Dördbucaqlının daxili və xarici bucaqları

• 3.18
• 8-ci sinif
• Həndəsə

Dördbucaqlının daxili və xarici bucaqları

Velosipedçi dördbucaqlı cığırı bir dəfə dolanır və hər küncdə bir az dönür. Dörd dönmə cəmi nə qədərdir? Cığırın forması nə olursa olsun, cavab eynidir: 360° — tam bir dövrə.

Bu dərsdə

• dördbucaqlının daxili bucaqları cəminin niyə 360° olduğunu diaqonalla izah edəcəksən;
• xarici bucağı tanıyacaq, onların cəminin də 360° olduğunu göstərəcəksən;
• naməlum bucaqları ölçülərə, nisbətə və x-li ifadələrə görə tapacaqsan.

• daxili bucaq
• xarici bucaq
• nəticə

Dördbucaqlı cığır boyunca dörd dönmə

Başla Yenidən Yenidən

1. Küncləri kəs
2. Daxili bucaqlar
3. Xarici bucaqlar
4. Nəticələr
5. Hesabla
6. Diqqət
7. Həyatda
8. Özünü yoxla
9. Yekun

1 · Kəşf et

Dörd küncü bir nöqtəyə yığaq

Yadına sal (3.17): dördbucaqlının dörd təpəsi, dörd tərəfi və iki diaqonalı var; qabarıq dördbucaqlı hər tərəfinin düz xəttinin bir tərəfində yerləşir. Kağızdan dördbucaqlı kəs, dörd küncünü qopar və təpələrini bir nöqtəyə qoy. Fiquru seç, sonra Başla düyməsini bas.

Dördbucaqlını seç

Fiqur 1 Fiqur 2 Fiqur 3 (çökük)

Dördbucaqlının küncləri bir nöqtədə

Lövhə 1Dörd künc bir nöqtədə

Başla Yenidən Yenidən

86° + 101° + 79° + 94° = 360°. Dörd künc nöqtənin ətrafını boşluqsuz və üst-üstə düşmədən doldurur.

62° + 121° + 66° + 111° = 360°. Bucaqlar tamam başqadır, cəm yenə də tam dairədir.

34° + 41° + 52° + 233° = 360°. Çökük dördbucaqlıda D küncü 180°-dən böyükdür, amma dörd künc yenə tam dairə əmələ gətirir.

Tam dairə 360°-dir. Üç fiqurda da eyni cəm alındı. Bu təsadüfdür, yoxsa qayda? Növbəti mərhələdə isbat edirik.

2 · Qayda

Daxili bucaqların cəmi

Dördbucaqlının hər təpəsində iki qonşu tərəfin əmələ gətirdiyi bucaq onun daxili bucağıdır. Dərslikdə ABCD dördbucaqlısının daxili bucaqları α, β, γ, δ hərfləri ilə də işarə olunur: α = ∠A, β = ∠B, γ = ∠C, δ = ∠D.

Teorem

Qabarıq dördbucaqlının daxili bucaqlarının cəmi 360°-yə bərabərdir.

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°

İsbatı. AC diaqonalını çəkək. O, dördbucaqlını iki üçbucağa ayırır: ABC və ACD. A-dakı bucaq 1 və 2 hissələrinə, C-dəki bucaq 3 və 4 hissələrinə bölünür. Hər üçbucağın bucaqları cəmi 180°-dir:

∠1 + ∠B + ∠3 = 180°,∠2 + ∠D + ∠4 = 180°.

Toplasaq, ∠1 + ∠2 = ∠A və ∠3 + ∠4 = ∠C olduğundan, ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 2 · 180° = 360°.

Diaqonal dördbucaqlını iki üçbucağa bölür

Lövhə 2Diaqonal iki üçbucaq yaradır

Mavi üçbucağın bucaqları 1, B, 3; lime üçbucağın bucaqları 2, D, 4. Altı hissə birlikdə dördbucaqlının dörd bucağıdır.

