Həqiqi ədədlər

• 3.2
• 8-ci sinif
• Kvadrat kök. Həqiqi ədədlər

Həqiqi ədədlər

Tərəfi 1 olan kvadratın diaqonalı hansı ədəddir? Pifaqorçular hər uzunluğu iki natural ədədin nisbəti sanırdılar. Rəvayətə görə, onların tələbəsi Hipasus bu diaqonalın — √2-nin heç bir kəsrə bərabər olmadığını isbat etdi və «sirri açdığı» üçün dənizə atıldı.

Bu dərsdə

• rasional və irrasional ədədləri onluq yazılışına görə fərqləndirəcək, ədədin N, Z, Q, İ və R çoxluqlarından hansılarına daxil olduğunu deyəcəksən;
• √n-i iki ardıcıl tam ədəd arasında yerləşdirəcək, ədəd oxunda göstərəcək, ondabirə və yüzdəbirə qədər sıxışdıracaqsan;
• kökləri, sonlu və dövri onluq kəsrləri müqayisə edib artan sıra ilə düzəcəksən.

Vahid kvadratın diaqonalı ədəd oxunda √2 nöqtəsini verir

Başla Yenidən Yenidən

1. Diaqonal
2. Onluq iz
3. Qayda
4. Çoxluqlar
5. Ədəd oxu
6. Kökü sıxışdır
7. Təxmin
8. Müqayisə
9. Diqqət
10. Həyatda
11. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Diaqonal hansı ədəddir?

Dörd vahid kvadratdan 2 × 2 kvadrat düzəldək və hər kiçik kvadratda bir diaqonal çəkək. Dörd diaqonal ortada çəpəki bir kvadrat əmələ gətirir.

Sahəsi 2 olan çəpəki kvadrat

Çəpəki kvadrat dörd yarım vahid kvadratdan ibarətdir, sahəsi 4 · 12 / = 2. Onun tərəfi vahid kvadratın diaqonalıdır. Kvadratı 2 olan müsbət ədəd √2-dir.

Kalkulyator √2 = 1,41421356… göstərir. Bəlkə bu, sadəcə uzun bir kəsrdir? Kvadratı 2-yə çox yaxın olan kəsrlər var. mn / kəsrinin kvadratı 2 olsaydı, m² = 2n² olardı. Yoxlayaq:

Kvadratı 2-yə yaxın kəsrlər

Fərq hər dəfə cəmi 1-dir: (577/408)² ≈ 2,000006 — çox yaxın, amma 2 deyil. Daha böyük kəsrlər də bərabərlik vermir. Səbəbi aşağıdakı sübutdadır.

Sübut√2 kəsr deyil

Fərz edək ki, √2 = mn / , burada m və n natural ədədlərdir və kəsr ixtisar olunmayandır.

1. Kvadrata yüksəldirik: m² = 2n². Deməli, m² cüt ədəddir.
2. Tək ədədin kvadratı təkdir, ona görə m özü cütdür: m = 2k.
3. Yerinə yazırıq: 4k² = 2n², yəni n² = 2k². Deməli, n² də, n də cütdür.
4. m və n ikisi də cütdür, onda kəsr 2-yə ixtisar olunur. Bu, fərziyyəyə ziddir. √2 heç bir mn / kəsrinə bərabər deyil

Dərslikdəki 13-cü çalışma bu sübutu boşluqları doldurmaqla qurdurur və eyni yolla √3 üçün sübut istəyir.

2 · Kəşf et

Kəsrin onluq izi

Kəsri onluq kəsrə çevirmək üçün surəti məxrəcə bölürük. Üç kəsrə baxaq:

78 / = 0,875 712 / = 0,58333… = 0,58(3) 27 / = 0,285714285714… = 0,(285714)

7-ni 8-ə böləndə bölmə qurtarır: 0,875 sonlu onluq kəsrdir. Son iki yazılış isə sonsuzdur, amma rəqəmlər eyni sıra ilə təkrarlanır. Belə kəsr sonsuz dövri onluq kəsr adlanır, təkrarlanan hissə mötərizədə yazılır.

