İrrasional tənliklər

• 4.32
• 9-cu sinif
• Tənliklər

İrrasional tənliklər

Nərmin kvadrat kök altında 2x + 7 = x + 2 tənliyini kvadrata yüksəldib iki cavab tapdı: 1 və −3. Yoxlama onlardan yalnız birini saxlayır. İkinci «kök» haradan gəldi? Qrafikə bax: kvadrata yüksəltmə tənliyə kökün mənfi əkizini də qatır.

Bu dərsdə

• kvadrata yüksəltmənin niyə tənliyi ödəməyən kök verə bildiyini qrafiklə izah edəcəksən;
• radikalı təkləyib kvadrata və ya kuba yüksəldərək tənliyi həll edəcək, hər kökü yoxlayacaqsan;
• yeni dəyişən, vuruqlara ayırma və Pifaqor teoremi ilə daha mürəkkəb tənlikləri həll edəcəksən.

Tənliyin iki tərəfinin qrafiki və kvadratın əlavə etdiyi əkiz budaq

Başla Yenidən Yenidən

1. Kvadrat işarəni unudur
2. Qayda
3. Hesabla
4. Kub kök
5. İki radikal
6. Yeni dəyişən
7. Diqqət
8. Həyatda
9. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Kvadrat işarəni unudur

Hook-dakı iki cavabı yoxlayaq. x = 1 olduqda sol tərəf kvadrat kök altında 2 · 1 + 7 = kvadrat kök altında 9 = 3, sağ tərəf 1 + 2 = 3 — tənlik ödənir. x = −3 olduqda sol tərəf kvadrat kök altında 2 · (−3) + 7 = kvadrat kök altında 1 = 1, sağ tərəf isə −3 + 2 = −1. 1 ≠ −1 — tənlik ödənmir.

Bəs kvadrata yüksəltdikdən sonra −3 niyə «kök» kimi göründü? Çünki kvadrat ədədin işarəsini unudur: 3 ≠ −3, amma 32 = (−3)2 = 9. Eyni şəkildə 1 ≠ −1, amma 12 = (−1)2. Bərabər ədədlərin kvadratları bərabərdir, tərsi isə doğru deyil: a2 = b2 həm a = b, həm də a = −b olduqda ödənir.

Qrafikdə bunu üç addımda gör. Tənliyin hər tərəfi bir funksiyadır: sol tərəf — mavi yarım-parabola, sağ tərəf — narıncı düz xətt.

Hansı tənliyə baxaq?

Verilmiş tənlik Kvadrata yüksəldilmiş x = −3-ü yoxla

Verilmiş tənlik, kvadrata yüksəldilmiş tənlik və x = −3-ün yoxlanışı

kvadrat kök altında 2x + 7 = x + 2: mavi əyri ilə narıncı xəttin bir ortaq nöqtəsi var — (1; 3). Deməli, tənliyin bir kökü var: x = 1.

2x + 7 = (x + 2)2: bu bərabərliyi həm kvadrat kök altında 2x + 7 = x + 2, həm də −kvadrat kök altında 2x + 7 = x + 2 ödəyir. Kvadrat tənlik qırmızı əkiz budağı da tutur, ona görə ortaq nöqtə iki olur: (1; 3) və (−3; −1).

x = −3: sol tərəf kvadrat kök altında 1 = 1 (mavi nöqtə), sağ tərəf −1 (qırmızı nöqtə). 12 = (−1)2 olduğu üçün kvadrat tənlik ödənir, verilmiş tənlik isə yox: −3 artıq kökdür.

Qrafik üsul

Tənliyin iki tərəfini ayrı-ayrı funksiya kimi çəksək, köklər qrafiklərin ortaq nöqtələrinin absisləridir, köklərin sayı isə ortaq nöqtələrin sayıdır. Burada ortaq nöqtə birdir — x = 1. Qrafik təxmini ola bilər, ona görə tapdığın ədədi yenə tənlikdə yoxla.

2 · Qayda

Təklə, yüksəlt, həll et, yoxla

Dərslik tərifi belə verir: «Dəyişəni radikal işarəsi altında (və ya kəsr üstlü qüvvətə yüksəldilmiş) olan tənliklərə irrasional tənliklər deyilir». Məsələn: kvadrat kök altında 5 − x = 2, 3-cü dərəcədən kök altında x + 1 = x − 1, x14 = 3. kvadrat kök altında 2 · x = 6 isə irrasional tənlik deyil: kök altında yalnız ədəd var, bu, xətti tənlikdir.

