Dövri onluq kəsrin adi kəsrə çevrilməsi

• 2.8
• 7-ci sinif
• Rasional ədədlər

Dövri onluq kəsrin adi kəsrə çevrilməsi

0,363636… — vergüldən sonra rəqəmlər heç vaxt bitmir. Amma bu ədədi cəmi iki ədədlə, dəqiq yazmaq olar: 4 / 11. Sonsuz quyruğu necə «tutaq»?

Bu dərsdə

• saf dövri onluq kəsri adi kəsrə çevirəcəksən: surətdə dövr, məxrəcdə «9»-lar;
• qarışıq dövri onluq kəsri çevirəcəksən: surətdə fərq, məxrəcdə «9»-lar və «0»-lar;
• tam hissəni saxlayıb kəsri ixtisar edəcək, cavabı bölmə ilə yoxlayacaq və qaydanın niyə doğru olduğunu izah edəcəksən.

2,3(18) dövri kəsrinin adi kəsrə çevrilməsi

Başla Yenidən Yenidən

1. Kəşf et
2. Saf dövri kəsr
3. Niyə belədir?
4. Qarışıq dövri kəsr
5. Hesabla
6. Diqqət
7. Həyatda
8. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

9, 99, 999 — dövrün açarı

Yadına sal: vergüldən sonra təkrarlanan rəqəm və ya rəqəmlər qrupu dövr adlanır və mötərizədə yazılır: 0,363636… = 0,(36). 7,345(43) ədədində tam hissə 7, dövrə qədərki ədəd 345, dövr edən ədəd 43-dür.

Dövr vergüldən dərhal sonra başlayırsa, kəsr saf dövri (2,(5); 0,(37)), bir neçə rəqəmdən sonra başlayırsa, qarışıq dövri (8,7(5); 0,02(63)) onluq kəsrdir. İndi əks yola baxaq: dövri kəsrdən adi kəsrə. Açar üç bölmədədir — 1-i 9-a, 99-a və 999-a bölək.

Hansı dövri kəsri çevirək?

0,(7) 0,(36) 0,(135)

1-i 9-a, 99-a və 999-a bölmək

Boz bloklar 1-in bölünməsindən gəlir. Dövr bloku hər yerdə eyni ədədə vurulur, ona görə mavi zolaq da dövri qalır.

0,(7) = 7 · 0,(1). 0,(1) isə 1 : 9-dur, deməli 0,(7) = 7 / 9. Dövrdə 1 rəqəm — məxrəcdə bir «9».

0,(36) = 36 · 0,(01) və 0,(01) = 1 : 99. Deməli 0,(36) = 36 / 99 = 4 / 11. Dövrdə 2 rəqəm — məxrəcdə iki «9».

0,(135) = 135 · 0,(001) və 0,(001) = 1 : 999. Deməli 0,(135) = 135 / 999 = 5 / 37. Dövrdə 3 rəqəm — məxrəcdə üç «9».

Hər üç halda eyni şey baş verdi: surətə dövr yazıldı, məxrəcə isə dövrdəki rəqəmlərin sayı qədər «9». Bölmə ilə yoxlaya bilərsən: 4 : 11 = 0,3636…

2 · Saf dövri kəsr

Surətdə dövr, məxrəcdə «9»-lar

Yadda saxla

Saf dövri onluq kəsri adi kəsrə çevirdikdə tam hissə olduğu kimi qalır, kəsr hissənin məxrəcində dövr edən rəqəmlərin sayı qədər «9», surətdə isə dövr edən ədəd yazılır.

0,(8) = 8 / 9 1,(034) = 1 tam 34 / 999

1,(034) ədədinin hissələri

1,(034) = 1,034034…: dövrün hər rəqəmi məxrəcə bir «9» verir; tam hissə 1 kəsrin qarşısında qalır.

Bir rəqəmli dövr

0,(8) = 8 / 9

Dövr 8 — surətdə 8, bir rəqəm — məxrəcdə bir «9».

Diqqət: 0,(9)

0,(9) = 9 / 9 = 1

0,999… başqa yazılışda sadəcə 1-dir. Eyni səbəbdən 3,(9) = 4.

3 · Niyə belədir?

