Modullu tənliklər

• 4.31
• 9-cu sinif
• Tənliklər

Modullu tənliklər

Liftin ekranı xarab olub. Bilirik ki, lift 13-cü mərtəbədən 5 mərtəbə uzaqlaşıb. İndi hansı mərtəbədədir? Cavab ikidir — 8 və ya 18 — və hər ikisi bir tənlikdən çıxır: |x − 13| = 5.

Bu dərsdə

• modulu tək saxlayıb |A| = c tənliyini c-nin işarəsinə görə həll edəcək, |x − a| = c yazılışını ədəd oxunda məsafə kimi oxuyacaqsan;
• modulun tərifindəki iki halı şərti ilə yazacaq, şərti ödəməyən kökü niyə atmaq lazım olduğunu izah edəcəksən;
• iki modulun bərabərliyi, modul altında kvadrat üçhədli və iç-içə modul olan tənlikləri həll edəcək, kökləri qrafikdə tapacaqsan.

Lift 13-cü mərtəbədən 5 mərtəbə uzaqlaşıb: 8-ci və ya 18-ci mərtəbədədir

Başla Yenidən Yenidən

1. Kəşf et
2. İki hal
3. Hesabla
4. Qrafik üsul
5. Diqqət
6. Həyatda
7. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Modul — məsafədir

Ədədin modulundan bilirsən: |a − b| ədəd oxunda a və b nöqtələri arasındakı məsafədir. Deməli, |x − 13| = 5 belə oxunur: «x nöqtəsi 13-dən 5 vahid məsafədədir».

Binanın mərtəbələri şaquli ədəd oxudur. 13-dən 5 vahid uzaqda iki nöqtə var — biri aşağıda, biri yuxarıda:

x = 13 − 5 = 8 və ya x = 13 + 5 = 18.Yoxlama: |8 − 13| = |−5| = 5, |18 − 13| = |5| = 5.

Modulun içində toplama olanda mərkəzi görmək üçün onu çıxma kimi yaz: x + 5 = x − (−5). Onda |x + 5| = 2 «x nöqtəsi −5-dən 2 vahid məsafədədir» deməkdir.

|x + 5| = 2: −5-dən 2 vahid məsafədə olan nöqtələr

Mərkəz −5 (mavi nöqtə), hər tərəfə 2 vahid (narıncı mötərizələr): köklər −7 və −3 (yaşıl nöqtələr). Yoxlama: |−7 + 5| = |−2| = 2, |−3 + 5| = |2| = 2.

Məsafə şəkli tək modul və sağda ədəd olan tənliklərdə rahatdır. Sağ tərəfdə də dəyişən olanda, ya modulun içində kvadrat olanda, modulun tərifinə qayıdırıq.

2 · Qayda

Modulun iki halı

Yadda saxla

Ədədin mütləq qiymətinin tərifinə görə

|x| = x, əgər x ≥ 0;|x| = −x, əgər x < 0.

Ona görə modul işarəsi daxilində dəyişəni olan tənliyi həll edərkən iki hal nəzərdən keçirilir. 1-ci hal: modulun içindəki ifadə müsbətdir və ya sıfıra bərabərdir. 2-ci hal: modulun içindəki ifadə mənfidir.

|x + 2| modulunun iki halı

|x + 2| ifadəsi −2-də «açılış qaydasını» dəyişir: orada x + 2 = 0. Bu nöqtə iki halı ayırır və 1-ci hala aiddir.

Sağ tərəfi ədəd olan |A| = c tənliyi üçün iki hal birlikdə qısa qayda verir — hər şey c-nin işarəsindən asılıdır:

c > 0 — iki tənlik

A = c və ya A = −c

Lift: x − 13 = 5 və ya x − 13 = −5.

c = 0 — bir tənlik

A = 0

|4x − 6| = 0 ⇔ 4x − 6 = 0, x = 1,5. Modulu sıfır olan yeganə ədəd sıfırdır.

c < 0 — kök yoxdur

∅

|5 − 2x| = −1: ədədin mütləq qiyməti ya sıfıra, ya da müsbət ədədə bərabər olmalıdır.