Yadda saxla

İrrasional tənliyi həll etmək üçün radikaldan qüvvətə yüksəltmə ilə azad oluruq:

1. təklə — radikallı ifadəni tənliyin bir tərəfində tək saxla;
2. yüksəlt — kvadrat kökdə hər tərəfi kvadrata, kub kökdə kuba yüksəlt;
3. həll et — alınan tənliyi həll et;
4. yoxla — hər kökü verilmiş tənlikdə yoxla: «tənlik ödənir» və ya «ödənmir».

A = B ⇒ A2 = B2, amma A2 = B2 ⇒ A = B və ya A = −B

Dərslikdə deyildiyi kimi, cüt dərəcədən qüvvətə yüksəltmə aparıldıqda yeni tənlikdə dəyişənin mümkün qiymətləri çoxluğu genişlənə bilər. Ona görə alınmış köklərin verilmiş tənliyi ödəyib-ödəmədiyini yoxlamaq lazımdır. Tənliyi ödəməyən belə kökə artıq kök deyəcəyik.

Hesabi kök mənfi deyil

kvadrat kök altında A ≥ 0. Təklənmiş kök mənfi ədədə bərabər çıxsa, məsələn kvadrat kök altında A = −2, tənliyin kökü yoxdur: cavab ∅.

Mümkün qiymətlər

kvadrat kök altında x − 5 + kvadrat kök altında 2 − x = 3: birinci kök üçün x ≥ 5, ikinci üçün x ≤ 2 lazımdır. Belə ədəd yoxdur, deməli, hesablamadan cavab ∅.

Tək dərəcə

Kub kök mənfi ola bilər: 3-cü dərəcədən kök altında −8 = −2. Kuba yüksəltmə işarəni saxlayır, ona görə artıq kök yaranmır.

3 · Hesabla

Bir radikal, bir kvadrat

Üç nümunədə üç fərqli sonluq var: bir kök, heç bir kök və artıq kökün atılması. Hər birində addımlar eynidir.

Nümunə 1Bir dəfə kvadrat

Tənliyi həll edin: kvadrat kök altında 7x + 2 − 3 = 1.

1. Radikalı təkləyirik: kvadrat kök altında 7x + 2 = 1 + 3, yəni kvadrat kök altında 7x + 2 = 4. Sağ tərəf mənfi deyil — kök ola bilər.
2. Kvadrata yüksəldirik: 7x + 2 = 16.
3. Həll edirik: 7x = 14, x = 2.
4. Yoxlama: kvadrat kök altında 7 · 2 + 2 − 3 = kvadrat kök altında 16 − 3 = 1. Tənlik ödənir ✓. Cavab: {2}

Nümunə 2Kökü olmayan tənlik

Tənliyi həll edin: 9 − 2kvadrat kök altında x + 3 = 17.

1. Radikallı həddi təkləyirik: −2kvadrat kök altında x + 3 = 17 − 9 = 8. Hər tərəfi −2-yə bölürük: kvadrat kök altında x + 3 = −4.
2. Hesabi kvadrat kök mənfi olmayan ədəddir, −4-ə bərabər ola bilməz. Burada dayanırıq.
3. Diqqətsiz kvadrata yüksəltsəydik: x + 3 = 16, x = 13. Yoxlama bunu da rədd edir: 9 − 2kvadrat kök altında 16 = 1 ≠ 17 ✗. Cavab: ∅

Nümunə 3Artıq kökü at

Tənliyi həll edin: x − kvadrat kök altında x + 2 = 4.

1. Radikalı təkləyirik: kvadrat kök altında x + 2 = x − 4.
2. Kvadrata yüksəldirik: x + 2 = (x − 4)2 = x2 − 8x + 16.
3. Sadələşdiririk: x2 − 9x + 14 = 0, buradan x1 = 2, x2 = 7 (yoxla: 2 + 7 = 9, 2 · 7 = 14).
4. Yoxlama: x = 7: 7 − kvadrat kök altında 9 = 4 — ödənir ✓; x = 2: 2 − kvadrat kök altında 4 = 0 ≠ 4 — ödənmir ✗. Cavab: {7}

Qısa yol: kvadrat kök altında x + 2 = x − 4 bərabərliyində sol tərəf mənfi deyil, deməli, x − 4 ≥ 0, yəni x ≥ 4. x = 2 bu şərti ödəmir. Yenə də son sözü yoxlama deyir.

4 · Kub kök

Tək dərəcədə işarə itmir

Kub üçün 23 = 8, (−2)3 = −8: fərqli ədədlərin kubları da fərqlidir. Ona görə kuba yüksəltmə yeni kök qatmır, yoxlama yalnız hesab səhvlərini tutur. Kvadrat kökdəki «mənfi ⇒ ∅» qaydası burada işləmir.

