Paraleloqramın xassələrinin tətbiqi

• 3.21
• 8-ci sinif
• Həndəsə

Paraleloqramın xassələrinin tətbiqi

10 sm-lik kağız zolağını xətkeşlə üç bərabər hissəyə bölmək çətindir: 10 : 3 = 3,33… sm. Dəftərin xətləri isə bunu bir hərəkətlə edir: paralel, bərabər aralı xətlər çəp qoyulmuş zolağı da bərabər hissələrə bölür. Niyə belədir? Cavab paraleloqramdadır.

Bu dərsdə

• Fales teoremini bucaqda və iki ixtiyari düz xətt üçün tətbiq edəcək, onu paraleloqramın xassələri ilə isbat edəcəksən;
• parçanı pərgar və xətkeşlə istənilən sayda bərabər hissəyə bölməyi və tanış qurmaların niyə düz olduğunu rombla izah etməyi öyrənəcəksən;
• çoxaddımlı məsələlərdə gizli paraleloqramı, rombu və 30°-li üçbucağı tapıb bərabərlikləri köçürəcəksən.

• paralel xətlər
• verilən bərabər parçalar
• alınan bərabər parçalar

Dəftər xətləri 10 sm-lik zolağı üç bərabər hissəyə bölür

Başla Yenidən Yenidən

1. Dəftərin xətləri paraleldir, aralarındakı məsafələr bərabərdir (sağda bir çərtik).
2. Zolağın A ucu 0-cı, B ucu 3-cü xətt üzərindədir.
3. Xətlər zolağı K və L nöqtələrində kəsir: AK = KL = LB ≈ 3,33 sm (iki çərtik).

1. Bərabərlik köçürmü?
2. Fales teoremi
3. İki düz xətt
4. Bərabər hissələr
5. Rombu gör
6. Hesabla
7. Diqqət
8. Həyatda
9. Özünü yoxla
10. Yekun

1 · Kəşf et

Bərabərlik o biri tərəfə keçirmi?

O bucağının a tərəfində üç bərabər parça var: A₁A₂ = A₂A₃ = A₃A₄ = 2,5 sm (mavi, bir çərtik). Uzunluqları bərabər olan parçalara dərslikdə konqruyent parçalar deyilir və belə yazılır: A₁A₂ ≅ A₂A₃. A nöqtələrindən paralel düz xətlər çəkilib (narıncı, ox işarəsi). b tərəfini fırlat və onun üzərindəki parçalara bax.

b tərəfinin bucağı

20° 45° 65°

Fales laboratoriyası: bucağın ikinci tərəfi fırlanır

Lövhə 1Fales bucağı1 sm = 24 vahid

∠O = 20°: B₁B₂ = B₂B₃ = B₃B₄ ≈ 2,3 sm. Parçalar 2,5 sm-dən qısadır, amma bir-birinə bərabərdir.

∠O = 45°: B₁B₂ = B₂B₃ = B₃B₄ ≈ 2,6 sm. Uzunluq dəyişdi, bərabərlik qaldı.

∠O = 65°: B₁B₂ = B₂B₃ = B₃B₄ ≈ 3,3 sm. Parçalar uzandı, yenə də üçü bərabərdir.

Uzunluq bucaqdan və paralellərin istiqamətindən asılıdır. Dəyişməyən odur ki, b üzərindəki parçalar bir-birinə bərabərdir (iki çərtik). Bu, təsadüf deyil: növbəti mərhələdə isbat edirik.

2 · Qayda

Fales teoremi və isbatı

Fales teoremi

Bucağın tərəflərini kəsən paralel düz xətlər bucağın bir tərəfi üzərində konqruyent parçalar ayırırsa, digər tərəf üzərində də konqruyent parçalar ayırır.