Burada niyə şərt yoxlamırıq? c > 0 olanda A = c bərabərliyindən A > 0 (1-ci hal), A = −c bərabərliyindən A < 0 (2-ci hal) öz-özünə alınır. Sağ tərəfdə dəyişən olanda isə onun işarəsi əvvəlcədən məlum deyil: onda hər halı şərti ilə yazırıq və tapılan kökü şərtlə müqayisə edirik (Nümunə 2).

3 · Hesabla

Addım-addım həll

Hər modullu tənlikdə eyni yol işləyir:

1. Modulu bərabərliyin bir tərəfində tək saxla.
2. Sağ tərəf ədəddirsə, işarəsinə bax: mənfi — kök yoxdur, sıfır — bir tənlik.
3. İki halı yaz; sağ tərəfdə dəyişən varsa — şərti ilə.
4. Kökləri şərtlə müqayisə et və ya tənlikdə yerinə qoyub yoxla.

Nümunə 1Əvvəl modulu tək saxla

Tənliyi həll edin: 1 − 2|3x + 2| = −13.

1. 1-i sağa keçiririk: −2|3x + 2| = −14.
2. Hər tərəfi −2-yə bölürük: |3x + 2| = 7. Sağ tərəf 7 > 0 — iki tənlik.
3. 3x + 2 = 7 ⇒ 3x = 5 ⇒ x = 53 / ; 3x + 2 = −7 ⇒ 3x = −9 ⇒ x = −3.
4. Yoxlama: hər iki kökdə |3x + 2| = 7 olur, 1 − 2 · 7 = −13. Cavab: {−3; 5/3}

Nümunə 2Şərti ödəməyən kök atılır

Tənliyi həll edin: |x + 2| = 3x + 12. Sağ tərəfdə dəyişən var — onun işarəsini bilmirik, ona görə iki halı şərti ilə yazırıq.

1. 1-ci hal: x + 2 ≥ 0, yəni x ≥ −2. Onda |x + 2| = x + 2 və sistem alırıq: {x ≥ −2; x + 2 = 3x + 12}. Tənlikdən −2x = 10, x = −5. Amma −5 ≥ −2 yalandır: x = −5 bu halın şərtini ödəmir. Bu halda kök yoxdur.
2. 2-ci hal: x + 2 < 0, yəni x < −2. Onda |x + 2| = −(x + 2): −x − 2 = 3x + 12 ⇒ −4x = 14 ⇒ x = −3,5. −3,5 < −2 doğrudur — şərt ödənir.
3. Yoxlama: x = −3,5 üçün |−3,5 + 2| = 1,5 və 3 · (−3,5) + 12 = 1,5 — bərabərdir. x = −5 üçün isə |−5 + 2| = 3, amma 3 · (−5) + 12 = −3: «3 = −3» ola bilməz, modul mənfi ədədə bərabər olmur. Cavab: {−3,5}

|x + 2| = 3x + 12 qrafikdə: bir kəsişmə, bir rədd edilən nöqtə

Başla Yenidən Yenidən

Mavi V — y = |x + 2|, narıncı düz xətt — y = 3x + 12. Onlar yalnız bir nöqtədə, (−3,5; 1,5)-də kəsişir. 1-ci halda tapılan x = −5 boz qırıq xəttin, yəni y = x + 2 düz xəttinin üzərindədir. Həmin hissə x < −2 olduğu üçün V-yə aid deyil: (−5; −3) nöqtəsi tənliyin həlli deyil.

Niyə belə olur? 1-ci halın tənliyi x + 2 = 3x + 12 əsl tənliyimizlə yalnız x ≥ −2 olanda eynidir. Onun kökü bu hissədən kənara düşürsə, deməli, biz başqa tənliyin kökünü tapmışıq — onu atırıq.