Nümunə 4Kuba yüksəlt

Tənliyi həll edin: 3-cü dərəcədən kök altında x − 5 + 4 = 1.

1. Radikalı təkləyirik: 3-cü dərəcədən kök altında x − 5 = −3. Kub kök mənfi ola bilər: 3-cü dərəcədən kök altında −27 = −3, ona görə dayanmırıq.
2. Kuba yüksəldirik: x − 5 = (−3)3 = −27.
3. Həll edirik: x = −22.
4. Yoxlama: 3-cü dərəcədən kök altında −22 − 5 + 4 = 3-cü dərəcədən kök altında −27 + 4 = −3 + 4 = 1 ✓. Cavab: {−22}

5 · İki radikal

Radikalları bir-bir təklə

İki radikal olanda hər ikisini birdən kvadrata yüksəltmək olmaz: (a + b)2 ≠ a2 + b2. Əvvəl birini təkləyirik, kvadrata yüksəldirik, sonra qalan radikal üçün eyni işi təkrarlayırıq.

Nümunə 5İki dəfə kvadrat

Tənliyi həll edin: kvadrat kök altında 2x + 1 + kvadrat kök altında x − 3 = 4.

1. Mümkün qiymətlər: 2x + 1 ≥ 0 və x − 3 ≥ 0, yəni x ≥ 3.
2. Bir radikalı təkləyirik: kvadrat kök altında 2x + 1 = 4 − kvadrat kök altında x − 3.
3. Kvadrata yüksəldirik, sağda (a − b)2 = a2 − 2ab + b2: 2x + 1 = 16 − 8kvadrat kök altında x − 3 + x − 3.
4. Qalan radikalı təkləyirik: 8kvadrat kök altında x − 3 = 12 − x.
5. Yenə kvadrata yüksəldirik: 64(x − 3) = 144 − 24x + x2, yəni x2 − 88x + 336 = 0. Diskriminant 882 − 4 · 336 = 6400 = 802, köklər x1 = 4, x2 = 84.
6. Yoxlama: x = 4: kvadrat kök altında 9 + kvadrat kök altında 1 = 3 + 1 = 4 ✓; x = 84: kvadrat kök altında 169 + kvadrat kök altında 81 = 13 + 9 = 22 ≠ 4 ✗. 4-cü addımda 12 − 84 < 0 idi — sol tərəf isə mənfi ola bilməz. Cavab: {4}

6 · Yeni dəyişən

Kvadrat tənliyə gətir

Tənlikdə eyni radikal həm özü, həm də kvadratı ilə iştirak edirsə, onu yeni dəyişənlə əvəz edirik. Yeni dəyişənin özü də kökdür, ona görə mənfi ola bilməz.

Nümunə 6Yeni dəyişən

Tənliyi həll edin: kvadrat kök altında x − 24-cü dərəcədən kök altında x − 3 = 0.

1. Mümkün qiymətlər: x ≥ 0. 4-cü dərəcədən kök altında x = t götürək (t ≥ 0); onda kvadrat kök altında x = t2, çünki (4-cü dərəcədən kök altında x)2 = kvadrat kök altında x.
2. Tənlik kvadrat tənliyə çevrilir: t2 − 2t − 3 = 0, t1 = 3, t2 = −1.
3. t = −1 olmaz: 4-cü dərəcədən kök altında x mənfi deyil. t = 3: 4-cü dərəcədən kök altında x = 3, x = 34 = 81.
4. Yoxlama: kvadrat kök altında 81 − 24-cü dərəcədən kök altında 81 − 3 = 9 − 6 − 3 = 0 ✓. Cavab: {81}

Nümunə 7Vuruqlara ayır

Tənliyi həll edin: x23 + x13 − 42 = 0.

1. x23 = (x13)2. Dərslikdəki «Firuzun həlli» kimi sol tərəfi vuruqlara ayırırıq: (x13 + 7)(x13 − 6) = 0.
2. x13 = 6 ⇒ (x13)3 = 63, x = 216.
3. x13 = −7: kökü yoxdur — mənfi ədədlər üçün kəsr üstlü qüvvətə baxılmır (4.9), müsbət x üçün isə x13 müsbətdir.
4. Yoxlama: 21623 + 21613 − 42 = 36 + 6 − 42 = 0 ✓. Cavab: {216}

7 · Diqqət

Beş tipik səhv

Hər cütdə solda tez-tez görülən səhv, sağda düzgün yol.

Səhv

kvadrat kök altında x + 1 + 3 = 7 ⇒ x + 1 + 9 = 49

Radikal təklənmədən hədd-hədd kvadrata yüksəldilib: (a + 3)2 ≠ a2 + 9. Alınan 39 tənliyi ödəmir.