A₁A₂ ≅ A₂A₃ ⇒ B₁B₂ ≅ B₂B₃

Teorem qədim yunan alimi Fales Miletlinin adını daşıyır. İsbat üçün yalnız 3.19-dakı paraleloqram xassələri və 7-ci sinifdən tanış BTB əlaməti lazımdır. Əsas fikir: B₂ nöqtəsindən a tərəfinə paralel EF düz xəttini çəkək. Onda şəkildə iki paraleloqram və iki üçbucaq görünür.

İsbat: Təklif · Əsas

Fales teoreminin isbatı: iki paraleloqram və iki konqruyent üçbucaq

Lövhə 2EF köməkçi düz xəttidərslik, tapşırıq 1 a

Başla: əvvəl EF, sonra iki paraleloqram (mavi), bərabər EB₂ və B₂F, bərabər bucaqlar və nəhayət iki konqruyent üçbucaq (lime).

Başla Yenidən Yenidən

Eyni düşüncə istənilən sayda paralel üçün işləyir: hər qonşu iki parça cütü üçün EF-i yenidən çəkirik. Ona görə Lövhə 1-də dörd paralelin ayırdığı üç parça da bərabər idi.

3 · Qayda

Bucaq şərt deyil: istənilən iki düz xətt

İsbatın cədvəlinə yenidən bax: O təpəsi heç bir sətirdə işlənmədi. Deməli, bucağın tərəfləri əvəzinə istənilən iki düz xətt götürsək də, nəticə dəyişmir. Dərsliyin 1 b) sualının cavabı budur.

Yadda saxla

Paralel düz xətlər a düz xətti üzərində konqruyent parçalar ayırırsa, onları kəsən istənilən b düz xətti üzərində də konqruyent parçalar ayırır.

A₁A₂ = A₂A₃ = A₃A₄ ⇒ B₁B₂ = B₂B₃ = B₃B₄

Fales teoremi iki ixtiyari düz xətt üçün

Lövhə 3a və b kəsişmir

a və b düz xətləri lövhənin içində kəsişmir, amma b-dəki üç parça yenə bərabərdir (iki çərtik).

a ∥ b olarsa

Hər iki paralel arasında paraleloqram alınır və onun qarşı tərəfləri bərabərdir. Bu halda b-dəki parçalar a-dakılara da bərabərdir.

Üçbucaqda

ΔABC-də AB-nin orta nöqtəsi M-dən AC-yə paralel düz xətt BC-ni N-də kəsirsə, BN = NC. B təpəsində bucaq, MN və AC paralellər, BM = MA verilib.

Nə köçürülür?

Teorem parçaların bərabərliyini köçürür, uzunluğu yox. Lövhə 1-də (45°) 2,5 sm-lik parçalar b-də ≈ 2,6 sm oldu.

4 · Qurma

Parçanı n bərabər hissəyə bölmək

AB = 10 sm-dir. Xətkeşlə 3 və ya 7 bərabər hissəyə bölmək çətindir, çünki hissə tam ədəd deyil. Pərgar və xətkeşlə isə istənilən n üçün dəqiq bölmək olur:

1. A nöqtəsindən AB ilə iti bucaq əmələ gətirən köməkçi şüa çək.
2. Pərgarı istənilən açılışla aç və şüa üzərində A-dan başlayaraq n bərabər parça ayır: C₁, C₂, …, Cₙ (mavi, bir çərtik).
3. Sonuncu Cₙ nöqtəsini B ilə birləşdir.
4. Qalan C nöqtələrindən CₙB-yə paralel düz xətlər çək (üçbucaqlı xətkeşi xətkeş boyunca sürüşdür). Onlar AB-ni P nöqtələrində kəsir.

Hissələrin sayı n

n = 3 n = 5 n = 7

Parçanı n bərabər hissəyə bölmə qurması

Lövhə 4AB = 10 sm-in bölünməsi1 sm = 30 vahid

Başla Yenidən Yenidən

n = 3: pərgarın addımı 3 sm. AB-nin hissələri 10 : 3 ≈ 3,33 sm.

n = 5: pərgarın addımı 1,8 sm. AB-nin hissələri 10 : 5 = 2 sm.

n = 7: pərgarın addımı 1,3 sm. AB-nin hissələri 10 : 7 ≈ 1,43 sm.