Nümunə 3Modulun altında kvadrat üçhədli

Tənliyi həll edin: |x² − 5x| = 6.

1. Sağ tərəf 6 > 0, şərt lazım deyil: x² − 5x = 6 və ya x² − 5x = −6.
2. I hal: x² − 5x − 6 = 0 ⇒ (x − 6)(x + 1) = 0 ⇒ x = 6 və ya x = −1.
3. II hal: x² − 5x + 6 = 0 ⇒ (x − 2)(x − 3) = 0 ⇒ x = 2 və ya x = 3.
4. Yoxlama: |36 − 30| = 6, |1 + 5| = 6, |4 − 10| = 6, |9 − 15| = 6. Hər hal özü kvadrat tənlik olduğu üçün dörd kök alındı. Cavab: {−1; 2; 3; 6}

Nümunə 4İki modulun bərabərliyi

Tənliyi həll edin: |2x − 7| = |x + 1|.

1. Modulları bərabər olan iki ədəd ya bərabərdir, ya da əksdir: |f| = |g| ⇔ f = g və ya f = −g.
2. 2x − 7 = x + 1 ⇒ x = 8.
3. 2x − 7 = −(x + 1) ⇒ 2x − 7 = −x − 1 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2.
4. Yoxlama: |16 − 7| = 9 = |8 + 1|; |4 − 7| = 3 = |2 + 1|. Cavab: {2; 8}

Nümunə 5Modulun içində modul

Tənliyi həll edin: |2|x| − 5| = 3.

1. Əvvəl xarici modulu açırıq (sağ tərəf 3 > 0): 2|x| − 5 = 3 və ya 2|x| − 5 = −3.
2. Birincidən 2|x| = 8, |x| = 4 ⇒ x = ±4.
3. İkincidən 2|x| = 2, |x| = 1 ⇒ x = ±1. Hər iki halda |x| müsbət ədədə bərabər çıxdı, ona görə hər biri iki kök verdi. Cavab: {−4; −1; 1; 4}

4 · Qrafik üsul

Köklər kəsişmə nöqtələrindədir

f(x) = g(x) tənliyinin kökləri y = f(x) və y = g(x) qrafiklərinin kəsişmə nöqtələrinin absisləridir. Nümunə 3-ü qrafiklə yoxlayaq.

y = |x² − 5x| qrafikini qurmaq üçün əvvəl y = x² − 5x parabolasını çəkirik. Parabola 0 ilə 5 arasında Ox oxundan aşağıdadır. Modul orada ordinatın işarəsini dəyişir, ona görə həmin hissə Ox oxuna nəzərən yuxarı əks olunur: parabolanın təpəsi (2,5; −6,25) idi, əks olunmuş hissənin ən yüksək nöqtəsi isə (2,5; 6,25) olur.

Sonra y = 6 üfüqi düz xəttini çəkib kəsişmə nöqtələrini tapırıq. 6,25 ilə 6 çox yaxındır: düz xətt «təpənin» bir az aşağısından keçir, ona görə 2 və 3 kökləri bir-birinə yaxındır.

Kök — absisdir. (2; 6) nöqtəsi x = 2 kökünü verir; 6 isə sağ tərəfdir, kök deyil. Qrafik kökləri göstərir, dəqiq qiymətləri cəbri həll və yoxlama təsdiqləyir.

y = |x² − 5x| və y = 6 qrafikləri dörd nöqtədə kəsişir

Başla Yenidən Yenidən

Qırıq boz xətt — y = x² − 5x, bərk mavi xətt — y = |x² − 5x|, narıncı — y = 6. Dörd kəsişmə nöqtəsi: (−1; 6), (2; 6), (3; 6), (6; 6); köklər −1, 2, 3, 6. Oxlar üzrə vahidlər fərqlidir.