2/7 bölünərkən qalıqların dövrü

Başla Yenidən Yenidən

Kvadratlarda qalıqlar, mavi rəqəmlər qismətin rəqəmləridir. Qalığı 10-a vurub 7-yə bölürük: 2 → 6 → 4 → 5 → 1 → 3 və yenə 2. Dövr 285714-dür.

Niyə rəqəmlər təkrarlanır? 7-yə bölmədə qalıq yalnız 0, 1, 2, 3, 4, 5 və ya 6 ola bilər. Qalıq 0 olsa, bölmə qurtarır. Olmasa, ən çoxu 6 addımdan sonra əvvəlki qalıqlardan biri qayıdır və rəqəmlər yenidən eyni sıra ilə gəlir.

Deməli, istənilən kəsrin onluq yazılışı ya sonlu, ya da sonsuz dövri olur.

Tərsi də doğrudur: hər sonsuz dövri onluq kəsr müəyyən rasional ədədi ifadə edir.

x = 0,(135) 1000x = 135,(135) 1000x − x = 135, yəni 999x = 135 x = 135999 / = 537 /

İndi √2 haqqında nə deyə bilərik? O, kəsr deyil. Kəsrlərin yazılışı ya sonlu, ya da dövridir, ona görə √2 = 1,41421356… sonsuzdur və heç vaxt dövrə girmir.

3 · Qayda

Rasional, irrasional, həqiqi

Yadda saxla

Rasional ədəd mn / kəsri şəklində yazıla bilən ədəddir (m ∈ Z, n ∈ N). Onun onluq yazılışı sonlu və ya sonsuz dövri onluq kəsrdir. Rasional ədədlər çoxluğu Q ilə işarə olunur.

İrrasional ədəd dövrü olmayan sonsuz onluq kəsrdir, onu mn / şəklində yazmaq olmaz. İrrasional ədədlər çoxluğu İ ilə işarə olunur.

R = Q ∪ İ

Rasional və irrasional ədədlər birlikdə həqiqi ədədlər çoxluğu R-i əmələ gətirir: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Tam kvadrat olmayan ədədin kökü

√3, √34, √68 ∈ İ

n natural ədədin kvadratı deyilsə, √n irrasionaldır. Amma √256 = 16 rasionaldır, çünki 16² = 256.

Kökdən başqa irrasionallar

π = 3,14159…

π heç bir rasional ədədin kökü deyil, amma irrasionaldır. 0,505005000… da irrasionaldır: sıfırlar hər dəfə bir artır, dövr yoxdur.

Onluq yazılış növü göstərir

4 · Laboratoriya

Hər ədədin öz yeri

Ədədi seç: xəritədə onu saxlayan bütün çoxluqlar qalın çərçivə ilə işıqlanacaq. N-dəki ədəd həm də Z, Q və R çoxluqlarındadır, çünki N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Ədəd

√256 −66 −3/8 1,3(8) √34 0,505005…

√256 = 16, çünki 16² = 256: natural, tam, rasional və həqiqi ədəddir.

−66: tam, rasional və həqiqi ədəddir. Natural deyil — natural ədədlər müsbətdir.

−3/8 = −0,375: rasional və həqiqi ədəddir, tam deyil.

1,3(8) = 25/18: dövri onluq kəsrdir, deməli rasional və həqiqi ədəddir.

√34: 25 < 34 < 36, yəni 34 tam kvadrat deyil. √34 = 5,8309… irrasional və həqiqi ədəddir.

0,505005000…: sonsuzdur və dövrü yoxdur — irrasional və həqiqi ədəddir.

Həqiqi ədədlər çoxluğunun xəritəsi

Q ilə İ-nin ortaq ədədi yoxdur: hər həqiqi ədəd ya rasionaldır, ya da irrasional.

5 · Qayda

Həqiqi ədədlər ədəd oxunda

Ədəd oxunun hər nöqtəsinə bir həqiqi ədəd, hər həqiqi ədədə isə bir nöqtə uyğundur. Sağdakı nöqtənin ədədi soldakından böyükdür. Hero-dakı pərgar √2-nin nöqtəsini göstərdi; başqa köklərin yerini kvadratlarla tapırıq.

Qayda

0 ≤ a < b ⇒ √a < √b

Sahəsi böyük olan kvadratın tərəfi də böyükdür. Ona görə kökaltı ədədi iki ardıcıl tam kvadrat arasına salsaq, kök də onların kökləri arasına düşür.