Sonsuz quyruğu çıxma ilə silirik

Dərslik soruşur: dövri onluq kəsrlər niyə rasional ədədlərdir, yəni niyə həmişə kəsr şəklində yazılır? Axtardığımız ədədi x ilə işarə edək və onu 10, 100, 1000-ə vuraq — vergül sağa sürüşür, quyruq isə dəyişmir.

Quyruqları çıxma ilə silmək

Başla Yenidən Yenidən

Vergüldən sonrakı sonsuz quyruqlar eyni olanda fərqdə yalnız tam ədəd qalır.

1. Saf: x = 0,(36). Dövrdə 2 rəqəm var, ona görə 100-ə vururuq: 100x = 36,(36). İndi vergül düz bir dövr qədər sürüşüb.
2. Alt-alta çıxırıq. Quyruqlar eynidir və silinir: 100x − x = 99x = 36, yəni x = 36 / 99. 99 = 100 − 1 — «9»-lar buradan gəlir.
3. Qarışıq: x = 0,12(3). 100x = 12,(3) — vergül dövrə qədərki iki rəqəmi keçdi; 1000x = 123,(3) — bir dövr də keçdi.
4. Çıxırıq: solda 1000x − 100x = 900x, sağda 123 − 12 = 111. Surətdəki çıxma və məxrəcdəki «9» + «00» buradan gəlir. 0,12(3) = 111 / 900 = 37 / 300

Hər dövri onluq kəsr bu yolla iki tam ədədin nisbətinə gəlir. Ona görə dövri onluq kəsrlər rasional ədədlərdir. Aşağıdakı qaydalar bu hesabın qısa yoludur.

4 · Qarışıq dövri kəsr

Surətdə fərq, məxrəcdə «9»-lar və «0»-lar

Yadda saxla

Qarışıq dövri onluq kəsri adi kəsrə çevirdikdə tam hissə kəsrin qarşısında olduğu kimi qalır, kəsr hissənin məxrəcində əvvəlcə dövr edən rəqəmlərin sayı qədər «9», sonra isə vergüldən dövrə qədərki rəqəmlərin sayı qədər «0» yazılır. Vergüldən sonrakı ədəddən dövrə qədərki ədəd çıxılır və alınan fərq kəsrin surətində yazılır.

0,12(3) = 123 − 12 / 900 = 111 / 900 = 37 / 300

0,12(3) ədədinin hissələri

Dərslikdəki kimi: dövrə qədərki rəqəmlərin sayı və məxrəcdəki «0»-ların sayı 2-dir, dövr edən rəqəmlərin sayı və «9»-ların sayı 1-dir.

Qısaca, hər dövri kəsr üçün eyni addımlar:

1. Ədədi hissələrə ayır: tam hissə, dövrə qədərki ədəd, dövr.
2. Surət: saf kəsrdə dövr; qarışıqda vergüldən sonrakı ədəd − dövrə qədərki ədəd.
3. Məxrəc: dövrün hər rəqəmi üçün «9», sonra dövrə qədərki hər rəqəm üçün «0».
4. Tam hissəni qarşıda saxla, kəsri ixtisar et; lazım olsa, düzgün olmayan kəsrə çevir.
5. Yoxla: surəti məxrəcə böl — eyni dövr alınmalıdır.

5 · Hesabla

Çevir, ixtisar et, yoxla

Nümunə 1Saf, ixtisar ilə

0,(45) ədədini adi kəsr şəklində yazın.

1. Dövr vergüldən dərhal sonra başlayır — saf kəsrdir. Dövr: 45, iki rəqəm.
2. Surətdə dövr, məxrəcdə iki «9»: 0,(45) = 45 / 99.
3. 45 və 99 9-a bölünür: 45 / 99 = 5 / 11. Yoxlama: 5 : 11 = 0,4545… 0,(45) = 5 / 11

Nümunə 2Tam hissəsi olan qarışıq kəsr

3,2(7) ədədini adi kəsr şəklində yazın.