5 · Diqqət

Tez-tez buraxılan səhvlər

Səhv

|x − 7| = 2 ⇒ −x − 7 = 2 ⇒ x = −9

Minus yalnız x-ə yazılıb. Yoxlama bunu tutur: |−9 − 7| = 16, 2 yox.

Düzgün

−(x − 7) = 2 ⇒ −x + 7 = 2 ⇒ x = 5

Mötərizə bütün ifadəni əhatə edir. 1-ci haldan x = 9; cavab {5; 9}.

Səhv

12 − |x| = 5: kök yoxdur

«Modulun qarşısında minus var» kök olmaması demək deyil.

Düzgün

|x| = 12 − 5 = 7 ⇒ x = ±7

Əvvəl modulu tək saxla, yalnız sonra sağ tərəfin işarəsinə bax.

Səhv

|x + 2| = 3: təpə 2-də ⇒ x = −1, x = 5

V qrafiki səhv tərəfə sürüşdürülüb: bu, |x − 2| = 3 tənliyinin kökləridir.

Düzgün

təpə −2-də ⇒ x = −5, x = 1

Təpə modulun içi sıfır olan nöqtədədir: x + 2 = 0, x = −2.

|x + 2| = 3: düzgün və səhv sürüşdürülmüş V

Narıncı üfüqi xətt — y = 3. Bərk mavi V — düzgün y = |x + 2| (təpə −2-də), yaşıl nöqtələr: −5 və 1. Qırıq qırmızı V — səhv, təpəsi 2-də; qırmızı halqalar −1 və 5 başqa tənliyin kökləridir.

6 · Həyatda

«Fərqlənir» və «bərabər uzaqdır»

Termostat. Otağın termostatı 22 °C-yə qurulub. Temperatur bu qiymətdən 3,5 °C fərqlənəndə kondisioner işə düşür — ya isidir, ya da soyudur. Hansı temperaturlarda işə düşür?

t — temperaturdur. «t 22-dən 3,5 fərqlənir» yazılışı: |t − 22| = 3,5.

t − 22 = 3,5 ⇒ t = 25,5t − 22 = −3,5 ⇒ t = 18,5

Termostat: 22 °C-dən 3,5 °C fərqlənən temperaturlar

18,5 °C-də isitmə, 25,5 °C-də soyutma işə düşür.

Skamya. Düz velosiped yolunda iki su məntəqəsi 2 km və 14 km nişanlarındadır. İstirahət skamyası hər ikisindən eyni məsafədə qoyulmalıdır. Hansı nişanda?

|x − 2| = |x − 14|x − 2 = x − 14 ⇒ −2 = −14 (yalan)x − 2 = −(x − 14) ⇒ x = 8

Birinci halda bərabərlik yalandır, bu halda kök yoxdur. İkincidən 2x = 16, x = 8.

Cavab: 8 km nişanı — məntəqələrin tam ortası, hər birindən 6 km. Bir halın ziddiyyətə gəlməsi normaldır: o halda sadəcə kök yoxdur.

