Üç tərəfinə görə üçbucağın qurulması

• 2.27
• 7-ci sinif
• Həndəsə

Üç tərəfinə görə üçbucağın qurulması

Sənə üç parça verilib: a, b və c. Heç nəyi ölçmədən, yalnız pərgar və xətkeşlə onlardan üçbucaq necə qurulur? Sirr iki qövsün kəsişməsindədir: üçüncü təpə hər iki qövsün üzərindədir.

Bu dərsdə

• pərgarla parçanı köçürüb, tərəfləri verilmiş üçbucağı beş addımla quracaqsan;
• bərabərtərəfli və bərabəryanlı üçbucağın qurulma qaydasını yazacaq, qurduğun üçbucağın növünü deyəcəksən;
• qövslərin kəsişib-kəsişmədiyinə baxıb üçbucağın alınıb-alınmadığını biləcək, müxtəlif vahidlərlə verilmiş tərəfləri bir vahidə gətirəcəksən.

• a = AB
• b = AC
• c = BC

Üç tərəfinə görə üçbucağın qurulması

Başla Yenidən Yenidən

1. Pərgar
2. Beş addım
3. Kəsişirmi?
4. Qur
5. Diqqət
6. Həyatda
7. Özünü yoxla
8. Yekun

1 · Kəşf et

Pərgar uzunluğu necə köçürür?

Qurmada xətkeşlə ölçmürük: xətkeş yalnız düz xətt çəkmək üçündür. Uzunluğu pərgar köçürür. Pərgarın qollarını b parçasının uclarına qoyub açırıq; indi qolların arasındakı məsafə b-dir.

Pərgarın iti ucunu A nöqtəsinə qoyub fırladaq. Karandaşlı uc A-dan həmişə eyni, b qədər uzaqda qalır və mərkəzi A, radiusu b olan çevrə çəkir.

Deməli, bu çevrənin hər nöqtəsi A-dan b qədər uzaqdadır, A-dan b qədər uzaqda olan hər nöqtə isə bu çevrənin üzərindədir.

Pərgar uzunluğu köçürür

Lövhə 1Pərgarın açılışı = radius1 xana = 0,5 sm

Göy nöqtələrin hamısı A-dan b qədər uzaqdadır. P nöqtəsi də.

Bunu üçbucağa tətbiq edək. AB tərəfi artıq çəkilib. Üçüncü təpə C iki şərti ödəməlidir: AC = b və BC = c. Birinci şərti ödəyən nöqtələr mərkəzi A, radiusu b olan çevrənin, ikincini ödəyənlər mərkəzi B, radiusu c olan çevrənin üzərindədir. Hər ikisini ödəyən nöqtə — iki çevrənin kəsişmə nöqtəsidir.

2 · Qayda

Beş addımlı qurma

Tərəfləri a, b və c parçaları olan üçbucaq quraq. Dərslikdə tərəflər belə adlanır: AB = a, AC = b, BC = c.

Alqoritm

1. İxtiyari m düz xətti çək və onun üzərində ixtiyari A nöqtəsi qeyd et.
2. Pərgarı a qədər aç, iti ucunu A-ya qoy. Radiusu a olan qövsün m ilə kəsişmə nöqtəsini B ilə işarə et: AB = a.
3. Pərgarı b qədər aç, iti ucunu A-ya qoy və radiusu b olan çevrə (qövs) çək.
4. Pərgarı c qədər aç, iti ucunu B-yə qoy və radiusu c olan çevrə (qövs) çək.
5. Kəsişmə nöqtəsini C ilə işarə et, AC və BC parçalarını çək, artıq xətləri sil. ABC — axtarılan üçbucaqdır.

Addımı seç və lövhəyə bax: hər addımda nəyin əlavə olunduğunu və nə üçün lazım olduğunu gör.

Addım

1 2 3 4 5

Qurmanın beş addımı

Lövhə 2Addım-addım1 xana = 0,5 sm

Addım 1. m düz xətti və A nöqtəsi — üçbucağın ilk təpəsi. Onları istənilən yerdə seçmək olar.

Addım 2. Radiusu a olan qövs m-i B-də kəsir. Ölçmədən AB = a = 8 sm alınır: ilk tərəf hazırdır.

Addım 3. Mərkəzi A, radiusu b olan qövs: üzərindəki hər nöqtə A-dan 7 sm uzaqdadır. C bu qövsün üzərində olacaq.

