Relslər və keçid: düz xətlərin paralellik əlamətləri

Mətn (transkript)

Təsəvvür et: geniş, düz bir çöl. Külək əsir, uzaqda çəkic səsi eşidilir — yeni dəmir yolu çəkilir. İki polad rels yan-yana uzanır və üfüqdə gözdən itir. Burada relsləri düz bir avtomobil yolu kəsib keçir. Keçiddə zənglər çalır. İndi bir sual. Bu keçiddə relslər arasındakı məsafə eynidir. Bəs on kilometr sonra? Relslər azca da olsa bir-birinə yaxınlaşırsa, haradasa birləşəcəklər. Üfüqə getmək olmaz, üstəlik, həndəsədə düz xətt sonsuzdur. Bəs yalnız keçiddə dayanıb, relslərin heç vaxt kəsişməyəcəyini bilmək olarmı? Bu dərsin mövzusu düz xətlərin paralellik əlamətləridir. Cavab üfüqdə yox, elə buradadır — keçiddəki bucaqlarda. Əvvəlcə şəkli ağılda çəkək. Bu yerə yuxarıdan, xəritədəki kimi baxırıq. Relslər soldan sağa uzanan iki düz xəttdir: yuxarı rels və aşağı rels. Yol isə aşağı soldan başlayır və maili şəkildə yuxarıya, sağa gedir. Keçən dərsdən bilirsən: belə düz xəttə kəsən deyilir. Kəsən iki kəsişmə yaradır: yuxarı relsdə və aşağı relsdə. Hər kəsişmədə dörd bucaq var, cəmi səkkiz. Bizim şəkildə hər kəsişmədə yuxarı-sağ və aşağı-sol bucaqlar iti, yuxarı-sol və aşağı-sağ bucaqlar isə kor bucaqlardır. Relslərin arasındakı zolaqda duran bucaqlar daxili, kənardakılar xarici bucaqlardır. Keçən dərsdə bir sual açıq qalmışdı: aşağı kəsişmə nə vaxt yuxarı kəsişmənin dəqiq surəti olur? Cavab paralel düz xətlərdir. Paralel düz xətlər bir müstəvidə yerləşən və nə qədər uzadılsa da, kəsişməyən düz xətlərdir. Tutaq ki, relslər paraleldir. Bu halda yol hər iki relsi eyni maillikdə kəsir, və aşağı kəsişmə yuxarının dəqiq surəti olur. Məsələn, yol relslə əlli dörd dərəcəlik iti bucaq əmələ gətirirsə, dörd iti bucağın hər biri əlli dörd, dörd kor bucağın hər biri isə yüz iyirmi altı dərəcədir. Səkkiz bucaq, amma cəmi iki qiymət. Dərslik bunu beş xassə kimi yazır. Birincisi: iki paralel düz xəttin kəsənlə əmələ gətirdiyi uyğun bucaqlar bərabərdir. Uyğun bucaqlar iki kəsişmədə eyni yeri tutur. İkincisi: daxili çarpaz bucaqlar bərabərdir. Üçüncüsü: xarici çarpaz bucaqlar da bərabərdir. Dərslik belə bucaqlara «konqruyent» deyir. Dördüncü və beşinci xassə birtərəfli bucaqlar haqqındadır. Paralel düz xətlərdə daxili birtərəfli bucaqların cəmi yüz səksən dərəcədir. Xarici birtərəfli bucaqların cəmi də yüz səksən dərəcədir. Diqqət et: ilk üç xassədə bucaqlar bərabərdir, bu ikisində isə cəmləri yüz səksəndir. Bunu yerlərlə yoxlayaq. Zolağın içində, kəsəndən solda iki bucaq var: yuxarı kəsişmənin aşağı-sol bucağı və aşağı kəsişmənin yuxarı-sol bucağı. Bunlar daxili birtərəfli bucaqlardır. Birincisi iti bucaqdır, əlli dörd dərəcə. İkincisi kor bucaqdır, yüz iyirmi altı dərəcə. Cəmi düz yüz səksən. Buradan sadə bir açar çıxır. Cütün iki bucağı eyni növdədirsə — ikisi də iti, ya ikisi də kor — onlar bərabərdir. Biri iti, biri kor bucaqdırsa, cəmləri yüz səksən dərəcədir. Xüsusi hal da var: yol relsləri düz bucaq altında kəsəndə səkkiz bucağın hamısı doxsan dərəcədir. Bəs xassələr niyə doğrudur? Hamısı birincidən çıxır. Məsələn, yuxarı kəsişmənin aşağı-sol bucağı qarşısındakı yuxarı-sağ bucağa bərabərdir, o da aşağı kəsişmənin yuxarı-sağ bucağına bərabərdir, çünki bunlar uyğundur. Deməli, daxili çarpaz bucaqlar da bərabərdir. İndi sualı tərsinə çevirək. «Yağış yağırsa, yer islanır» — bu doğrudur. Bəs «yer islaqdırsa, yağış yağıb»? Mütləq deyil: bəlkə bağı sulayıblar. Riyaziyyatda belə çevrilmiş təklifə tərs təklif deyilir: şərtlə hökmün yeri dəyişdirilir. Tərs təklif ayrıca yoxlanır. Xassə deyir: düz xətlər paraleldirsə, bucaqlar bərabərdir. Tərsi belədir: bucaqlar bərabərdirsə, düz xətlər paraleldir. Dərslik təsdiq edir ki, burada