Ədədi ardıcıllıq

• 4.63
• 9-cu sinif
• Ardıcıllıqlar

Ədədi ardıcıllıq

Çevrə üzərində nöqtələr götür və hər iki nöqtəni düz xətlə birləşdir (heç üç xətt bir nöqtədə kəsişməsin). 1, 2, 3, 4, 5 nöqtədə dairə 1, 2, 4, 8, 16 hissəyə bölünür — hər dəfə iki qat. Deməli, 6 nöqtədə 32? Say: cəmi 31. Bir neçə ədəd ardıcıllığı hələ müəyyən etmir — onu qayda verir.

Bu dərsdə

• ardıcıllığı hər natural nömrəyə bir ədəd qarşı qoyan qayda kimi izah edəcək, hədləri an ilə yazacaqsan;
• n-ci həddin düsturu ilə hədləri hesablayacaq, verilmiş ədədin neçənci hədd olduğunu tapacaq və ilk hədlərə görə düstur qurub yoxlayacaqsan;
• rekurrent düsturla hədləri bir-bir tapacaq və onun n-ci həddin düsturu ilə eyni ardıcıllığı verdiyini yoxlayacaqsan.

Çevrədə 1–6 nöqtə: hissələrin sayı 1, 2, 4, 8, 16 və 31

BaşlaYenidənYenidən

1. Hissələri say
2. Tərif
3. n-ci həddin düsturu
4. İlk hədlər kifayət deyil
5. Rekurrent üsul
6. İki yazılış
7. Həyatda
8. Diqqət
9. Özünü yoxla
10. Yekun

1 · Kəşf et

Hissələri say: nömrə və ədəd

Çevrə üzərində n nöqtə qeyd edirik və hər iki nöqtəni vətərlə birləşdiririk. Nöqtələri elə seçirik ki, heç üç vətər bir nöqtədə kəsişməsin. Dairə neçə hissəyə bölünür? Nöqtələrin sayını seç və hissələri say — qonşu hissələr iki fərqli tonla rənglənib.

Neçə nöqtə?

1 2 3 4 5 6

Çevrə, seçilmiş sayda nöqtə və bütün vətərlər

1 nöqtə: vətər yoxdur, dairə bütövdür — a1 = 1 hissə.

2 nöqtə: 1 vətər, kəsişmə yoxdur — a2 = 2 hissə.

3 nöqtə: 3 vətər, kəsişmə yoxdur — a3 = 4 hissə.

4 nöqtə: 6 vətər, 1 kəsişmə nöqtəsi — a4 = 8 hissə.

5 nöqtə: 10 vətər, 5 kəsişmə nöqtəsi — a5 = 16 hissə.

6 nöqtə: 15 vətər, 15 kəsişmə nöqtəsi — a6 = 31 hissə. İki qat artım gözləyirdik (32), amma bir hissə «çatmır».

Hər nöqtə sayına bir hissə sayı uyğun gəlir. 6 nöqtədə 15 vətər var və onlar 15 nöqtədə kəsişir; hissələr 31-dir.

Nəticələri sıraya düzək. Yuxarıda nömrə (nöqtələrin sayı), altında ədəd (hissələrin sayı):

1. 11
2. 22
3. 34
4. 48
5. 516
6. 631

Hər ədədin öz yeri var: birinci yerdə 1, beşinci yerdə 16, altıncı yerdə 31. Belə nömrələnmiş ədədlərə ardıcıllıq deyilir. Altıncı yerdə 32 «gözləyirdik», amma qayda — hissələri saymaq — 31 verir.

Ardıcıllıq üçün düstur da vacib deyil. 2026-cı ilin aylarında günlərin sayı da ardıcıllıqdır: hər ayın nömrəsinə onun günlərinin sayı uyğun gəlir.

1. 131
2. 228
3. 331
4. 430
5. 531
6. 630
7. 731
8. 831
9. 930
10. 1031
11. 1130
12. 1231

Burada 2-ci yerdə 28 durur (2026-cı il uzun il deyil). Ədədlər təkrarlana bilər — 31 yeddi dəfə gəlir — amma hər yerdə yalnız bir ədəd var. Bu ardıcıllıqda düz 12 ədəd var.

2 · Tərif

Ardıcıllıq nədir?