Addım 4. Mərkəzi B, radiusu c olan qövs: üzərindəki hər nöqtə B-dən 5 sm uzaqdadır. Pərgarın iti ucu indi B-dədir, A-da yox.

Addım 5. Qövslərin kəsişməsi C həm A-dan 7 sm, həm B-dən 5 sm uzaqdadır. AC və BC çəkilir, köməkçi qövslər silinir (solğun).

Diqqət: qövs kifayətdir

Bütöv çevrə lazım deyil. C-nin harada alınacağını təxmin edib, yalnız o yerdə qısa qövslər çəkmək kifayətdir.

Hər radiusun öz mərkəzi var

b → A, c → B

AC tərəfi A-dan, BC tərəfi B-dən çıxır, ona görə qövslər də o nöqtələrdən çəkilir.

Ölçü yox, köçürmə

Pərgar parçanın uzunluğunu olduğu kimi köçürür. Ədəd verilibsə (məsələn, 7 sm), pərgarı xətkeşin şkalası üzrə o qədər açırıq.

3 · Kəşf et

Qövslər həmişə kəsişirmi?

İndi AB = 9 sm, A-dan çəkilən qövsün radiusu 5 sm-dir. B-dən çəkilən qövsün radiusunu dəyiş və bax: C nöqtəsi alınırmı?

B-dən çəkilən qövsün radiusu c

3 sm 4 sm 6 sm

Qövslər həmişə kəsişirmi?

Lövhə 3AB = 9 sm, b = 5 sm1 xana = 0,5 sm

Kəsişmə yoxdur. Qövslər m üzərində bir-birinə çatmır: 5 + 3 = 8 sm, AB isə 9 sm-dir, arada 1 sm boşluq qalır. C nöqtəsi yoxdur — üçbucaq alınmır.

Toxunma — üçbucaq yoxdur. 5 + 4 = 9 sm = AB. Qövslərin yeganə ortaq nöqtəsi T m-in üzərindədir, AB parçasının içində. A, T, B bir düz xətt üzərinə düşür, «üçbucaq» parçaya çevrilir.

Kəsişmə var. 5 + 6 = 11 sm > 9 sm. Qövslər m-dən yuxarıda C nöqtəsində kəsişir: tərəfləri 9 sm, 5 sm və 6 sm olan ABC üçbucağı qurulur.

Hər seçimdə qövslərin harada bitdiyinə bax: A-dan çəkilən qövs m-i A-dan 5 sm, B-dən çəkilən qövs B-dən c qədər aralıda kəsir.

Yadda saxla

Üçbucaq yalnız qövslər m-dən kənarda kəsişəndə alınır. Qövslər çatmırsa və ya yalnız m üzərində toxunursa, verilmiş parçalardan üçbucaq qurmaq olmaz.

Bunun səbəbi: A-dan və B-dən çəkilən radiusların cəmi AB-dən böyük olmalıdır ki, qövslər bir-birinə çatsın. Bu şərti üç tərəfin hamısı üçün — üçbucaq bərabərsizliyi kimi — növbəti dərsdə (2.28) öyrənəcəksən. Burada qur və bax.

4 · Qur

Üç qurma, addım-addım

Üçbucaqlar tərəflərinə görə üç növdür: müxtəliftərəfli (üç tərəfi müxtəlif), bərabəryanlı (iki tərəfi bərabər) və bərabərtərəfli (üç tərəfi bərabər). Qurmada bərabər tərəflər bərabər radiuslar deməkdir.

Nümunə 1Bərabərtərəfli üçbucaq

Tərəfi 3,5 sm olan bərabərtərəfli DEF üçbucağını qurun və qurmanın alqoritmini yazın.

Bərabərtərəfli DEF üçbucağı

Lövhə 4Bir açılış, üç tərəf1 xana = 0,5 sm

1. m düz xəttini çək, üzərində D nöqtəsini qeyd et.
2. Pərgarı 3,5 sm aç. Mərkəzi D olan qövs m-i E-də kəsir: DE = 3,5 sm.
3. Pərgarın açılışını dəyişmədən mərkəzləri D və E olan iki qövs çək. Onların kəsişməsi F-dir.
4. DF və EF-i çək. DF = EF = DE = 3,5 sm: pərgar bir dəfə açıldı, üç tərəf bərabər alındı. DEF bərabərtərəflidir

Nümunə 2Bərabəryanlı üçbucaq

Oturacağı MN = 7 sm, yan tərəfləri 5 sm olan bərabəryanlı MNP üçbucağını qurun.

