Ədədi silsilə

• 4.64
• 9-cu sinif
• Ədədi ardıcıllıqlar

Ədədi silsilə

Bir telefonun şarjı hər saat eyni qədər azalır, digərininki — hər saat başqa qədər. Hansının növbəti göstəricisini dəqiq demək olar? Yalnız birincinin: 72 − 5 = 67 %. Hər dəfə eyni addım — ədədi silsilənin bütün mahiyyəti budur.

Bu dərsdə

• ədədi silsiləni və onun fərqini d tanıyacaq, ardıcıllığın silsilə olub-olmadığını bütün qonşu fərqlərlə yoxlayacaqsan;
• birinci hədd və fərqlə, yaxud rekurrent düsturla silsiləni addım-addım davam etdirəcək, naməlum qonşu hədləri irəli və geri tapacaqsan;
• d-nin işarəsinə görə silsilənin artan, azalan və ya sabit olduğunu izah edəcəksən.

İki telefonun şarjı ədəd oxunda: bərabər və fərqli addımlar

BaşlaYenidənYenidən

1. Kəşf et
2. Tərif
3. Tanı
4. Davam etdir
5. d-nin işarəsi
6. Diqqət
7. Həyatda
8. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Eyni addım nə qazandırır?

Saat 20:00-dan başlayaraq iki telefonun şarjını hər saat yazaq. Hər iki sütunda fərqi eyni qaydada tapırıq: sonrakı göstərici − əvvəlki.

Şarj (%) saatlara görə

1-ci telefonda fərq hər dəfə −5-dir. Ona görə bütün cədvəli yazmaq üçün iki ədəd kifayətdir: başlanğıc 92 və addım −5. Növbəti saatı da eyni addımla tapırıq:

1. 92
2. −587
3. −582
4. −577
5. −572
6. −567

2-ci telefonda fərqlər −2, −6, −3, −9 — hər saat başqa. Saat 00:00-da hər iki telefon 72 %-dədir, amma 01:00 üçün yalnız birincinin göstəricisini deyə bilərik: ikincinin növbəti addımı cədvəldən görünmür.

Real telefon heç vaxt tam bərabər boşalmır; burada şarjın hər saat eyni qədər azaldığını fərz edirik.

2 · Tərif

Ədədi silsilə nədir?

Yadda saxla

«Ədədi ardıcıllığın ikincidən başlayaraq hər bir həddi özündən əvvəlki hədlə eyni ədədin cəminə bərabər olarsa, belə ardıcıllığa ədədi silsilə deyilir.»

an+1 = an + d

d bütün n üçün eyni ədəddir və silsilə fərqi adlanır. Tərifdən: d = an+1 − an, yəni d = a2 − a1 = a3 − a2 = a4 − a3 = …

Ədədi silsilə ədəd oxunda: a1 = −4, d = 5

BaşlaYenidənYenidən

Nöqtələr ədəd oxunda həqiqi yerlərindədir: dörd qövsün hər biri eyni addımdır, +5.

Tərifin hər sözü işləyir. «Eyni ədəd»: a1 və d bilinirsə, a2 = a1 + d, a3 = a2 + d və s. — hər hədd əvvəlkindən birmənalı tapılır, heç bir seçim qalmır. «İkincidən başlayaraq hər bir hədd»: qonşu fərqlərdən biri də fərqli olsa, ardıcıllıq artıq ədədi silsilə deyil.

Birinci hədd və fərq kifayətdir

a1, d

«Ədədi silsiləni vermək üçün onun birinci həddini və fərqini göstərmək kifayətdir.» 1-ci telefon: a1 = 92, d = −5.

İşarə

÷ (an)

«n-ci həddi an olan ədədi silsilə simvolik olaraq ÷ (an) kimi işarə olunur.»

3 · Tanı

Silsilədir, yoxsa yox?

Üsul bir cümlədir: bütün qonşu fərqləri hesabla. Hamısı eynidirsə — ardıcıllıq ədədi silsilədir və d həmin ədəddir. Biri də fərqlidirsə — silsilə deyil, bunu göstərmək üçün bir uyğunsuz fərq kifayətdir.

Nümunə 1Fərqlər eynidir

3,2; 4,1; 5; 5,9; 6,8 ardıcıllığı ədədi silsilədirmi?