Başla Yenidən Yenidən

Niyə məhz 360°?

Bir diaqonal həmişə dördbucaqlını iki üçbucağa bölür, hər üçbucaq isə 180° «gətirir».

Forma fərq etmir

Təpələri necə sürüşdürsən də, bucaqlardan biri böyüyəndə digərləri kiçilir. Cəm dəyişmir.

3 · Qayda

Xarici bucaq və onların cəmi

Tərif

Qabarıq dördbucaqlının hər hansı bucağına qonşu olan bucağa dördbucaqlının xarici bucağı deyilir. Onu tərəflərdən birini təpədən o yana uzatmaqla alırıq.

• Hər təpədə iki xarici bucaq çəkmək olar. Onlar qarşılıqlı bucaqlardır, ona görə bərabərdirlər. «Xarici bucaq» deyəndə hər təpədə onlardan birini götürürük.
• Daxili və xarici bucaq qonşudur, cəmləri açıq bucaqdır:

β + β′ = 180°

Xarici bucaqlar α′, β′, γ′, δ′ kimi işarə olunur.

B təpəsində daxili və xarici bucaqlar

Lövhə 3B təpəsində β və iki β′

AB-nin uzantısı BC ilə, CB-nin uzantısı isə BA ilə bir β′ əmələ gətirir. İki β′ qarşılıqlı bucaqlardır, ona görə bərabərdir.

Teorem

Qabarıq dördbucaqlının xarici bucaqlarının (hər təpədə bir) cəmi 360°-yə bərabərdir.

α′ + β′ + γ′ + δ′ = 360°

İsbatı. Hər təpədə daxili və xarici bucaqların cəmi 180°-dir: α + α′ = 180°, β + β′ = 180°, γ + γ′ = 180°, δ + δ′ = 180°. Bu dörd bərabərliyi toplayaq:

(α + β + γ + δ) + (α′ + β′ + γ′ + δ′) = 4 · 180° = 720°.

Daxili bucaqların cəmi 360° olduğundan α′ + β′ + γ′ + δ′ = 720° − 360° = 360°.

Velosipedçinin dönmələri

Dərsin əvvəlindəki velosipedçi hər küncdə məhz xarici bucaq qədər dönür: 107°, 53°, 86°, 114°. Dövrənin sonunda yenə əvvəlki istiqamətə baxır, deməli tam bir dövrə dönüb: 107° + 53° + 86° + 114° = 360°.

Daxili böyük — xarici kiçik

Daxili bucaq kor olan təpədə xarici bucaq iti olur və tərsinə; daxili bucaq 90° olanda xarici də 90°-dir.

4 · Nəticələr

360° nəyi qadağan edir?

Cəm həmişə 360° olduğuna görə dördbucaqlının bucaqları istədiyimiz kimi ola bilməz.

Ən çoxu üç kor bucaq

Dörd bucağın hər biri 90°-dən böyük olsaydı, cəm 4 · 90° = 360°-dən böyük olardı. Üç kor bucaq isə ola bilər: 102° + 106° + 111° = 319°, dördüncü bucaq 360° − 319° = 41°.

Heç olmasa biri ≥ 90°

Dörd bucağın hamısı 90°-dən kiçik olsaydı, cəm 360°-dən kiçik olardı. Deməli, dördü də iti bucaq ola bilməz.

Dördü də düz bucaq

Bu mümkündür: 4 · 90° = 360°. Belə dördbucaqlıları növbəti mövzularda öyrənəcəksən.

Çökük dördbucaqlı

Qabarıq dördbucaqlıda hər daxili bucaq 180°-dən kiçikdir. Qabarıq olmayan (çökük) dördbucaqlının bir daxili bucağı isə 180°-dən böyük olur. İsbatdakı fikir burada da işləyir, ancaq diaqonalı düzgün seçmək lazımdır. Diaqonalı seç:

Hansı diaqonal?