tərs təklif də doğrudur. Bu tərs təkliflərə paralellik əlamətləri deyilir. Beş əlamət beş xassənin güzgüsüdür. Uyğun, daxili çarpaz və ya xarici çarpaz bucaqlar bərabərdirsə, düz xətlər paraleldir. Daxili və ya xarici birtərəfli bucaqların cəmi yüz səksən dərəcədirsə, düz xətlər yenə paraleldir. Və bir cüt kifayətdir: bir əlamət ödənirsə, qalan cütlər də öz xassəsini ödəyir. İndi keçidə qayıdaq, əlimizdə bucaqölçən. Kəsənin sağında, hər relsin üstündə yolun relslə əmələ gətirdiyi bucağı ölçürük. Yuxarı relsdə əlli dörd dərəcə. Aşağı relsdə də əlli dörd dərəcə. Bunlar uyğun bucaqlardır və bərabərdir. Deməli, relslər paraleldir — bütün uzunluğu boyunca. Yalnız relslərin arasında ölçə bilsək də, olar. Kəsənin sağında, zolağın içində yuxarı relsin altındakı bucaq yüz iyirmi altı, aşağı relsin üstündəki isə əlli dörd dərəcədir. Bunlar daxili birtərəfli bucaqlardır, cəmi yüz səksən: relslər yenə paraleldir. Qonşu dəmir yolu xəttində isə ölçmələr başqadır: yenə kəsənin sağında, relslərin üstündə, yuxarıda əlli dörd, aşağıda əlli üç dərəcə. Paralel olsaydılar, bu uyğun bucaqlar bərabər olardı. Amma onlar bərabər deyil. Deməli, həmin relslər paralel deyil, və uzaqda harasa kəsişəcəklər. İndi iki tələ. Birinci tələ: «cəm yüz səksəndirsə, deməli, paraleldir» demək. Bir kəsişmədə yan-yana duran iki bucağın cəmi həmişə yüz səksəndir, çünki onlar qonşudur. Belə cəm o biri rels haqqında heç nə demir. Əlamətdə bucaqlar iki müxtəlif kəsişmədən götürülür. İkinci tələ: bərabərliklə cəmi qarışdırmaq. Açarı xatırla: iti ilə iti, kor ilə kor bərabərdir; iti ilə kor birlikdə yüz səksən edir. Bir də istiqaməti unutma: paralelliyi sübut etmək lazımdırsa, xassədən yox, əlamətdən istifadə et. Gəl, özünü yoxla. Yuxarı kəsişmədə yuxarı-sol bucaq yüz iyirmi altı dərəcədir. Aşağı kəsişmədə aşağı-sağ bucaq da yüz iyirmi altı dərəcədir. Bu cüt necə adlanır, və relslər paraleldirmi? Bir anlıq düşün. Hər iki bucaq zolaqdan kənardadır və kəsənin müxtəlif tərəflərindədir: biri solda, biri sağda. Deməli, bunlar xarici çarpaz bucaqlardır. Onlar bərabərdir, və bu, əlamətdir: relslər paraleldir. Açar da razıdır: hər iki bucaq kor bucaqdır. Son bir mənzərə. Paralel relslərin arasında piyada cığırı var. O, yuxarı relsdən sağa və aşağıya enir, relslərin arasında döngə edir və sola dönüb aşağı relsə çatır. Hər relsdə cığırın relsin sağa gedən hissəsi ilə əmələ gətirdiyi bucağa baxırıq. Döngədəki bucaq bu iki bucaqla necə bağlıdır? Döngə nöqtəsindən relslərə paralel köməkçi xətt çəkək. Dərsliyə görə, eyni düz xəttə paralel olan iki düz xətt bir-birinə də paraleldir. Köməkçi xətt döngədəki bucağı iki hissəyə bölür. Yuxarı hissə ilə yuxarı relsdəki bucaq daxili çarpaz bucaqlardır, ona görə bərabərdirlər. Aşağı hissə də aşağı relsdəki bucağa bərabərdir. Nəticə bu dərsin yeganə düsturudur: döngədəki bucaq relslərdəki iki bucağın cəminə bərabərdir. Döngə relslərdən kənarda olanda dərslik başqa düsturlar verir; onları oxu dərsində şəkillə izləmək rahatdır. İndi yenə keçiddəyik. Zənglər çalır, qatar yaxınlaşır. Üfüqə getmədən cavabı bilmək olarmı? Bəli. İki kəsişmədən bir cüt bucaq kifayətdir: uyğun bucaqlar bərabərdirsə, relslər sonsuza qədər paralel qalır. Bir dərəcə fərq varsa, haradasa kəsişəcəklər. Bu dərsdən bir fikri yadda saxla. Xassə paralellikdən bucaqlara gedir: düz xətlər paraleldirsə, çarpaz və uyğun bucaqlar bərabərdir, birtərəfli bucaqların cəmi yüz səksən dərəcədir. Əlamət əks istiqamətdə gedir: bir cüt bucaq bu şərti ödəyirsə, düz xətlər paraleldir. Şəkilləri öz gözünlə görmək üçün bu mövzunun oxu dərsinə keç. Növbəti dərsdə uyğun tərəfləri paralel və ya perpendikulyar olan bucaqlarla tanış olacağıq. Görüşənədək!