Yadda saxla

«Natural ədədlərlə ardıcıl nömrələnmiş ədədlər çoxluğuna ədədi ardıcıllıq, həmin ədədlərə isə ardıcıllığın hədləri deyilir.»

Birinci hədd a1, ikinci hədd a2, …, n-ci hədd an ilə işarə olunur; ardıcıllığın özü — (an), (bn) və s.

n ↦ an

n — həddin nömrəsi (natural ədəd), an — həmin yerdəki hədd (ədəd).

Ardıcıllıq — hər nömrəyə bir hədd

Kubların ardıcıllığı: an = n3. Hər nömrədən bir ox çıxır — hər nömrəyə yalnız bir hədd.

Əslində ardıcıllıq bir funksiyadır: hər natural n ədədinə bir an ədədi qarşı qoyulur. Adi y = f(x) funksiyasından fərqi — arqument yalnız 1, 2, 3, … qiymətlərini alır. Ona görə də ardıcıllığın qrafiki xətt yox, ayrı-ayrı nöqtələrdir (3-cü mərhələdə görəcəyik).

Sonlu ardıcıllıq

31; 28; 31; …; 31

Ayların günləri: hədlərin sayı məhduddur — 12 hədd, sonuncusu a12 = 31.

Sonsuz ardıcıllıq

1; 8; 27; 64; …

Kublar: hər nömrədən sonra yenisi gəlir, son hədd yoxdur.

Dərslikdə: «Ardıcıllıqlar sonlu və sonsuz ola bilər.»

3 · n-ci həddin düsturu

Nömrəni ver — həddi al

Analitik üsul

«Ardıcıllıq analitik üsulla – nömrəsinə görə istənilən həddini tapmağa imkan verən düsturla verilə bilər. Belə düstura ardıcıllığın n-ci həddinin düsturu deyilir.»

Kublarda düstur an = n3 idi: a4 = 43 = 64. Düsturda n əvəzinə nömrəni yazırıq — əvvəlki hədləri bilmək lazım deyil.

Nümunə 1Hədləri hesabla

xn = (−1)n+1 · (n3 − 1) ardıcıllığının x1, x2, x3 və x10 hədlərini tapın.

1. (−1)n+1 vuruğu işarəni verir: tək n üçün üst cütdür və vuruq 1-dir, cüt n üçün üst təkdir və vuruq −1-dir.
2. x1 = 1 · (1 − 1) = 0; x2 = −1 · (8 − 1) = −7; x3 = 1 · (27 − 1) = 26.
3. 10 cütdür, ona görə işarə mənfidir: x10 = −(1000 − 1) = −999. x1 = 0, x2 = −7, x3 = 26, x10 = −999

Nümunə 2Neçənci hədd?

an = n2 − 5n. 36 bu ardıcıllığın neçənci həddidir? 10 onun həddidirmi?

1. an = 36 yazırıq: n2 − 5n − 36 = 0.
2. D = 25 + 144 = 169 = 132, n = (5 ± 13) : 2, yəni 9 və −4.
3. Nömrə natural ədəddir, −4 rədd olunur. Yoxlama: a9 = 81 − 45 = 36. 36 — 9-cu hədd
4. 10 üçün: n2 − 5n − 10 = 0, D = 25 + 40 = 65 tam kvadrat deyil — natural kök yoxdur. 10 həddi deyil

aₙ = n² − 5n ardıcıllığının nöqtələri və y = 36 xətti

BaşlaYenidənYenidən

Ardıcıllığın qrafiki — parabolanın üzərində yalnız natural n nöqtələri. y = 36 xətti parabolanı iki yerdə kəsir, amma −4 nömrə ola bilməz. y = 10 xətti çəksən, heç bir narıncı nöqtədən keçməz.

Nümunə 3İlk hədlərdən düstur

Ardıcıllığın ilk dörd həddi: 2; −43 / ; 85 / ; −167 / . Bu hədlərə uyğun n-ci həddin düsturunu yazın.