BD AC

Çökük dördbucaqlıda iki diaqonal

Lövhə 4Çökük dördbucaqlıda diaqonal

Bu, Lövhə 1-dəki Fiqur 3-dür: ∠A = 34°, ∠B = 41°, ∠C = 52°, ∠D = 233°.

BD içəridədir. O, fiquru ABD və CBD üçbucaqlarına bölür, 233° iki hissəyə ayrılır. İki üçbucağın bucaqları birlikdə dördbucaqlının bucaqlarıdır: 34° + 41° + 52° + 233° = 2 · 180° = 360°.

AC xaricdədir. ABC üçbucağı (qırmızı) dördbucaqlıdan böyükdür və onu iki hissəyə bölmür. Diaqonal 180°-dən böyük bucağın təpəsindən çəkilməlidir.

Nəticə: çökük dördbucaqlıda da daxili bucaqların cəmi 360°-dir.

5 · Hesabla

Naməlum bucağı tapırıq

Nümunə 1Üç bucaq məlumdur

Qabarıq ABCD dördbucaqlısında ∠A = 104°, ∠B = 69°, ∠C = 126°. D təpəsindəki daxili bucağı (δ) və xarici bucağı (δ′) tapın.

Nümunə 1 üçün dördbucaqlı

Lövhə 5δ və δ′

1. Məlum bucaqları toplayaq: 104° + 69° + 126° = 299°.
2. Daxili bucaqların cəmi 360°-dir: δ = 360° − 299° = 61°.
3. Xarici bucaq daxili bucağa qonşudur: δ′ = 180° − 61° = 119°. δ = 61°, δ′ = 119°

Nümunə 2Bucaqların nisbəti

Qabarıq dördbucaqlının daxili bucaqları 7 : 9 : 10 : 14 nisbətindədir. Daxili və xarici bucaqları tapın.

1. Bucaqları 7x, 9x, 10x, 14x kimi yazaq. Onların cəmi 360°-dir: 7x + 9x + 10x + 14x = 360°.
2. 40x = 360°, buradan x = 9°. Burada dayanma: x bucaq deyil, bir «hissə»dir.
3. Daxili bucaqlar: 7 · 9° = 63°, 9 · 9° = 81°, 10 · 9° = 90°, 14 · 9° = 126°. Yoxlama: 63° + 81° + 90° + 126° = 360°.
4. Xarici bucaqlar 180°-dən çıxılır: 117°, 99°, 90°, 54°. Yoxlama: 117° + 99° + 90° + 54° = 360°. 63°, 81°, 90°, 126° və 117°, 99°, 90°, 54°

Nümunə 3x-li ifadələr

Qabarıq ABCD dördbucaqlısında ∠A = x + 8°, ∠B = 2x − 13°, ∠C = 2x + 19°, ∠D = x + 40°. Bucaqları tapın.

1. Cəmi 360°-yə bərabər tutaq: (x + 8°) + (2x − 13°) + (2x + 19°) + (x + 40°) = 360°.
2. Oxşar hədləri toplayaq: 6x + 54° = 360°, 6x = 306°, x = 51°. Burada dayanma: sual bucaqları soruşur.
3. Yerinə qoyaq: ∠A = 59°, ∠B = 89°, ∠C = 121°, ∠D = 91°. Yoxlama: 59° + 89° + 121° + 91° = 360°. 59°, 89°, 121°, 91°

Nümunə 4Çökük dördbucaqlı

Qabarıq olmayan ABCD dördbucaqlısında ∠A = 44°, ∠B = 57°, ∠C = 33°. D təpəsindəki daxili bucaq 180°-dən böyükdür. Onu tapın.