1. Hissələr: tam hissə 3, dövrə qədərki ədəd 2 (bir rəqəm), dövr 7 (bir rəqəm).
2. Surət: vergüldən sonrakı ədəd 27, ondan 2 çıxırıq: 27 − 2 = 25. Məxrəc: bir «9», bir «0» — 90.
3. Tam hissə qarşıda qalır və ixtisar edirik: 3 tam 25 / 90 = 3 tam 5 / 18. Düzgün olmayan kəsr: 3 · 18 + 5 = 59. 3,2(7) = 3 tam 5 / 18 = 59 / 18

Nümunə 3Dövrə qədər «0» olanda

0,0(36) ədədini adi kəsr şəklində yazın.

1. Dövrə qədərki ədəd 0-dır — o da bir rəqəmdir və məxrəcə bir «0» verir. Dövr 36 — iki «9».
2. Surət: 036 − 0 = 36. Məxrəc: 990. 36 / 990 = 2 / 55 (18-ə ixtisar).
3. Yoxlama: 2 : 55 = 0,03636… = 0,0(36). Düzdür. 0,0(36) = 2 / 55

Başqa üsul — mərtəbə toplananlarının cəmi. Dərslik göstərir ki, ədədi hissələrin cəmi kimi də çevirmək olar:

3,1(7) = 3 + 0,1 + 0,0(7) = 3 + 1 / 10 + 7 / 90 = 3 + 9 / 90 + 7 / 90 = 3 tam 16 / 90 = 3 tam 8 / 45 = 143 / 45

Qayda ilə də eyni cavab: (17 − 1) / 90 = 16/90 = 8/45.

6 · Diqqət

Dövrü, tam hissəni və çıxmanı unutma

0,4 ilə 0,(4) ədəd oxunda

Dövrü atsan, başqa ədəd alırsan: 0,(4) = 4/9, 0,4 isə 4/10-dur.

Qarışığı saf kimi götürmək

0,2(1) = 21/99

21/99 = 0,2121… — bu, 0,(21)-dir, 0,2(1) yox.

Düzgün

0,2(1) = 21 − 2 / 90 = 19 / 90

Dövrə qədərki 2 çıxılır və məxrəcə «0» verir.

Tam hissəni surətə qatmaq

2,(3) = 23/9

23/9 = 2,555… — tam hissə surətə yazılmır.

Düzgün

2,(3) = 2 tam 3 / 9 = 2 tam 1 / 3 = 7 / 3

Tam hissə kəsrin qarşısında qalır.

Daha iki tələ: «0»-ları vergüldən sonrakı bütün rəqəmlərə görə yazmaq (1,24(3)-də məxrəc 900-dür, 9000 yox) və saf kəsrin məxrəcinə «0» əlavə etmək (2,(135)-də 999, 990 yox).

7 · Həyatda

Kalkulyator sonsuzluğu göstərə bilmir

Aysel 13 manatı 6 nəfər arasında bərabər bölmək istəyir. Kalkulyator 2,1666667 göstərir. Ekran dolub, son rəqəm isə yuvarlaqlaşdırılıb.

Kalkulyator ekranında 13 : 6

Ekranda 8 rəqəm yerləşir; 2,1666… davam edir, kalkulyator isə sonuncunu 7-yə yuvarlaqlaşdırır.

Ekrandakı 6-ların təkrarlandığını görürük: bu, 2,1(6) qarışıq dövri kəsridir. Çeviririk:

2,1(6) = 2 tam 16 − 1 / 90 = 2 tam 15 / 90 = 2 tam 1 / 6 = 13 / 6

Hər kəsin payı dəqiq 13/6 manatdır və 6 · 13/6 = 13 — heç bir qəpik itmir. Qəpiyə yuvarlaqlaşdırılmış 2,17 manatla isə 6 · 2,17 = 13,02 alınır: 2 qəpik artıq.