Bərabəryanlı MNP üçbucağı

Lövhə 5Radius — yan tərəf1 xana = 0,5 sm

1. m üzərində oturacağı ayır: pərgar 7 sm, mərkəz M, kəsişmə N. MN = 7 sm.
2. Pərgarı yan tərəf qədər — 5 sm aç. Mərkəzi M olan qövs çək.
3. Eyni açılışla mərkəzi N olan qövs çək. Kəsişmə nöqtəsi P-dir.
4. MP və NP-ni çək: MP = NP = 5 sm. İki ucdan eyni radius iki bərabər yan tərəf verir. MNP bərabəryanlıdır

Nümunə 3Vahidlər müxtəlifdir

Tərəfləri 0,55 dm, 340 / m və 48 mm olan üçbucaq qurun. Onun növünü deyin.

1. Pərgarı yalnız bir vahidlə, santimetrlə açırıq. Hər tərəfi sm-ə çevir: 1 dm = 10 sm, 1 m = 100 sm, 1 sm = 10 mm. 0,55 dm = 5,5 sm; 3/40 m = 300/40 sm = 7,5 sm; 48 mm = 4,8 sm.
2. Ən uzun tərəfi m üzərinə qoy: AB = 7,5 sm. Mərkəzi A olan qövsün radiusu 5,5 sm, mərkəzi B olanınkı 4,8 sm.
3. Qövslər m-dən yuxarıda kəsişir (5,5 + 4,8 = 10,3 > 7,5), C alınır. AC və BC-ni çək.
4. Üç tərəfin üçü də müxtəlifdir. Müxtəliftərəfli üçbucaq

Tərəfləri 7,5 sm, 5,5 sm və 4,8 sm olan üçbucaq

Lövhə 6Hamısı santimetrlə1 xana = 0,5 sm

5 · Diqqət

İki tez-tez edilən səhv

Tərəflərin adını qarışdırmaq

Səhv

a — A-nın qarşısındakı tərəf

Başqa kitablarda belə adlandırma olur, amma bu qurmada yox.

Düz

AB = a, AC = b, BC = c

a m üzərində A-dan ayrılır; b A-dan, c B-dən çəkilən radiusdur.

C-ni bir qövsdən götürmək

Səhv

C — b qövsünün istənilən nöqtəsi

X kimi nöqtədə yalnız AX = b ödənir; XB isə c-yə bərabər deyil.

Düz

C — iki qövsün kəsişməsi

Yalnız kəsişmə nöqtəsində eyni anda AC = b və BC = c olur.

C hər iki qövsün üzərində olmalıdır

Lövhə 7X yox, C1 xana = 0,5 sm

Hər iki nöqtə A-dan 7 sm uzaqdadır, amma B-dən yalnız C 5 sm uzaqdadır: XB təxminən 8,6 sm-dir.

6 · Həyatda

Dam niyə üçbucaq şəklində tikilir?

Qurmada gördük: üç tərəf verilibsə, üçüncü təpənin yeri iki qövslə tam müəyyən olunur. Deməli, üç tərəfi eyni olan üçbucağın forması da eynidir — onu «əymək» olmur.

Üçbucaq çərçivə və dördbucaqlı çərçivə

Lövhə 8Üç taxta və dörd taxta

Taxtaların uzunluğu dəyişmir. Üçbucaq çərçivə forma saxlayır, dördbucaqlı çərçivə isə itələyəndə yatır.

Dam tirləri, körpü və qüllə konstruksiyaları buna görə üçbucaqlardan yığılır: üç tir uclarından bərkidiləndə yük altında forma dəyişmir. Dördbucaqlı çərçivəni bərkitmək üçün ona diaqonal tir vurub iki üçbucağa bölürlər.

Dərslikdəki təcrübəni sən də et: vərəqdə eyni üç tərəfli üçbucaq qur, qayçı ilə kəs və masa yoldaşının üçbucağı ilə müqayisə et.

7 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç: düz olanda lime, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllə də baxa bilərsən.