Nümunə 1√90 və −√90 haradadır?

1. 90-ı iki ardıcıl tam kvadrat arasında yerləşdiririk: 81 < 90 < 100.
2. Köklər eyni sırada qalır: √81 < √90 < √100, yəni 9 < √90 < 10.
3. −√90 nöqtəsi √90-ın 0-a görə simmetrikidir. Mənfi tərəfdə sıra tərsinə dönür: −10 < −√90 < −9. 9 < √90 < 10; −10 < −√90 < −9

√90 və −√90 ədəd oxunda

Ox 0 ətrafında qırılıb, hər iki hissədə miqyas eynidir. √90 ≈ 9,49 — 9 ilə 10 arasında; −√90 ≈ −9,49 isə −10 ilə −9 arasındadır.

6 · Laboratoriya

√68-i sıxışdır

√68-in yerini getdikcə dar aralıqlarla tapaq. Hər addımda sərhədləri kvadrata yüksəldib 68 ilə müqayisə edirik.

Dəqiqlik

Tam ədədlər Ondabirlər Yüzdəbirlər

8² = 64 < 68 < 81 = 9², ona görə 8 < √68 < 9. √68-in tam hissəsi 8-dir.

8,2² = 67,24 < 68 < 68,89 = 8,3², ona görə 8,2 < √68 < 8,3.

8,24² = 67,8976 < 68 < 68,0625 = 8,25², ona görə 8,24 < √68 < 8,25.

√68-in yeri üç dəqiqlikdə

Hər ox əvvəlki oxun lime aralığının böyüdülmüş halıdır, üstündə sərhədlərin kvadratları yazılıb. Narıncı nöqtə √68-dir (kalkulyatorla 8,2462…).

Yuvarlaqlaşdırma sərhəd deyil. Yüzdəbirə qədər yuvarlaqlaşdırmaq üçün aralığın ortasını yoxlayırıq: 8,245² = 67,980025 < 68, deməli √68 > 8,245 və √68 ≈ 8,25.

Amma 8,25 √68-dən böyükdür (8,25² = 68,0625). Ona görə «8,25 < √68 < 8,26» yazmaq səhvdir: √68 8,24 ilə 8,25 arasındadır.

7 · Hesabla

Kalkulyatorsuz təxmin

Dərslik √14-ü belə təxmin edir: 14 ədədi 9 ilə 16 arasındadır, 9-dan 16-ya qədər 7 vahid, 9-dan 14-ə qədər 5 vahiddir, ona görə √14 ≈ 3 57 / . Eyni üsulu başqa ədədə tətbiq edək.

Nümunə 2√21-i təxmin et

1. 16 < 21 < 25, ona görə 4 < √21 < 5: tam hissə 4-dür.
2. 16-dan 25-ə qədər 9 vahid, 16-dan 21-ə qədər 5 vahiddir.
3. Kəsr hissəsini təxminən 59 / götürürük: √21 ≈ 4 59 / ≈ 4,56.
4. Kalkulyatorla yoxlayırıq: √21 = 4,5825… Təxmin 0,03-dən az fərqlənir, amma bir az kiçikdir. √21 ≈ 4,56

√21-in təxmini: kvadratlar və köklər şkalası

Yuxarıda kvadratlar, aşağıda köklər. 21 ədədi 16-dan 25-ə gedən yolun 59 / hissəsindədir; təxmin √21-i aşağıda eyni nisbətdə yerləşdirir. Əsl √21 bir az sağdadır.

Babil üsulu

√a² + b ≈ a + b2a /

√21 = √16 + 5 ≈ 4 + 58 / = 4,625 — bu dəfə bir az böyükdür. Əsl qiymət 4,5825… iki təxminin arasındadır.

Kvadratla yoxla

4,56² = 20,7936

20,7936 < 21, deməli 4,56 √21-dən kiçikdir. Təxmini qiyməti kvadrata yüksəldib kökaltı ədədlə müqayisə et.

8 · Hesabla

Müqayisə et və sırala

Həqiqi ədədləri iki yolla müqayisə edirik: onluq yazılışları rəqəm-rəqəm tuturuq, ya da müsbət ədədləri kvadrata yüksəldirik — müsbət ədədlərdən kvadratı böyük olan böyükdür.