Niyə düzdür? A bucağının bir tərəfində (şüada) bərabər parçalar var, paralel düz xətlər onları AB tərəfinə keçirir: Fales teoremi. Pərgarın addımı yalnız köməkçidir.

5 · Qurma

Tanış qurmalarda rombu gör

Pərgarla orta perpendikulyarı, tənböləni və perpendikulyarı qurmağı bilirsən. Bəs bu qurmalar niyə düzdür? Hər birində pərgarın açılışı dəyişmir, ona görə dörd bərabər parça — romb alınır. 3.20-dən: rombun diaqonalları perpendikulyardır, kəsişmə nöqtəsində yarıya bölünür və rombun bucaqlarını yarıya bölür.

Qurmanı seç

Orta nöqtə Tənbölən Perpendikulyar

Üç qurmada gizlənən romb

Lövhə 5Gizli rombbərabər radiuslar: bir çərtik

Orta perpendikulyar. A və B-dən eyni radiuslu qövslər C və D-də kəsişir: AC = CB = BD = DA, ACBD rombdur. Diaqonallar perpendikulyardır və yarıya bölünür: CD ⊥ AB, AO = OB. Deməli, CD AB-nin orta perpendikulyarı, O isə orta nöqtəsidir.

Tənbölən. O mərkəzli qövs tərəfləri P və Q-da kəsir. Pərgarın açılışını dəyişmədən P və Q-dan çəkilən qövslər K-da kəsişir: OP = PK = KQ = QO, OPKQ rombdur. Rombun diaqonalı bucağı yarıya bölür: ∠POK = ∠KOQ.

Nöqtədən perpendikulyar. C mərkəzli qövs l-i A və B-də kəsir. Eyni açılışla A və B-dən çəkilən qövslər D-də kəsişir: ACBD rombdur. Diaqonallar perpendikulyardır: CD ⊥ l.

Dərslikdə ACBD üçün ΔACB ≅ ΔBDA və ΔACD ≅ ΔBDC konqruyentliyi ilə isbat olunur; romb həmin isbatın qısa yoludur.

Median qurmaq

ΔABC-də AB-nin orta nöqtəsi D-ni orta perpendikulyarla qur və C ilə birləşdir: CD medianıdır.

Romb, kvadrat deyil

Qövslərin radiusu istənilən ola bilər, ona görə rombun diaqonalları bərabər olmaya da bilər: ümumi halda CD ≠ AB.

6 · Hesabla

Teoremdən çoxaddımlı məsələyə

Nümunə 1Fales və tənlik

Şəkildə A₁B₁ ∥ A₂B₂ ∥ A₃B₃ və A₁A₂ = A₂A₃. b tərəfində B₁B₂ = 2x + 1, B₂B₃ = 4x − 5 (sm). B₁B₃-ü tapın.

Nümunə 1: bucaqda Fales teoremi

Lövhə 6İfadələr b tərəfində

1. Fales teoremi: B₁B₂ = B₂B₃, yəni 2x + 1 = 4x − 5.
2. 2x = 6, x = 3.
3. B₁B₂ = 2 · 3 + 1 = 7, yoxlama: B₂B₃ = 4 · 3 − 5 = 7.
4. B₁B₃ = 7 + 7 = 14 sm. B₁B₃ = 14 sm

Çoxaddımlı məsələ planı

1. Şəklə köçür. Bərabər parçaları çərtiklə, paralelləri oxla, bucaqları qövslə işarələ.
2. Gizli fiquru axtar. İki cüt paralel tərəf — paraleloqram; hündürlük və 30° — düzbucaqlı üçbucaq; bərabər radiuslar — romb; orta nöqtə və paralel — Fales.
3. Bərabərliyi köçür. Fiqurun xassəsi ilə məlum uzunluğu və ya bucağı lazım olan yerə keçir.
4. Hesabla və yoxla. Cavabı şərtə qoy: perimetr, bucaqlar cəmi və s.