1. İşarə: +, −, +, − — tək nömrədə müsbət, cüt nömrədə mənfi: (−1)n+1.
2. Surət: 2-ni 21 / kimi yazaq. Surətlər 2, 4, 8, 16 — bunlar 2n-dir.
3. Məxrəc: 1, 3, 5, 7 — tək ədədlər, 2n − 1.
4. Hər verilmiş həddə yoxlayırıq: n = 1: +21 / = 2; n = 2: −43 / ; n = 3: +85 / ; n = 4: −167 / . Hamısı uyğundur. bn = (−1)n+1 · 2n2n − 1 /

Düstur dörd verilmiş həddin hamısına uyğundur. Amma beşinci hədd haqqında bu, hələ fərziyyədir — növbəti mərhələdə niyə belə olduğunu görəcəyik.

4 · İlk hədlər kifayət deyil

«1; 2; 4; …»-dən sonra nə gəlir?

«1; 2; 4; …» görən çoxları dərhal «8» deyir. Amma eyni ilk hədləri müxtəlif qaydalar verə bilər. Üç düsturu müqayisə edək:

Eyni başlanğıc, fərqli davam

İkinci düstur 4-cü həddə 7 verir. Üçüncü sütun hook-dakı hissələrin sayıdır. Riyaziyyatçılar sübut ediblər ki, o, belə hesablanır:

rn = (n4 − 6n3 + 23n2 − 18n + 24) : 24

Bu düsturun sübutu bu dərsdən kənardır, amma onu n = 1, …, 6 üçün özün yoxlaya bilərsən. Məsələn, n = 6 üçün:

(1296 − 1296 + 828 − 108 + 24) : 24= 744 : 24 = 31

İlk beş hədd 2n−1 ilə üst-üstə düşür, altıncıda yollar ayrılır.

Səhv düşüncə

1; 2; 4; 8; 16 ⇒ a6 = 32

İlk hədlərdəki qanunauyğunluq qayda deyil, fərziyyədir.

Düzgün

Qayda verilməlidir

Düstur, cədvəl və ya rekurrent düstur ardıcıllığı təyin edir. «İlk hədlərdən düstur tap» tapşırığında ən sadə uyğun düsturu tapır və hər verilmiş həddə yoxlayırıq.

5 · Rekurrent üsul

Hər hədd əvvəlkindən

Yadda saxla

«Ardıcıllığın bəzi hədlərindən başlayaraq, istənilən həddini ondan əvvəlki (bir və ya bir neçə) hədlərlə ifadə edən düstura rekurrent düstur deyilir (latın sözü rekurro – geri dönmək, qayıtmaq mənası verir).»

Rekurrent üsulda iki şey verilir: başlanğıc hədd(lər) və keçid qaydası.

Nümunə 4Addım-addım

a1 = 2, an+1 = 3an − 2. İlk beş həddi tapın.

1. a2 = 3 · 2 − 2 = 4, a3 = 3 · 4 − 2 = 10.
2. a4 = 3 · 10 − 2 = 28, a5 = 3 · 28 − 2 = 82. 2; 4; 10; 28; 82

1. 2
2. ×3 −24
3. ×3 −210
4. ×3 −228
5. ×3 −282

a5-ə çatmaq üçün dörd addım atdıq: a1 → a2 → a3 → a4 → a5. Başlanğıc da vacibdir: eyni qayda a1 = 5 ilə başqa ardıcıllıq verir — 5; 13; 37; …

Keçid qaydası iki əvvəlki həddə də baxa bilər. Belə bir qaydanı 7-ci mərhələdə səki daşlarında görəcəksən.

6 · İki yazılış

Eyni ardıcıllıq — iki təsvir

2; 4; 10; 28; 82 hədlərindən 1 çıxaq: 1; 3; 9; 27; 81 — bunlar 30, 31, 32, 33, 34-dür. Fərziyyə: an = 3n−1 + 1. Beş həddə uyğun gəlməsi hələ sübut deyil (4-cü mərhələ!) — amma burada qayda məlumdur, onunla yoxlaya bilərik.

Nümunə 5Düsturu rekurrent qaydaya yoxla

1. Başlanğıc: n = 1: 30 + 1 = 2 = a1.
2. Keçid: an = 3n−1 + 1 olsa, an+1 = 3an − 2= 3 · 3n−1 + 3 − 2= 3n + 1 — bu, düsturun n + 1 üçün yazılışıdır.
3. Domino kimi: a1 düzdür, hər düz hədd növbətini düz edir — deməli, düstur bütün hədlər üçün doğrudur. an = 3n−1 + 1

Eyni hədlərə iki yol: rekurrent və düsturla

BaşlaYenidənYenidən

Yuxarıda rekurrent yol: hər hədd əvvəlkindən. Aşağıda düstur: nömrədən birbaşa həddə. Hər iki yol eyni narıncı hədlərə gəlir.