1. Asan Qurmanın 2-ci addımında pərgarı a parçası qədər açıb iti ucunu A-ya qoyuruq. Bu addımda nə alınır? Sual 1 variantları B nöqtəsi: AB = a C nöqtəsi AC tərəfi Düzdür! Qövs m-i B-də kəsir və ilk tərəf AB = a alınır. C hələ yoxdur, AC isə b-dir. a qövsü m düz xəttini harada kəsir? Həllə bax Radiusu a olan qövs m-i B nöqtəsində kəsir, ona görə AB = a. C yalnız 5-ci addımda, iki qövsün kəsişməsində alınır.
2. Asan 4-cü addımda pərgar c qədər açılır. Onun iti ucu hansı nöqtəyə qoyulur? Sual 2 variantları A B C Düzdür! BC = c, ona görə c qövsünün mərkəzi B-dir. c hansı tərəfdir? O tərəf hansı təpədən çıxır? Həllə bax Bu qurmada BC = c. C nöqtəsi B-dən c qədər uzaqda olmalıdır, ona görə qövs mərkəzi B olmaqla çəkilir. C isə bu addımda hələ məlum deyil.
3. Orta m üzərində AB = 6 sm ayrılıb. Mərkəzi A olan qövsün radiusu 2 sm, mərkəzi B olanınkı 3 sm-dir. Nə alınır? Sual 3 variantları Üçbucaq alınır Qövslər m üzərində toxunur Qövslər çatmır, üçbucaq yoxdur Düzdür! 2 + 3 = 5 sm, AB-dən 1 sm qısadır. Qövslər m-i A-dan 2 sm, B-dən 3 sm aralıda kəsir. Onlar bir-birinə çatırmı? Həllə bax A-dan çəkilən qövs m-i A-dan 2 sm, B-dən çəkilən B-dən 3 sm aralıda kəsir. 2 + 3 = 5 < 6, arada 1 sm boşluq qalır (Lövhə 3, c = 3 sm halına bənzər). Toxunma yalnız cəm 6 sm olanda olardı.
4. Orta Tərəfləri 0,7 dm, 55 mm və 125 / m olan üçbucaq qurulur. 125 / m-lik tərəf üçün pərgar neçə santimetr açılmalıdır? Sual 4 variantları 0,4 sm 4 sm 25 sm Düzdür! 100 : 25 = 4 sm. 1 m neçə santimetrdir? Onu 25-ə böl. Həllə bax 1 m = 100 sm, ona görə 1/25 m = 100/25 sm = 4 sm. 0,4 sm 1 m-i 10 sm sayanda, 25 sm isə məxrəci uzunluq sayanda alınır.
5. Çətin Oturacağı 10 sm olan bərabəryanlı üçbucaq qurulur: oturacağın hər iki ucundan eyni radiuslu qövs çəkilir. Hansı radiusda qövslər m-dən yuxarıda kəsişir? Sual 5 variantları 4 sm 5 sm 6 sm Düzdür! 6 + 6 = 12 > 10, qövslər m-dən yuxarıda kəsişir. İki radiusun cəmini oturacaqla müqayisə et. Bərabər olanda nə olur? Həllə bax 4 sm: 4 + 4 = 8 < 10, qövslər çatmır. 5 sm: 5 + 5 = 10, qövslər oturacağın ortasında, m üzərində toxunur — üçbucaq yoxdur. 6 sm: 6 + 6 = 12 > 10, qövslər m-dən yuxarıda kəsişir.

8 · Yekun

Üç nəticə

• AB = a, AC = b, BC = ca m üzərində A-dan ayrılır; b-qövsü A-dan, c-qövsü B-dən çəkilir.
• C — iki qövsün kəsişməsiQövslər m-dən kənarda kəsişirsə, üçbucaq var; çatmırsa və ya m üzərində toxunursa, yoxdur.
• Bərabər tərəf — bərabər radiusBərabərtərəfli: bir açılış. Bərabəryanlı: oturacaq m-də, iki ucdan yan tərəf qədər qövs.

Növbəti mövzu: 2.28 Üçbucağın bucaqları və tərəfləri — qövslərin nə vaxt kəsişdiyini üçbucaq bərabərsizliyi ilə yoxlayacaqsan.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 7-ci sinif», Bölmə 5 «Üçbucaqlar»: bölmənin açılışı (üçbucağın növləri, dam sualı) və 1-ci dərs «Üç tərəfinə görə üçbucağın qurulması», səh. 113–114 — Praktik işin beş addımı, AB = a, AC = b, BC = c işarələri, «çevrə əvəzinə qövs kifayətdir» qeydi, bərabərtərəfli və bərabəryanlı üçbucağın qurulması (Şəkil 7), çalışmalar 1–4. Pərgarın açılışının çevrə kimi izahı, qövslərin kəsişmə, toxunma və boşluq halları və X nöqtəsi səhvi bu dərs üçün izah kimi əlavə olunub. Bütün ədədlər öyrətmək üçün seçilib; lövhələr miqyasla çəkilib və etiketlər ölçülərlə uyğundur.