Nümunə 2Hündürlük və 30°

ABCD paraleloqramında ∠B = 150°, B-dən AD-yə çəkilmiş hündürlük BH = 5,5 sm, perimetr 48 sm. Paraleloqramın tərəflərini tapın.

Nümunə 2: paraleloqramda hündürlük və 30°

Lövhə 7Gizli 30°-li üçbucaq ABH

1. Qonşu bucaqların cəmi 180°: ∠A = 180° − 150° = 30°.
2. Gizli fiqur: ABH düzbucaqlı üçbucağı. 30°-li bucağın qarşısındakı katet hipotenuzun yarısıdır: AB = 2 · BH = 11 sm.
3. P = 2(AB + AD), deməli AB + AD = 24 və AD = 24 − 11 = 13 sm.
4. Yoxlama: 2(11 + 13) = 48. AB = CD = 11 sm, AD = BC = 13 sm

Nümunə 3Orta nöqtədən iki paralel

ABC üçbucağında AB = 12 sm, BC = 9 sm. AC-nin orta nöqtəsi M-dən MP ∥ AB (P BC üzərində) və MQ ∥ BC (Q AB üzərində) çəkilib. BQMP dördbucaqlısının perimetrini tapın.

Nümunə 3: üçbucaqda orta nöqtədən paralellər

Lövhə 8Paraleloqram BQMP

1. BQMP-də BQ ∥ PM və BP ∥ QM: paraleloqramdır.
2. C bucağında CM = MA və MP ∥ AB. Fales: CP = PB = 9 : 2 = 4,5 sm.
3. A bucağında AM = MC və MQ ∥ CB. Fales: AQ = QB = 12 : 2 = 6 sm.
4. P = 2(BQ + BP) = 2(6 + 4,5) = 21 sm. P(BQMP) = 21 sm

Cavab AB + BC-yə bərabərdir: paraleloqramın qarşı tərəfləri MQ = BP və MP = BQ olduğundan BQMP-nin perimetri AB-nin və BC-nin yarılarının iki qatıdır.

Nümunə 4Tənbölən qurmasının bucaqları

∠O = 64°-li bucağın tənböləni pərgarın açılışı dəyişmədən qurulub (Lövhə 5, «Tənbölən»). OPKQ dördbucaqlısının ∠POK və ∠OPK bucaqlarını tapın.

Nümunə 4: tənbölən qurmasındakı romb

Lövhə 9Romb OPKQ

1. OP = PK = KQ = QO: OPKQ rombdur.
2. Rombun diaqonalı bucağı yarıya bölür: ∠POK = 64° : 2 = 32°.
3. Romb paraleloqramdır, qonşu bucaqların cəmi 180°: ∠OPK = 180° − 64° = 116°. ∠POK = 32°, ∠OPK = 116°

7 · Diqqət

Dörd tez-tez edilən səhv

Uzunluğu köçürmək

Səhv

A₁A₂ = 2,5 ⇒ B₁B₂ = 2,5

Fales teoremi uzunluğu köçürmür: Lövhə 1-də 45°-də b-dəki parçalar ≈ 2,6 sm idi.

Düz

B₁B₂ = B₂B₃ = B₃B₄

b üzərindəki parçalar bir-birinə bərabərdir.

Pərgarın addımını hissə sanmaq

Səhv

hissə = 1,8 sm

1,8 sm şüa üzərindəki köməkçi addımdır (Lövhə 4, n = 5).

Düz

hissə = 10 : 5 = 2 sm

AB-nin hissəsi həmişə AB : n-dir, addım nə olursa olsun.

Rombu kvadrat sanmaq

Səhv

CD = AB

Bərabər diaqonallar kvadratın xassəsidir; qövslərin radiusu ixtiyaridir.