Nümunə 3√58 və 7,6

1. 7,6² = 57,76, (√58)² = 58.
2. 57,76 < 58 və hər iki ədəd müsbətdir. √58 > 7,6

Nümunə 40,4(7) və 0,47

1. Yazılışları açırıq: 0,4(7) = 0,4777…, 0,47 = 0,4700…
2. Üçüncü onluq rəqəmdə 7 > 0. 0,4(7) > 0,47

Nümunə 5Artan sıra ilə düz

−√26; 5,09; −5,1; √26; −5,(09)

1. √26-nı sıxışdırırıq: 5,09² = 25,9081 < 26 < 26,01 = 5,1², ona görə 5,09 < √26 < 5,1. Kalkulyatorla √26 = 5,0990…
2. Hamısını dörd onluq rəqəmlə yazırıq (cədvəl) və əvvəl müsbətləri düzürük: 5,09 < √26.
3. Mənfilərdə modulu böyük olan kiçikdir: 5,1000 > 5,0990 > 5,0909, ona görə −5,1 < −√26 < −5,(09). Mənfilər müsbətlərdən əvvəl gəlir.

Dörd onluq rəqəmlə

1. −5,1
2. <−√26
3. <−5,(09)
4. <5,09
5. <√26

Mavi — rasional, narıncı — irrasional ədədlər.

9 · Diqqət

Üç tələ

Səhv düşüncə

0,(185) — irrasional

Sonsuz olmaq kifayət deyil: bu yazılışın dövrü var.

Düzgün

0,(185) = 185999 / = 527 /

Dövri onluq kəsr rasional ədəddir.

Səhv düşüncə

√3,61 — irrasional

Kök işarəsi irrasionallıq demək deyil.

Düzgün

√3,61 = 1,9

1,9² = 3,61, deməli ədəd rasionaldır.

Səhv düşüncə

−9 < −√90 < −10

9 < √90 < 10 bərabərsizliyindən işarəni dəyişib sıranı saxlamaq olmaz: −9 < −10 doğru deyil.

Düzgün

−10 < −√90 < −9

Mənfi tərəfdə sıra tərsinə dönür: −10 ədədi −9-dan soldadır.

10 · Həyatda

Xalça otağa sığarmı?

Kvadrat formalı xalçanın sahəsi 33 m²-dir. Onu eni 5,7 m olan A otağına və ya eni 5,8 m olan B otağına sərmək istəyirlər. Hansına sığar?

Xalçanın tərəfi və otaqların eni

Zolaqlar 5,6 m-dən başlayır (ox qırılıb). Narıncı qırıq xətt xalçanın tərəfidir: A otağının zolağı ondan qısa, B-ninki uzundur.

Xalçanın tərəfi: a = √33 m, çünki a² = 33. 5,7² = 32,49 < 33 ⇒ √33 > 5,7 5,8² = 33,64 > 33 ⇒ √33 < 5,8

Xalça A otağına sığmır, B otağına isə sığır. Kalkulyatorla √33 ≈ 5,74 m: A otağında xalça 4 sm-dən çox artıq gəlir, B otağında isə 5 sm-dən çox boş yer qalır.

Otağı düzbucaqlı, xalçanı isə divara paralel sayırıq.