1. Qonşu fərqlər: 4,1 − 3,2 = 0,9; 5 − 4,1 = 0,9; 5,9 − 5 = 0,9; 6,8 − 5,9 = 0,9.
2. Dörd fərqin dördü də eynidir. Silsilədir: d = 0,9, an+1 = an + 0,9

Nümunə 2Bir fərq kifayətdir

40; 31; 23; 16 ardıcıllığı ədədi silsilədirmi?

1. 31 − 40 = −9, 23 − 31 = −8 — ikinci fərq artıq birincidən fərqlidir.
2. Qalan fərqi (16 − 23 = −7) yoxlamağa ehtiyac yoxdur: bir uyğunsuzluq kifayətdir. Silsilə deyil: −9 ≠ −8

Nümunə 3Rekurrent düsturdan tanı

Hansı düstur ədədi silsilə verir? a) un+1 = un − 0,7; b) 2vn+1 = 2vn + 9; c) w1 = 5, wn+1 = 2wn.

1. a) un+1 = un − 0,7: hər addımda eyni ədəd, −0,7, əlavə olunur — ədədi silsilədir, d = −0,7.
2. b) Əvvəl sadələşdir: hər tərəfi 2-yə bölsək, vn+1 = vn + 4,5 — ədədi silsilədir, d = 4,5.
3. c) wn+1 = 2wn = wn + wn: əlavə olunan ədəd wn-in özüdür və dəyişir. 5; 10; 20 hədlərinin fərqləri 5 və 10 — silsilə deyil. a) və b) ədədi silsilədir, c) deyil

Rekurrent düsturda an+1 = an + d şəklini axtar: hər addımda əlavə olunan ədəd nə n-dən, nə də an-dən asılı olmamalıdır.

4 · Davam etdir

Silsiləni addım-addım qur

a1 və d məlumdursa, hər növbəti hədd əvvəlkinə d əlavə etməklə alınır. Əks istiqamətdə — əvvəlki həddi tapmaq üçün — d çıxılır: an = an+1 − d.

Nümunə 4Birinci hədd və fərqlə

a1 = −3,4, d = 1,6. Silsilənin ilk beş həddini yazın.

1. a2 = −3,4 + 1,6 = −1,8
2. a3 = −1,8 + 1,6 = −0,2
3. a4 = −0,2 + 1,6 = 1,4 — sıfırdan keçdik, işarə dəyişdi.
4. a5 = 1,4 + 1,6 = 3 −3,4; −1,8; −0,2; 1,4; 3

Nümunə 5Rekurrent düsturla

b1 = 2, bn+1 = bn − 34 / . İlk dörd həddi tapın.

1. Düstur bn+1 = bn + d şəklindədir: silsilədir, d = −34 / .
2. b2 = 2 − 34 / = 84 / − 34 / = 54 /
3. b3 = 54 / − 34 / = 24 / = 12 /
4. b4 = 24 / − 34 / = −14 / 2; 54 / ; 12 / ; −14 /

Nümunə 6Naməlum qonşu hədlər

y1; 8,5; 7; y4; y5 ədədi silsilədir. Naməlum hədləri tapın.

1. İki qonşu hədd məlumdur: d = y3 − y2 = 7 − 8,5 = −1,5.
2. İrəli, + d: y4 = 7 + (−1,5) = 5,5, y5 = 5,5 + (−1,5) = 4.
3. Geri, − d: y1 = y2 − d = 8,5 − (−1,5) = 10.
4. Yoxla: 8,5 − 10 = −1,5 ✓. y1 = 10, y4 = 5,5, y5 = 4

Naməlum qonşu hədlər ədəd oxunda

Mavi nöqtələr verilib, yaşıllar tapılıb. İrəli addım + d, geri addım − d; d mənfi olduğundan irəli addımlar sola gedir.

5 · d-nin işarəsi

Fərqin işarəsi istiqaməti deyir

Dərslikdən

«d > 0 olduqda, ikincidən başlayaraq hər bir hədd əvvəlki həddən böyük (artan ardıcıllıq), d < 0 olduqda isə kiçik (azalan ardıcıllıq) olur. d = 0 olduqda isə bütün hədlər eyni bir ədədə (1-ci həddə) bərabər olmaqla sabit ardıcıllıq alınır.»