Ekrandan dəqiq kəsrə

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan 0,(7) hansı adi kəsrə bərabərdir? Cavab variantları 7 / 10 7 / 9 7 / 99 Düzdür! Bir rəqəmli dövr — bir «9». Yox. 7/10 = 0,7 — dövr yoxdur; 7/99 = 0,(07). Dövrdə neçə rəqəm varsa, o qədər «9». Həllə bax Saf kəsr, dövr 7 (bir rəqəm): surətdə 7, məxrəcdə 9. 0,(7) = 7/9.
2. Asan 0,(24) ədədini ixtisar olunmuş adi kəsr şəklində yaz. Cavab variantları 6 / 25 4 / 15 8 / 33 Əla! 24/99 = 8/33. Yox. 6/25 = 0,24 (dövr atılıb), 4/15 = 24/90 (saf kəsrdə «0» olmur). İki rəqəmli dövr — 99. Həllə bax 0,(24) = 24/99. 24 və 99 3-ə bölünür: 24/99 = 8/33. Yoxlama: 8 : 33 = 0,2424…
3. Orta 0,3(5) hansı kəsrə bərabərdir? Cavab variantları 16 / 45 7 / 18 32 / 99 Düzdür: (35 − 3)/90 = 32/90 = 16/45. Yox. 7/18 = 35/90 — dövrə qədərki 3 çıxılmayıb; 32/99 — məxrəcdə «0» əvəzinə «9» yazılıb. Həllə bax Qarışıq kəsr: dövrə qədər 3 (bir rəqəm), dövr 5 (bir rəqəm). Surət 35 − 3 = 32, məxrəc 90. 32/90 = 16/45. Yoxlama: 16 : 45 = 0,3555…
4. Orta 4,(12) ədədini düzgün olmayan kəsr şəklində yaz. Cavab variantları 412 / 99 136 / 33 4 tam 3 / 25 Əla! 4 4/33 = 136/33. Yox. 412/99 — tam hissə surətə qatılıb; 4 3/25 = 4,12 — dövr atılıb. Həllə bax Tam hissə qalır: 4,(12) = 4 12/99 = 4 4/33. Düzgün olmayan kəsr: 4 · 33 + 4 = 136, yəni 136/33.
5. Çətin 1,24(3) ədədini adi kəsrə çevir. Cavab variantları 1 tam 73 / 3000 1 tam 9 / 37 1 tam 73 / 300 Düzdür! Bir «9», iki «0». Yox. «0»-lar yalnız dövrə qədərki rəqəmlər üçündür (9000 yox, 900); 1 9/37 = 1 243/999 — kəsr saf kimi götürülüb. Həllə bax Tam hissə 1, dövrə qədər 24 (iki rəqəm), dövr 3 (bir rəqəm). Surət 243 − 24 = 219, məxrəc 900. 219/900 = 73/300. Cavab 1 73/300.
6. Çətin 0,(3) + 0,1(6) cəmini tap. Cavab variantları 49 / 99 1 / 2 23 / 45 Əla! 1/3 + 1/6 = 1/2. Yox. 49/99 — 0,1(6) saf kimi (16/99) götürülüb; 23/45 — 1 çıxılmayıb (16/90). Həllə bax 0,(3) = 3/9 = 1/3; 0,1(6) = (16 − 1)/90 = 15/90 = 1/6. Cəm: 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2. Onluq yazılışda da: 0,333… + 0,1666… = 0,4999… = 0,5, çünki 0,(9) = 1.

Xülasə

Yadda qalanlar

• 0,(45) = 45/99Saf: surətdə dövr, məxrəcdə dövr rəqəmləri qədər «9».
• 0,12(3) = (123 − 12)/900Qarışıq: surətdə fərq, məxrəcdə əvvəl «9»-lar, sonra dövrə qədərki rəqəmlər qədər «0».
• 2,(3) = 2 1/3Tam hissə qarşıda qalır; ixtisar et və bölmə ilə yoxla. Hər dövri kəsr rasional ədəddir.

Növbəti mövzu: 2.9 Rasional ədədlərin ədəd oxunda göstərilməsi

Mənbə: «Riyaziyyat» — 7-ci sinif üçün dərslik, Bölmə 2, «Dövri onluq kəsrin adi kəsrə çevrilməsi», səh. 38–39 (terminlər «Dövri onluq kəsrlər», səh. 35–36). Hər iki qayda, 0,(8), 1,(034), 0,12(3), 3,1(7) nümunələri və 0,(9) = 1 dərslikdəndir. «Niyə belədir?» izahı və 9, 99, 999 kəşfi dərsliyin «Nə üçün?» sualına bu dərsin cavabıdır; digər bütün ədədlər bu dərs üçün seçilib.