Fərq sürətdədir. a20-ni düstur bir addımda verir:

a20 = 319 + 1 = 1 162 261 468

Rekurrent üsulla isə 19 addım atmaq lazımdır. Bəzən isə əksinə — situasiyanı rekurrent qayda ilə yazmaq daha asandır.

7 · Həyatda

Səki daşları neçə cür düzülər?

Eni 2, uzunluğu n olan zolağı (məsələn, metrlə) iki növ daşla örtürük: 1 × 2 uzunsov daş (eninə və ya uzununa qoyula bilər) və 2 × 2 kvadrat daş — boz (B) və ya qırmızı (Q). Daşlar kəsilmir, zolaq tam örtülür. Neçə müxtəlif düzülüş var? Bu say tn olsun.

• uzunsov daş 1 × 2
• boz kvadrat 2 × 2
• qırmızı kvadrat 2 × 2

Uzunluğu 1, 2 və 3 olan zolağın bütün örtükləri

Hamısını saydıq: t1 = 1, t2 = 4, t3 = 7.

Saymaq tez çətinləşir. Bunun əvəzinə soldakı ilk daşa baxaq — yalnız üç hal var:

Soldakı ilk daşa görə üç hal

İlk daş qalan zolağın uzunluğunu müəyyən edir; qalan hissəni istənilən üsulla örtmək olar.

tn = tn−1 + 3tn−2, n ≥ 3

Bu, iki addımlı rekurrent düsturdur: hər hədd iki əvvəlkindən alınır, başlanğıcda iki hədd lazımdır. Yoxlama: t3 = 4 + 3 · 1 = 7 — şəkildə saydığımız kimi.

Düzülüşlərin sayı

t4 = 7 + 3 · 4 = 19t5 = 19 + 3 · 7 = 40t6 = 40 + 3 · 19 = 97

Uzunluğu 6 olan zolağı 97 üsulla örtmək olar — hamısını çəkib saymadan. Bu, sadələşdirilmiş modeldir: real səkidə daşlar kəsilə, ölçüləri fərqli ola bilər.

8 · Diqqət

Tipik səhvlər

Nömrə ilə hədd qarışıb

an = n3: 27 — 27-ci hədd

27 həddin özüdür, nömrəsi deyil.

Düzgün

27 = a3

Nömrə 3, hədd 27.

Cüt nömrədə işarə

x2 = 7

(−1)n+1 vuruğu unudulub.

Düzgün

x2 = (−1)3 · 7 = −7

Cüt n üçün n + 1 təkdir, vuruq −1-dir.

Mənfi kök saxlanıb

36 — 9-cu və −4-cü hədd

Tənliyin kökü hələ nömrə deyil.

Düzgün

yalnız n = 9

Nömrə natural ədəddir: 1, 2, 3, …

Addımlar səhv sayılıb

a1-dən a5-ə 5 addım

Beş addım a6-ya aparır.

Düzgün

4 addım

a1 → a2 → a3 → a4 → a5.