Səbəb düsturun özündədir: an+1 = an + d. Müsbət ədəd əlavə etmək ədəd oxunda sağa addımdır, mənfi ədəd — sola, sıfır isə yerində qalmaqdır. Addım hər dəfə eyni olduğu üçün istiqamət heç vaxt dəyişmir.

Fərqi seç (a1 = 1)

d = 1,2 d = 0 d = −1,2

a1 = 1 olan silsilənin ilk beş həddi seçilən fərqlə

d = 1,2 > 0: 1; 2,2; 3,4; 4,6; 5,8 — hər hədd əvvəlkindən böyükdür, nöqtələr sağa gedir. Artan.

d = 0: 1; 1; 1; 1; 1 — bütün hədlər a1-ə bərabərdir. Sabit ardıcıllıq — və yenə ədədi silsilədir.

d = −1,2 < 0: 1; −0,2; −1,4; −2,6; −3,8 — hər hədd əvvəlkindən kiçikdir, nöqtələr sola gedir. Azalan.

Birinci hədd narıncı nöqtədir. Eyni a1 ilə yalnız d dəyişir — və istiqaməti o təyin edir.

Artan

d > 0

an+1 > an hər n üçün.

Sabit

d = 0

Bütün hədlər a1-ə bərabərdir.

Azalan

d < 0

an+1 < an hər n üçün.

6 · Diqqət

Tez-tez buraxılan səhvlər

Fərqi sırayla çıx: 12; 8,8; 5,6

Əvvəlki − sonrakı

d = 12 − 8,8 = 3,2

Çıxmanın sırası tərsdir, işarə itir.

Düzgün

d = 8,8 − 12 = −3,2

Fərq həmişə sonrakı − əvvəlkidir: hədlər azalır, d mənfidir.

Bütün fərqləri yoxla: 10; 21; 32; 44

Yalnız ilk fərq

21 − 10 = 11 → silsilə

İlk iki fərq eynidir, amma üçüncüyə baxılmayıb.

Düzgün

11; 11; 12 → silsilə deyil

Üçüncü fərq fərqlidir: bir uyğunsuzluq kifayətdir.

Sabit ardıcıllıq: 12; 12; 12; 12

Dəyişmir — silsilə deyil

silsilə deyil

Hədlərin eyni olması tərifi pozmur.

Düzgün

d = 0 → silsilədir

Fərqlər 0; 0; 0 — hər dəfə eyni ədəd.

«Azalan» «mənfi» demək deyil: −31; −22; −13

Hədlər mənfidir

azalan

İstiqaməti hədlərin işarəsi yox, fərqin işarəsi deyir.

Düzgün

d = −22 − (−31) = 9 → artan

Tərsinə, şarj 92; 87; 82; … müsbət hədlərlə azalandır.

Geri addımda d çıxılır: y2 = 8,5, d = −1,5

Geri addımda + d

y1 = 8,5 + (−1,5) = 7

7 əslində y3-dür: irəli getdin.

Düzgün

y1 = 8,5 − (−1,5) = 10

Yoxla: 8,5 − 10 = −1,5 ✓.

7 · Həyatda

Şam nə qədər qısalır?

16 sm hündürlüyündə şam yandırılır və hər saat 0,8 sm qısalır. Yandırılan anı birinci hədd sayaq: a1 = 16, d = −0,8 — şam qısalır, fərq mənfidir.

Şam hər saat eyni qədər qısalır

BaşlaYenidənYenidən

Hər saatın səviyyəsi xətkeşdə eyni aralıqla düşür: bərabər addımlar — ədədi silsilə.

Şamın hündürlüyü

5 saatdan sonra: a1-dən başlayıb 5 addım atırıq — çatdığımız hədd a6-dır, a5 deyil. Cavab: 12 sm.

Şam nə vaxt 13 sm-dən qısa olur? 3 saatdan sonra hələ 13,6 sm-dir, 4 saatdan sonra isə 12,8 sm. Cavab: 4 saatdan sonra.