Düzgün

kvadrat kök altında x + 1 = 4 ⇒ x = 15

Əvvəl təklə, sonra kvadrata yüksəlt. Yoxlama: kvadrat kök altında 16 + 3 = 7.

Səhv

kvadrat kök altında x + 1 = x − 1 ⇒ x + 1 = x2 − 1

(x − 1)2 açılarkən −2x həddi unudulub.

Düzgün

x + 1 = x2 − 2x + 1 ⇒ x2 − 3x = 0

Köklər 0 və 3; yoxlama 0-ı atır (1 ≠ −1), cavab {3}.

Səhv

kvadrat kök altında 2x + 7 = x + 2 ⇒ Cavab: {1; −3}

Kvadrat tənliyin kökləri yoxlanmadan cavaba yazılıb.

Düzgün

Cavab: {1}

Yoxlama −3-ü atır: sol tərəf 1, sağ tərəf −1.

Səhv

t = −1 ⇒ x = (−1)4 = 1

4-cü dərəcədən kök altında x = −1 ola bilməz. x = 1 yoxlamada 1 − 2 − 3 = −4 ≠ 0 verir.

Düzgün

t ≥ 0 ⇒ yalnız t = 3

Yeni dəyişən kökdürsə, mənfi qiyməti dərhal atılır.

Səhv

3-cü dərəcədən kök altında x − 5 = −3 ⇒ ∅

Kub kök kvadrat kök kimi düşünülüb. Mənfi ədədin kub kökü var.

Düzgün

x − 5 = −27 ⇒ x = −22

∅ qaydası yalnız cüt dərəcəli köklərə aiddir.

8 · Həyatda

Mayaka kabel

Sahildəki S stansiyasından dənizdəki M mayakına kabel çəkilir: əvvəl sahil boyunca C nöqtəsinə qədər, sonra suyun altından düz xətlə. Mayak sahildən 120 m aralıdır, onun sahildəki proyeksiyası H stansiyadan 210 m-dir. Kabelin hamısı 290 m-dir. Kabel sahildə neçə metr getməlidir?

Stansiyadan mayaka kabel: sahil boyunca və suyun altından

Sxem miqyaslıdır. Sualtı hissə CM düzbucaqlı CHM üçbucağının hipotenuzudur (sahil düz xətt kimi götürülüb).

1. SC = x olsun. Onda CH = 210 − x, Pifaqor teoremi ilə CM = kvadrat kök altında (210 − x)2 + 1202
2. Tənlik: x + kvadrat kök altında (210 − x)2 + 14 400 = 290 Radikalı təkləyirik: kvadrat kök altında (210 − x)2 + 14 400 = 290 − x
3. Kvadrata yüksəldirik: (210 − x)2 + 14 400 = (290 − x)2. x2 hər iki tərəfdə var və ixtisar olunur: 44 100 − 420x + 14 400 = 84 100 − 580x, 160x = 25 600, x = 160.
4. Yoxlama: CH = 50, CM = kvadrat kök altında 502 + 1202 = kvadrat kök altında 16 900 = 130 160 + 130 = 290 ✓. Həm də 290 − 160 ≥ 0.

Sahildə 160 m, suyun altında 130 m

9 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Variantı seç: düz cavab yaşıl, səhv cavab qırmızı işıqlanacaq. Həllə də baxa bilərsən.