9 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan π ədədinin rəqəmləri ardıcıllıq əmələ gətirir: 3; 1; 4; 1; 5; 9; 2; 6; … Bu ardıcıllığın altıncı həddi hansıdır? Cavab variantları 5 9 6 2 Düzdür! Altıncı yerdə 9 durur. Yerləri say: 1-ci yer 3, 2-ci yer 1, … Nömrə 6 — həddin özü deyil. Həllə bax a1 = 3, a2 = 1, a3 = 4, a4 = 1, a5 = 5, a6 = 9. Bu ardıcıllığın sadə düsturu yoxdur, amma qayda var: π-nin rəqəmləri.
2. Asan yn = 2n − 3n. y5 neçəyə bərabərdir? Cavab variantları −5 17 47 Əla! 32 − 15 = 17. 25 «2 · 5» deyil, və 3n çıxılır. Həllə bax y5 = 25 − 3 · 5 = 32 − 15 = 17.
3. Orta zn = n2 + 4n. 140 bu ardıcıllığın neçənci həddidir? Cavab variantları 10-cu 10-cu və −14-cü 14-cü Düzdür! 100 + 40 = 140. Tənliyi yaz: n2 + 4n − 140 = 0; köklərdən yalnız natural olanı nömrədir. Həllə bax n2 + 4n − 140 = 0, D = 16 + 560 = 576 = 242, n = (−4 ± 24) : 2 = 10 və ya −14. −14 nömrə deyil. Yoxlama: z10 = 100 + 40 = 140.
4. Orta Ardıcıllığın ilk dörd həddi: −13 / ; 29 / ; −327 / ; 481 / . Hansı düstur bu hədlərin hamısına uyğundur? Cavab variantları (−1)n+1 · n3n / (−1)n · n3n / (−1)n · n3n / Düzdür! İşarə, surət və məxrəc hər həddə uyğundur. Hər variantı dörd həddin hamısına yoxla: birinci hədd mənfidir, məxrəclər 3, 9, 27, 81-dir. Həllə bax Tək nömrələrdə mənfi işarə: (−1)n. Surətlər 1, 2, 3, 4 = n; məxrəclər 3, 9, 27, 81 = 3n. (−1)n+1 birinci həddi müsbət edərdi; 3n məxrəci ikinci həddə 26 / verir, 29 / yox.
5. Çətin b1 = 2, bn+1 = 6 − bn. b100 neçəyə bərabərdir? Cavab variantları 2 4 100 həddi yazmadan tapmaq olmaz Əla! Hədlər 2; 4; 2; 4; … növbələnir, cüt nömrədə 4. İlk bir neçə həddi yaz və qanunauyğunluğu qaydanın özü ilə izah et. Həllə bax b2 = 6 − 2 = 4, b3 = 6 − 4 = 2, b4 = 4, … Hər addım 2-ni 4-ə, 4-ü 2-yə çevirir, ona görə tək nömrədə 2, cüt nömrədə 4 olur. 100 cütdür: b100 = 4.
6. Çətin a1 = 3, an+1 = 2an − 1. Hansı düstur bu ardıcıllığın n-ci həddinin düsturudur? Cavab variantları 2n + 1 2n−1 + 2 2n + 1 Düzdür! Həm başlanğıc, həm keçid yoxlanır. Bir neçə həddi hesabla (3; 5; 9; …) və hər variantı yoxla — bir-iki hədd kifayət deyil. Həllə bax Hədlər: 3; 5; 9; 17. 2n + 1 üçüncü həddə 7 verir (səhv). 2n−1 + 2 yalnız birinci həddə uyğundur, ikinci həddə 4 verir (səhv). 2n + 1: a1 = 3 və 2(2n + 1) − 1 = 2n+1 + 1 — keçid də doğrudur.

Yekun

Yadda qalanlar

• n ↦ anArdıcıllıq qaydadır: hər natural nömrəyə bir hədd. Bir neçə ilk hədd qaydanı təyin etmir.
• an = düsturn-ci həddin düsturu istənilən həddi birbaşa verir; «neçənci hədd?» sualında yalnız natural kök götürülür.
• a1, an+1 ← anRekurrent düstur hədləri bir-bir verir; düsturla eyniliyi başlanğıc və keçidlə yoxlanır.

Növbəti mövzu 4.64-də hər həddi əvvəlkindən eyni qaydaya görə alınan xüsusi ardıcıllıqlarla tanış olacaqsan.

Mənbə: «Riyaziyyat» — 9-cu sinif üçün dərslik, «9-1. Ədədi ardıcıllıq» (bölmənin nömrəsiz giriş səhifəsi və səh. 191–193): tərif və işarələr, sonlu və sonsuz ardıcıllıqlar, analitik və rekurrent üsul cümlələri oradan götürülüb. Çevrə və vətərlər, aylar, kublar, səki daşları və bütün nümunələrdəki ədədlər bu dərs üçün seçilib. Hissələrin sayının düsturu (Mozer məsələsi kimi tanınır) dərslikdə yoxdur; burada yalnız n = 1, …, 6 üçün yoxlanır.