Nümunə 4 üçün çökük dördbucaqlı

Lövhə 6180°-dən böyük bucaq

1. BD diaqonalı fiqurun içindədir, ona görə cəm yenə 360°-dir.
2. 44° + 57° + 33° = 134°, ∠D = 360° − 134° = 226°.
3. Yoxlama: D-də fiqurun xaricindən ölçülən bucaq 360° − 226° = 134°, yəni digər üç bucağın cəminə bərabərdir. ∠D = 226°

6 · Diqqət

Dörd tez-tez edilən səhv

Üçbucağın cəmini götürmək

Səhv

180° − 297° = −117°

Bucaqlar 79°, 117°, 101° olanda dördüncü üçün 180° götürülüb. Mənfi bucaq olmur.

Düz

360° − 297° = 63°

Dördbucaqlı iki üçbucaqdır: 2 · 180° = 360°.

Daxili ilə xarici bucağı qarışdırmaq

Səhv

δ′ = 61°

Nümunə 1-də sual xarici bucaq haqqındadır, 61° isə daxili bucaqdır.

Düz

δ′ = 180° − 61° = 119°

Hər təpədə daxili + xarici = 180°.

Xarici bucaqların cəmini 720° saymaq

Səhv

α′ + β′ + γ′ + δ′ = 4 · 180°

720° daxili və xarici bucaqların hamısının cəmidir.

Düz

720° − 360° = 360°

Daxili bucaqları çıxanda yalnız xarici bucaqlar qalır.

Çökük dördbucaqlıda 180°-dən kiçik cavab gözləmək

Səhv

∠D = 134°

Nümunə 4-də 134° D-də fiqurun xaricindən ölçülən bucaqdır.

Düz

∠D = 226°

Çökük təpədəki daxili bucaq 180°-dən böyükdür.

7 · Həyatda

Kafel və dönmələr

Usta döşəməni eyni dördbucaqlı kafellərlə örtür. Kafellərin heç bir tərəfi paralel deyil, bucaqları da bərabər deyil, amma aralarında boşluq qalmır. Niyə?

• Hər düyündə dörd kafel görüşür və hər biri ora başqa küncünü gətirir: A, B, C və D.
• Bu dörd bucağın cəmi 360°-dir, yəni düyünün ətrafı tam dolur. Kəşf mərhələsindəki kağız küncləri də məhz belə yığılmışdı.
• Velosipedçi də bir dövrədə 360° dönür: cığır necə əyri olsa da, xarici bucaqların cəmi dəyişmir. Robot-süpürgə və ya oyun personajı üçün yol proqramı yazanda bu fikir dönmələri yoxlamağa kömək edir.

Eyni dördbucaqlı kafellərlə döşəmə

Lövhə 7Bir kafel, sonsuz döşəmə

Hər kafelin A küncü mavi, B narıncı, C lime, D qırmızıdır. Ortadakı düyündə dörd fərqli künc görüşür: 360°.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç: düz olanda lime, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllə də baxa bilərsən.