Düz

CD ⊥ AB, AO = OB

Rombun diaqonalları perpendikulyardır və yarıya bölünür.

Paralel olmayan xətlər

Səhv

istənilən kəsənlər

Xətlər paralel deyilsə, b-dəki parçalar bərabər olmur (Lövhə 10).

Düz

yalnız paralel xətlər

İsbatda paraleloqramlar və daxili çarpaz bucaqlar paralellikdən gəlir.

Paralel olmayan xətlər bərabər parça köçürmür

Lövhə 10Paralel deyil — bərabər deyil

a-da iki bərabər parça (2,5 sm), amma xətlər paralel deyil: b-də ≈ 3 sm və ≈ 4,4 sm.

8 · Həyatda

Fales emalatxanada və pilləkəndə

Dərsin əvvəlindəki dəftər xətləri yalnız bir nümunədir. Usta da, inşaatçı da paralel xətlərin bu xassəsindən istifadə edir.

Taxtanı xətkeşlə üç bərabər zolağa bölmək

Lövhə 11Taxtanı üç zolağa bölmək

Taxtanın eni 10 sm-dir. Xətkeşi çəp qoyub 0 və 12 bölgülərini kənarlara gətiririk. 4 və 8 bölgülərindən kənarlara paralel xətlər taxtanı ≈ 3,33 sm-lik üç bərabər zolağa bölür.

Pilləkən məhəccəri

Lövhə 12Pilləkən məhəccəri

Dirəklər şaquli, yəni bir-birinə paraleldir və aşağıda bərabər aralıdır (mavi). Ona görə çəp tutacaq da bərabər hissələrə bölünür (lime).

Harada Fales teoremi?

9 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç: düz olanda lime, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllə də baxa bilərsən.

