaz bucaqlardır — bərabərdir. ∠2 və ∠8 hansı cütdür? Xarici çarpaz bucaqlar bərabərdir, onların cəmi 180° deyil. Həllə bax ∠2 a-nın üstündə, c-nin sağında; ∠8 b-nin altında, c-nin solundadır. Hər ikisi zolaqdan kənarda, c-nin müxtəlif tərəfindədir — xarici çarpaz: ∠8 = ∠2 = 134°.
3. Orta a ∥ b, ∠4 = 117°. ∠7 neçə dərəcədir? Sual 3 variantları 117° 63° 27° Düzdür! ∠8 = ∠4 = 117° (uyğun), ∠7 = 180° − 117° = 63° (qonşu). ∠4 və ∠7 adlı cüt deyil. Körpü bucaq tap: ∠4 ilə uyğun olan bucaq ∠7-yə qonşudur. Həllə bax ∠4 və ∠8 uyğun bucaqlardır: ∠8 = 117°. ∠7 və ∠8 b üzərində qonşudur: ∠7 = 180° − 117° = 63°. Başqa yol: ∠3 = 180° − 117° = 63° (qonşu), ∠7 = ∠3 (uyğun).
4. Orta c düz xətti a və b-ni kəsir: ∠2 = 131°, ∠5 = 49°. Hansı nəticə düzdür? Sual 4 variantları a ∥ b, çünki ∠4 = ∠2 = 131° və ∠4 + ∠5 = 180° a və b kəsişir, çünki ∠2 ≠ ∠5 Bilmək olmaz: ∠2 və ∠5 adlı cüt deyil Düzdür! Qarşılıqlı bucaq ∠2-ni adlı cütə çevirdi: daxili birtərəfli bucaqların cəmi 180°-dir. ∠2 və ∠5 adlı cüt deyil, amma ∠2-yə qarşılıqlı bucaq ∠5 ilə adlı cüt əmələ gətirir. Həllə bax ∠4 və ∠2 qarşılıqlıdır: ∠4 = 131°. ∠4 və ∠5 daxili birtərəfli bucaqlardır: 131° + 49° = 180°. Əlamətə görə a ∥ b. ∠2 və ∠5-in bərabər olması tələb olunmur — onlar adlı cüt deyil.
5. Çətin a ∥ b, ∠1 + ∠5 + ∠7 = 129°. ∠2 neçə dərəcədir? Sual 5 variantları 43° 51° 137° Düzdür! Hər iti bucaq 43°, ∠2 = 180° − 43° = 137°. ∠1, ∠5, ∠7 bərabərdir — əvvəl birini tap, sonra ∠2-nin onunla əlaqəsinə bax. Həllə bax ∠5 = ∠1 (uyğun), ∠7 = ∠1 (xarici çarpaz). Deməli 3 · ∠1 = 129°, ∠1 = 43°. ∠1 və ∠2 qonşudur: ∠2 = 180° − 43° = 137°.
6. Çətin a ∥ b, qırıq xətt Şəkil 7-dəki kimidir: sınma nöqtəsi hər iki ucdan o tərəfdədir. P-də x = 103°, Q-da y = 143°. M-dəki z bucağı neçə dərəcədir? Sual 6 variantları 40° 66° 140° Düzdür! x = y − z, ona görə z = y − x = 40°. Bu şəkil üçün düstur x = y − z-dir; x + y − 180° başqa şəklin (Şəkil 45 b) düsturudur. Həllə bax M-dən m ∥ a çəkək. m ilə MQ arasındakı bucaq y-nin qonşusudur: 180° − 143° = 37°. m ilə MP arasındakı bucaq x-in qonşusudur: 180° − 103° = 77°. z = 77° − 37° = 40°. Düsturla: z = y − x = 143° − 103° = 40°.

9 · Yekun

Üç nəticə

• Paralel xətlərdə iki qiymətSəkkiz bucaq ya α, ya da 180° − α-dır: çarpaz və uyğun cütlər bərabərdir, birtərəfli cütlərin cəmi 180°-dir.
• Əlamət — tərs təklifBir cüt üçün bərabərlik (və ya cəm 180°) ödənirsə, a ∥ b. Qonşu və qarşılıqlı bucaqlar heç nə sübut etmir.
• Köməkçi paralel xəttQırıq xətt üçün sınma nöqtəsindən paralel xətt çək: düstur sınma nöqtəsinin yerindən asılıdır (x = y + z, x = y + z − 180°, x = y − z).

Növbəti mövzu: 2.18 Uyğun tərəfləri paralel və ya perpendikulyar olan bucaqlar — bu dərsin xassələri ilə bucaqları müqayisə edəcəksən.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 7-ci sinif», səh. 66–71: paralel düz xətlərin beş xassəsi və onların tərsi (paralellik əlamətləri), çalışma 20 və «Yadda saxlayın» düsturları (Şəkil 45); səh. 64: bucaq cütlərinin adları; bölmənin girişi: tərs teorem. Səh. 67-də xarici birtərəfli bucaqların cəmi üçün yazılmış bərabərlikdə çap səhvi var; burada düzgün forması (∠1 + ∠8 = 180°, ∠2 + ∠7 = 180°) verilir. Xassələrin bir-birindən alınması və düsturların köməkçi xətlə izahı əsaslandırmadır, dərslikdə isbat kimi verilmir. Bütün ədədlər öyrətmə üçün seçilib; şəkillər hesablanmış bucaqlarla çəkilib.