1. Asan Qabarıq dördbucaqlının üç bucağı 136°, 49° və 86°-dir. Dördüncü bucağı tapın. Sual 1 variantları 91° 89° 271° Düzdür! 360° − 271° = 89°. Üç bucağı topla və cəmi 360°-dən çıx. Xarici bucaq soruşulmur. Həllə bax 136° + 49° + 86° = 271°. Dördüncü bucaq 360° − 271° = 89°. 91° həmin təpədəki xarici bucaqdır.
2. Asan Qabarıq dördbucaqlının bir daxili bucağı 133°-dir. Həmin təpədəki xarici bucaq neçə dərəcədir? Sual 2 variantları 133° 227° 47° Düzdür! Qonşu bucaqların cəmi 180°-dir. Daxili və xarici bucaq qonşudur: cəmləri 180°-dir, 360° yox. Həllə bax β + β′ = 180°, β′ = 180° − 133° = 47°. Bərabər olan iki xarici bucaqdır (qarşılıqlı bucaqlar), daxili ilə xarici yox.
3. Orta Qabarıq dördbucaqlının daxili bucaqları 9 : 13 : 16 : 22 nisbətindədir. Ən böyük xarici bucağı tapın. Sual 3 variantları 132° 126° 54° 48° Düzdür! Ən böyük xarici bucaq ən kiçik daxili bucağın yanındadır. Əvvəl x-i tap, sonra ən kiçik daxili bucağı 180°-dən çıx. Həllə bax 9x + 13x + 16x + 22x = 60x = 360°, x = 6°. Bucaqlar 54°, 78°, 96°, 132°. Xarici bucaqlar 126°, 102°, 84°, 48°; ən böyüyü 126°-dir. 132° ən böyük daxili bucaqdır.
4. Orta Qabarıq dördbucaqlının üç bucağı kor bucaqdır. Dördüncü bucaq haqqında nə demək olar? Sual 4 variantları mütləq iti bucaqdır mütləq düz bucaqdır kor bucaq da ola bilər Düzdür! Üç kor bucağın cəmi 270°-dən böyükdür. Üç kor bucağın cəmi 270°-dən böyükdür. 360°-dən nə qalır? Həllə bax Hər kor bucaq 90°-dən böyükdür, üçünün cəmi 270°-dən böyükdür. Dördüncü bucaq 360° − (270°-dən böyük ədəd), yəni 90°-dən kiçikdir: itidir. Dörd kor bucaq olsaydı, cəm 360°-dən böyük olardı.
5. Çətin Qabarıq olmayan ABCD dördbucaqlısında ∠A = 27°, ∠B = 62°, ∠C = 43°. D təpəsindəki daxili bucaq 180°-dən böyükdür. Onu tapın. Sual 5 variantları 132° 48° 228° 312° Düzdür! Çökük dördbucaqlıda da cəm 360°-dir. Cəm 360°-dir və axtarılan bucaq 180°-dən böyükdür. Hansı variant hər iki şərtə uyğundur? Həllə bax 27° + 62° + 43° = 132°, ∠D = 360° − 132° = 228°. 132° D-də xaricdən ölçülən bucaqdır, 48° isə səhvən 180° götürüləndə alınır.
6. Çətin Qabarıq dördbucaqlının üç daxili bucağının cəmi 281°-dir. Dördüncü təpədəki xarici bucağı tapın. Sual 6 variantları 79° 101° 259° Düzdür! Əvvəl daxili, sonra xarici bucaq. Əvvəl dördüncü daxili bucağı 360°-dən tap, sonra onu 180°-dən çıx. Həllə bax Dördüncü daxili bucaq 360° − 281° = 79°, xarici bucaq 180° − 79° = 101°. 259° cəmi 540° götürəndə alınır.

9 · Yekun

Üç nəticə

• Daxili bucaqlar: 360°Diaqonal dördbucaqlını iki üçbucağa bölür: 2 · 180°. Çökük dördbucaqlıda diaqonal 180°-dən böyük bucağın təpəsindən çəkilir.
• Xarici bucaqlar: 360°Hər təpədə daxili + xarici = 180°; dörd təpədə 720°, daxili bucaqlar 360° aparır.
• Naməlum bucaqCəmi 360°-yə bərabər tut, x-i tap və mütləq yerinə qoy. Ən çoxu üç bucaq kor ola bilər.

Növbəti mövzu: 3.19 Paraleloqram — qarşı tərəfləri paralel olan dördbucaqlının bucaqları haqqında nə deyə bilərik?

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 8-ci sinif», «Dördbucaqlılar» dərsi, «Daxili və xarici bucaqlar» bölməsi, səh. 72–74: xarici bucağın tərifi, daxili və xarici bucaqların cəmi haqqında teoremlər və onların isbatı, α, β, γ, δ və α′, β′, γ′, δ′ işarələri. Bütün ədədlər öyrətmək üçün seçilmişdir; lövhələr ölçüyə uyğun çəkilib, hər çəkilmiş bucaq yazılan dərəcəyə bərabərdir.