11 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan Hansı ədəd irrasionaldır? Cavab variantları 0,(52) √2,56 0,8080080008… −25/6 Düzdür! Sıfırlar hər dəfə bir artır — dövr yoxdur. Yox. Dövri kəsr, adi kəsr və kökü tam hesablanan ədəd rasionaldır. Həllə bax 0,(52) = 52/99 — dövri, rasional. √2,56 = 1,6, çünki 1,6² = 2,56. −25/6 = −4,1(6) — kəsr, rasional. 0,8080080008… sonsuzdur və dövrü yoxdur, deməli irrasionaldır.
2. Asan √115 ədədi hansı iki ardıcıl tam ədəd arasında yerləşir? Cavab variantları 10 və 11 100 və 121 57 və 58 11 və 12 Düzdür: 100 < 115 < 121. Yox. 115-in iki tərəfindəki tam kvadratları tap və onların köklərini götür. Həllə bax 10² = 100 < 115 < 121 = 11², ona görə 10 < √115 < 11. 100 və 121 kökün yox, kökaltı ədədin sərhədləridir. 115 : 2 = 57,5 — kökalma 2-yə bölmək deyil. 11² = 121 > 115, ona görə √115 11-dən kiçikdir.
3. Orta Hansı bərabərsizlik doğrudur? Cavab variantları 7,9 < √62 < 8,0 7,8 < √62 < 7,9 6,2 < √62 < 6,3 7,7 < √62 < 7,8 Düzdür: 7,8² = 60,84 < 62 < 62,41 = 7,9². Yox. Sərhədləri kvadrata yüksəlt və 62 ilə müqayisə et. Həllə bax 7,8² = 60,84 < 62 və 7,9² = 62,41 > 62, deməli 7,8 < √62 < 7,9. √62 = 7,87… ondabirə qədər 7,9-a yuvarlaqlaşır, amma 7,9 sərhəd deyil — √62 ondan kiçikdir. 6,2² = 38,44 çox kiçikdir. 7,8² < 62 olduğu üçün √62 7,8-dən böyükdür.
4. Orta −√35; −5,9; −5,(91) ədədləri artan sıra ilə necə düzülür? Cavab variantları −5,9 < −√35 < −5,(91) −√35 < −5,(91) < −5,9 −5,(91) < −√35 < −5,9 −5,(91) < −5,9 < −√35 Düzdür! Modulu ən böyük olan −5,(91) ən soldadır. Yox. Əvvəl modulları müqayisə et, sonra mənfi tərəfdə sıranı tərsinə çevir. Həllə bax 5,9² = 34,81 < 35, ona görə √35 > 5,9. √35 = 5,9160…, 5,(91) = 5,9191…, ona görə √35 < 5,(91). Modullar: 5,9 < √35 < 5,(91). Mənfi ədədlər: −5,(91) < −√35 < −5,9.
5. Çətin 9,2 < √a < 9,3 doğrudursa, a hansı ədəd ola bilər? Cavab variantları 84 86 87 9,25 Düzdür: 84,64 < 86 < 86,49. Yox. Bərabərsizliyin hər tərəfini kvadrata yüksəlt: 9,2² < a < 9,3². Həllə bax 9,2² = 84,64, 9,3² = 86,49, ona görə 84,64 < a < 86,49. 84 bu aralıqdan kiçik, 87 isə böyükdür. 9,25 aralığın ortasıdır, amma √a üçün; a-nın özü üçün deyil: √9,25 ≈ 3,04.
6. Çətin Hansı ədəd 4,8 ilə 4,9 arasında yerləşən irrasional ədəddir? Cavab variantları 4,(85) √23,04 √24,1 √24 Düzdür: 23,04 < 24 < 24,01 və 24 tam kvadrat deyil. Yox. İki şərti ayrıca yoxla: ədəd aralıqdadırmı və irrasionaldırmı? Həllə bax 4,8² = 23,04, 4,9² = 24,01. √24: 23,04 < 24 < 24,01 və 24 tam kvadrat deyil — irrasional. 4,(85) aralıqdadır, amma dövri kəsrdir — rasional. √23,04 = 4,8 — rasional və aralığın ucu. √24,1 > √24,01 = 4,9 — aralıqdan kənardır.

Xülasə

Yadda qalanlar

• Q: sonlu və ya dövriRasional ədəd m/n kəsridir; onluq yazılışı sonlu və ya dövridir, dövri kəsr həmişə adi kəsrə çevrilir.
• İ: dövrsüz və sonsuz√n (n tam kvadrat deyilsə) və π irrasionaldır; R = Q ∪ İ.
• a² < n < b² ⇒ a < √n < bKökü kvadratlarla sıxışdır, müqayisədə kvadrata yüksəlt; mənfi tərəfdə sıra tərsinə dönür.

Növbəti mövzu: 3.3 y = x² və y = √x funksiyaları

Mənbə: «Riyaziyyat» — 8-ci sinif üçün dərslik, 1-ci bölmənin açılışı («Bu maraqlıdır!», Hipasus rəvayəti, səh. 6) və «Həqiqi ədədlər», səh. 11–17. Nümunələrdəki ədədlər bu dərs üçün seçilib.