1. Asan kvadrat kök altında 5x − 1 − 2 = 5 tənliyinin kökü hansıdır? Cavab variantları 2 1,6 10 4,4 Düzdür! kvadrat kök altında 49 − 2 = 5. Yox. Əvvəl radikalı təklə: kvadrat kök altında 5x − 1 = 7, sonra kvadrata yüksəlt. Həllə bax kvadrat kök altında 5x − 1 = 7 ⇒ 5x − 1 = 49 ⇒ x = 10. Yoxlama: kvadrat kök altında 49 − 2 = 5. 2 cavabı −2-nin səhv işarə ilə keçirilməsindən, 1,6 kvadrata yüksəltməni unutmaqdan, 4,4 təkləmədən kvadrata yüksəltməkdən alınır.
2. Asan 3-cü dərəcədən kök altında 2x − 1 = −3 tənliyinin kökü hansıdır? Cavab variantları kökü yoxdur −13 5 14 Düzdür! 3-cü dərəcədən kök altında −27 = −3. Yox. Kub kök mənfi ola bilər; hər tərəfi kuba yüksəlt: (−3)3 = −27. Həllə bax 2x − 1 = (−3)3 = −27 ⇒ x = −13. «Kökü yoxdur» kub kökü kvadrat kök kimi düşünməkdir; 5 kvadrata yüksəltməkdən, 14 isə (−3)³-ü 27 yazmaqdan alınır.
3. Orta kvadrat kök altında x + 7 = x − 5 tənliyini həll edin. Cavab variantları {9} {2; 9} {2} ∅ Düzdür! Yoxlama 2-ni atır. Yox. Kvadrat tənliyin hər kökünü verilmiş tənlikdə yoxla. Həllə bax x + 7 = x2 − 10x + 25 ⇒ x2 − 11x + 18 = 0, köklər 2 və 9. x = 9: kvadrat kök altında 16 = 4 = 9 − 5 ✓; x = 2: kvadrat kök altında 9 = 3, sağ tərəf −3 ✗. Cavab {9}.
4. Orta x − 5kvadrat kök altında x + 4 = 0 tənliyini həll edin. Cavab variantları {1; 4} {16} {1; 2} {1; 16} Düzdür! Hər iki t müsbətdir, hər ikisi bir x verir. Yox. kvadrat kök altında x = t qiymətlərini tapdıqdan sonra x = t2 hesabla. Həllə bax kvadrat kök altında x = t, t ≥ 0: t2 − 5t + 4 = 0, t = 1 və t = 4, hər ikisi mənfi deyil. x = 1 və x = 16. Yoxlama: 1 − 5 + 4 = 0, 16 − 20 + 4 = 0. {1; 4} — t-nin qiymətləridir, {1; 2} isə x = kvadrat kök altında t yazmaqdan alınır.
5. Çətin kvadrat kök altında x + 5 − kvadrat kök altında x − 2 = 1 tənliyinin kökü hansıdır? Cavab variantları 5 kökü yoxdur 38 11 Düzdür! kvadrat kök altında 16 − kvadrat kök altında 9 = 1. Yox. Bir radikalı təklə, kvadrata yüksəlt, qalan radikalı yenə təklə. Həllə bax kvadrat kök altında x + 5 = 1 + kvadrat kök altında x − 2 ⇒ x + 5 = 1 + 2kvadrat kök altında x − 2 + x − 2 ⇒ 2kvadrat kök altında x − 2 = 6 ⇒ kvadrat kök altında x − 2 = 3 ⇒ x = 11. 5 son kvadratı unutmaqdan, 38 isə 6-nı kvadrata yüksəltməkdən alınır; «kökü yoxdur» hər həddi ayrıca kvadrata yüksəltməkdən çıxır.
6. Çətin kvadrat kök altında x + 9 = 3 − x tənliyinin neçə kökü var? Cavab variantları 2 0 1 sonsuz sayda Düzdür! Yeganə kök x = 0-dır. Yox. Kvadrat tənliyin köklərini tap və hər birini yoxla; 0 da kök ola bilər. Həllə bax x + 9 = 9 − 6x + x2 ⇒ x2 − 7x = 0, köklər 0 və 7. x = 0: kvadrat kök altında 9 = 3 = 3 − 0 ✓; x = 7: kvadrat kök altında 16 = 4, sağ tərəf −4 ✗. Bir kök var. Qrafikdə də yarım-parabola ilə azalan düz xəttin bir ortaq nöqtəsi var.

Yekun

Yadda qalanlar

• Təklə → yüksəlt → həll et → yoxlaRadikalı tək saxla, kvadrata (kuba) yüksəlt, alınan tənliyi həll et və hər kökü verilmiş tənlikdə yoxla.
• Kvadrat işarəni unudurKvadrata yüksəldilmiş tənlik kökün mənfi əkizini də tutur — artıq kök buradan gəlir. Təklənmiş kvadrat kök mənfi ədədə bərabərdirsə, cavab ∅.
• Yeni dəyişən ≥ 0, kub kök isə istənilənkvadrat kök altında x = t, 4-cü dərəcədən kök altında x = t əvəzləməsində t ≥ 0; kub kök mənfi ola bilər və artıq kök yaratmır.

Növbəti mövzu: 4.33 Tənliklər sistemi

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 9-cu sinif», «5-4 İrrasional tənliklər», səh. 103–105 (tərif, yoxlama haqqında qeyd, addımlar, yeni dəyişən, «Firuzun həlli», qrafik üsul). Mənfi əsaslı kəsr üstlü qüvvət haqqında qeyd: həmin dərslik, «Rasional üstlü qüvvət», səh. 21. Nümunələrdəki tənliklər və ədədlər bu dərs üçün seçilib; kabel məsələsi sadələşdirilmiş modeldir (düz sahil, düz sualtı xətt).