1. Asan Bucağın tərəflərini kəsən paralel düz xətlər bir tərəfdə hər biri 5 sm olan A₁A₂ və A₂A₃ parçalarını ayırır. Digər tərəfdə B₁B₂ = 8 sm. B₂B₃ nəyə bərabərdir? Sual 1 variantları 5 sm 8 sm 13 sm Düzdür! Fales teoremi: B₂B₃ = B₁B₂ = 8 sm. Teorem digər tərəfdəki parçaları bir-birinə bərabər edir; 5 sm-lik uzunluq oraya keçmir. Həllə bax A₁A₂ = A₂A₃, deməli Fales teoreminə görə B₁B₂ = B₂B₃ = 8 sm. 5 sm digər tərəfin uzunluğudur, 13 sm isə iki müxtəlif parçanın cəmidir.
2. Asan Parçanı pərgar və xətkeşlə 6 bərabər hissəyə bölmək üçün köməkçi şüa üzərində neçə bərabər parça ayırmaq lazımdır? Sual 2 variantları 5 6 7 Düzdür! Şüadakı hər parça AB-nin bir hissəsinə uyğun gəlir. Bölgü nöqtələrini yox, hissələri say: şüadakı hər parça AB-də bir hissə verir. Həllə bax Şüada 6 bərabər parça (C₁, …, C₆) ayrılır, C₆ B ilə birləşdirilir, qalan 5 nöqtədən paralellər çəkilir. AB-də 5 bölgü nöqtəsi və 6 hissə alınır.
3. Orta AB parçasının uclarından eyni radiuslu qövslər çəkilib, onlar C və D nöqtələrində kəsişir. ACBD dördbucaqlısı hökmən nədir? Sual 3 variantları kvadrat romb düzbucaqlı Düzdür! Dörd tərəfin hər biri qövsün radiusuna bərabərdir. Tərəfləri müqayisə et: hamısı pərgarın açılışına bərabərdir. Bəs diaqonallar hökmən bərabərdirmi? Həllə bax AC = CB = BD = DA = r, deməli ACBD rombdur. Kvadrat yalnız CD = AB olanda alınar, bu isə radiusdan asılıdır; düzbucaqlının isə tərəfləri ümumiyyətlə bərabər deyil.
4. Orta Bucağın bir tərəfində paralel düz xətlər iki konqruyent parça ayırır. Digər tərəfdə uyğun parçalar y + 6 və 3y − 4 sm-dir. Digər tərəfdəki iki parçanın cəmini tapın. Sual 4 variantları 11 sm 22 sm 5 sm Düzdür! y = 5, hər parça 11 sm, cəmi 22 sm. y-i tapdıqdan sonra parçanın uzunluğunu hesabla və iki parçanı topla. Həllə bax Fales: y + 6 = 3y − 4, 2y = 10, y = 5. Hər parça 5 + 6 = 11 sm (yoxlama: 3 · 5 − 4 = 11). Cəmi 11 + 11 = 22 sm.
5. Çətin ABC üçbucağında AB-nin orta nöqtəsi M-dən BC-yə paralel düz xətt AC-ni N nöqtəsində kəsir. AC = 16 sm. NC-ni tapın. Sual 5 variantları 16 sm 8 sm 4 sm Düzdür! Fales: AN = NC = 16 : 2 = 8 sm. A bucağında AM = MB və MN ∥ BC. Fales teoremi AC-ni neçə bərabər hissəyə bölür? Həllə bax A təpəsində bucaq, MN və BC paralellərdir, AM = MB. Fales teoreminə görə AN = NC, deməli NC = 16 : 2 = 8 sm. 4 sm iki dəfə yarıya bölməkdən alınır.
6. Çətin ABCD paraleloqramında ∠ABC = 120°, BD diaqonalı AB tərəfinə perpendikulyardır, AB = 7 sm. Paraleloqramın perimetrini tapın. Sual 6 variantları 21 sm 28 sm 42 sm Düzdür! AD = 2 · AB = 14 sm, P = 2(7 + 14) = 42 sm. ∠A-nı tap, sonra ABD düzbucaqlı üçbucağında 30°-li bucağı axtar: AD hipotenuzdur. Həllə bax ∠A = 180° − 120° = 60°. ABD üçbucağında ∠ABD = 90°, deməli ∠ADB = 30°. AB 30°-li bucağın qarşısındakı katetdir: AD = 2 · 7 = 14 sm. P = 2(7 + 14) = 42 sm. 28 sm bütün tərəfləri 7 sm sanmaqdan (romb), 21 sm yalnız AB + AD-dən alınır.

10 · Yekun

Üç nəticə

• Fales teoremiParalel düz xətlər bir düz xətt üzərində bərabər parçalar ayırırsa, digərində də bərabər parçalar ayırır. İsbat: iki paraleloqram və BTB əlaməti.
• n bərabər hissəKöməkçi şüada n bərabər addım, sonuncu nöqtəni B ilə birləşdir və paralellər çək: AB-nin hissəsi AB : n-dir.
• Qurmalarda rombEyni radiuslu qövslər romb yaradır; diaqonalları perpendikulyardır, yarıya bölünür və bucaqları yarıya bölür.

Növbəti mövzu: 3.22 Üçbucağın orta xətti — orta nöqtədən çəkilən paralel parçanın uzunluğunu orada öyrənəcəksən.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 8-ci sinif», «Paraleloqramın xassələrinin tətbiqi», səh. 83–85: Fales teoreminin ifadəsi və isbat ideyası (tapşırıq 1 a), iki ixtiyari düz xətt sualı (1 b), parçanı konqruyent hissələrə bölmə addımları (3), perpendikulyar, orta perpendikulyar və median qurmaları (4, 6), Araşdırma. 30°-li düzbucaqlı üçbucaq qaydası «Pifaqor teoreminin tətbiqi» dərsindəndir. Bütün ədədlər öyrətmək üçün seçilib; lövhələrdəki nöqtələr, kəsişmələr və qövslər hesablanıb.