Fərz edirik ki, şam bərabər yanır; real şamda külək, fitil və mum addımı dəyişə bilər.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan Hansı ardıcıllıq ədədi silsilədir? Cavab variantları 10; 14; 18; 23 31; 25; 19; 13 2; 6; 18; 54 Düzdür! Fərqlər −6; −6; −6. Yox. Bütün qonşu fərqləri hesabla — hamısı eyni olmalıdır. Həllə bax 10; 14; 18; 23: fərqlər 4; 4; 5 — deyil. 31; 25; 19; 13: −6; −6; −6 — silsilədir, d = −6. 2; 6; 18; 54: 4; 12; 36 — deyil, hər dəfə eyni ədəd əlavə olunmur.
2. Asan −2,7; −1,9; −1,1; −0,3 ədədi silsiləsinin fərqi d neçədir? Cavab variantları −0,8 1,6 0,8 Əla! −1,9 − (−2,7) = 0,8. Yox. d = sonrakı − əvvəlki, qonşu iki hədd üçün. Həllə bax d = a2 − a1 = −1,9 − (−2,7) = 0,8. −0,8 çıxmanın tərs sırasıdır, 1,6 isə a3 − a1 — iki addım.
3. Orta a1 = 1,6 və d = −0,9 olan ədədi silsilənin a4 həddini tapın. Cavab variantları −2 −1,1 4,3 Düzdür: 1,6; 0,7; −0,2; −1,1. Yox. a1-dən a4-ə 3 addım var, hər addımda −0,9 əlavə et. Həllə bax a2 = 1,6 + (−0,9) = 0,7; a3 = 0,7 + (−0,9) = −0,2; a4 = −0,2 + (−0,9) = −1,1. −2 artıq a5-dir, 4,3 isə d çıxılanda alınır.
4. Orta y; −3; 4,5 ədədi silsilənin ardıcıl üç həddidir. y-i tapın. Cavab variantları 4,5 −4,5 −10,5 Düzdür! Geri addımda d çıxılır. Yox. Əvvəl d = 4,5 − (−3), sonra geri addımda d-ni çıx. Həllə bax d = 4,5 − (−3) = 7,5; y = −3 − 7,5 = −10,5. Yoxlama: −3 − (−10,5) = 7,5 ✓.
5. Çətin −50; −43,5; −37; … ədədi silsiləsi haqqında hansı doğrudur? Cavab variantları azalandır, çünki hədlər mənfidir artandır, çünki d = 6,5 > 0 azalandır, çünki d = −6,5 Düzdür! İstiqaməti d-nin işarəsi deyir. Yox. d = sonrakı − əvvəlki: −43,5 − (−50). Həllə bax d = −43,5 − (−50) = 6,5 > 0 — silsilə artandır, hədlərin mənfi olması buna təsir etmir.
6. Çətin Ədədi silsilədə a3 = 2 və a4 = −0,8. a1-i tapın. Cavab variantları 4,8 −3,6 7,6 Əla! İki addım geri, hər dəfə d çıxıldı. Yox. d = a4 − a3; a3-dən a1-ə iki addım geri, hər dəfə d-ni çıx. Həllə bax d = −0,8 − 2 = −2,8; a2 = 2 − (−2,8) = 4,8; a1 = 4,8 − (−2,8) = 7,6. 4,8 yalnız a2-dir, −3,6 isə geri addımda d əlavə ediləndə alınır.

Xülasə

Yadda qalanlar

• an+1 = an + dHər hədd əvvəlkinə eyni d əlavə etməklə alınır; a1 və d bütün silsiləni verir.
• d = an+1 − anBütün qonşu fərqlər eynidirsə — silsilə; biri fərqlidirsə — deyil.
• d > 0, d = 0, d < 0Artan, sabit, azalan: istiqaməti hədlərin işarəsi yox, d-nin işarəsi deyir.

Növbəti mövzu: 4.65 Ədədi silsilənin n-ci həddinin düsturu

Mənbə: «Riyaziyyat» — 9-cu sinif üçün dərslik, «9-2 Ədədi silsilə», səh. 194–195: tərif, silsilə fərqi, fərqin işarəsi, ÷ (an) işarəsi (sitatlar). Telefonlar, şam və bütün ədədlər bu dərs üçün seçilmiş modellərdir.