7 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan |x − 9| = 4 tənliyinin köklərini tap. Cavab variantları −13 və −5 5 və 13 yalnız 13 Düzdür! 9-dan 4 vahid sola və sağa: 5 və 13. Yox. Mərkəz 9-dur (x − 9) və iki hal var: x − 9 = 4 və ya x − 9 = −4. Həllə bax x − 9 = 4 ⇒ x = 13; x − 9 = −4 ⇒ x = 5. Yoxlama: |13 − 9| = 4, |5 − 9| = 4.
2. Asan 6 + |3x − 1| = 2 tənliyini həll et. Cavab variantları x = −1 və x = 5/3 x = 1/3 kök yoxdur Bəli! |3x − 1| = −4, modul mənfi ola bilməz. Yox. Əvvəl modulu tək saxla: |3x − 1| = 2 − 6. Sağ tərəfin işarəsinə bax. Həllə bax |3x − 1| = 2 − 6 = −4. Ədədin mütləq qiyməti mənfi ola bilməz, ona görə tənliyin kökü yoxdur: ∅.
3. Orta |x² − 10| = 6 tənliyinin bütün köklərini seç. Cavab variantları −4; −2; 2; 4 −4 və 4 2 və 4 Əla! x² = 16 və ya x² = 4 — hər biri iki kök. Yox. İki hal var: x² − 10 = 6 və x² − 10 = −6; hər birindən x üçün iki kök (±) alınır. Həllə bax x² − 10 = 6 ⇒ x² = 16 ⇒ x = ±4; x² − 10 = −6 ⇒ x² = 4 ⇒ x = ±2. Yoxlama: |16 − 10| = 6, |4 − 10| = 6.
4. Orta |2x + 3| = x tənliyinin həllər çoxluğu hansıdır? Cavab variantları {−3; −1} ∅ (kök yoxdur) {−1} Düzdür! Hər iki halın kökü öz şərtini ödəmir. Yox. Hər halın şərtini yaz (x ≥ −1,5 və x < −1,5) və tapdığın kökü onunla müqayisə et. Həllə bax 1-ci hal: x ≥ −1,5; 2x + 3 = x ⇒ x = −3, amma −3 < −1,5 — atılır. 2-ci hal: x < −1,5; −2x − 3 = x ⇒ x = −1, amma −1 > −1,5 — atılır. Kök yoxdur. Başqa yolla: modula bərabər olan x mənfi ola bilməz, x ≥ 0 olanda isə 2x + 3 > x.
5. Çətin |x − 8| = |3x| tənliyinin köklərini tap. Cavab variantları yalnız −4 −2 və 4 −4 və 2 Düzdür: x − 8 = 3x və ya x − 8 = −3x. Yox. |f| = |g| ⇔ f = g və ya f = −g. İkisini də həll et, bölmədə işarəyə diqqət et. Həllə bax x − 8 = 3x ⇒ −2x = 8 ⇒ x = −4; x − 8 = −3x ⇒ 4x = 8 ⇒ x = 2. Yoxlama: |−12| = |−12|; |−6| = |6|.
6. Çətin Ədəd oxunda x nöqtəsindən 1-ə qədər məsafə x-dən 7-yə qədər məsafədən 2 dəfə böyükdür. x-i tap. Cavab variantları 5 və 13 yalnız 5 −5 və 3 Əla! |x − 1| = 2|x − 7| — və iki hal. Yox. Məsafələri modulla yaz: x-dən 1-ə — |x − 1|, x-dən 7-yə — |x − 7|. Hansı 2 dəfə böyükdür? Sonra iki hal. Həllə bax |x − 1| = 2|x − 7| = |2x − 14|. x − 1 = 2x − 14 ⇒ x = 13; x − 1 = −(2x − 14) ⇒ 3x = 15 ⇒ x = 5. Yoxlama: 13-dən 1-ə 12, 7-yə 6; 5-dən 1-ə 4, 7-yə 2.

Xülasə

Yadda qalanlar

• |A| = cc > 0 — A = c və ya A = −c; c = 0 — A = 0; c < 0 — kök yoxdur. Əvvəl modulu tək saxla.
• İki hal + şərtSağ tərəfdə dəyişən varsa, hər halın şərtini yaz; şərti ödəməyən kökü at, kökləri yoxla.
• Qrafik üsulKöklər iki qrafikin kəsişmə nöqtələrinin absisləridir.

Növbəti mövzu: 4.32 İrrasional tənliklər

Mənbə: «Riyaziyyat» — 9-cu sinif üçün dərslik, «5-3 Modullu tənliklər», səh. 100–103 (modulun tərifinin iki halı, 1.–4. Nümunə, iki modulun bərabərliyi, qrafik üsul). Tənliklər, ədədlər və situasiyalar bu dərs üçün seçilib.