Kollinear olmayan vektorların toplanması və çıxılması

• 4.57
• 9-cu sinif
• Vektorlar

Kollinear olmayan vektorların toplanması və çıxılması

Parkın küncündən qarşı küncünə asfalt yolla getsən, əvvəl 150 m şərqə, sonra 80 m şimala — cəmi 230 m yol gedirsən. Çəmənin üstündəki cığır isə 170 m-dir. Hər iki yol eyni yerə aparır: iki yerdəyişmənin cəmi diaqonaldır, uzunluğu isə 150 + 80 deyil.

Bu dərsdə

• iki vektoru üçbucaq və paraleloqram qaydası ilə toplayıb çıxacaq, cəmi və fərqi paraleloqramın iki diaqonalı kimi görəcəksən;
• əvəzləyici vektorun uzunluğunu Pifaqor teoremi və xüsusi paraleloqramların xassələri ilə, istiqamətini tangenslə tapacaqsan;
• |a + b| < |a| + |b| olmasını izah edib qaydanı qayıq, təyyarə və qüvvə məsələlərində tətbiq edəcəksən.

Parkda asfalt yol və cığır

Başla Yenidən Yenidən

1. Kəşf et
2. Üçbucaq qaydası
3. Paraleloqram qaydası
4. Çıxma
5. Uzunluq və bucaq
6. Laboratoriya
7. Bərabərsizlik
8. Hesabla
9. Diqqət
10. Həyatda
11. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Yol uzundur, yerdəyişmə qısa

Yadına sal. Vektor istiqamətlənmiş parçadır, onun uzunluğu modul adlanır: |a|. Bir düz xətt və ya paralel düz xətlər üzərində yerləşən vektorlar kollinear vektorlardır. Vektorun istiqamətini meyil bucağı ilə veririk: bu bucaq absis oxunun müsbət istiqamətindən saat əqrəbinin hərəkətinə əks ölçülür. Bir neçə vektorun cəminə bərabər vektor əvəzləyici vektor adlanır.

Kollinear vektorlarda cəmin modulu ya modulların cəmi, ya da fərqi idi. Bu dərsdə vektorlar bir düz xətt üzərində deyil.

Asfalt yolun iki hissəsi iki yerdəyişmədir: a — 150 m şərqə, b — 80 m şimala. Onlar kollinear deyil, biri digərinə perpendikulyardır. Ardıcıl gedəndə a-nın sonu b-nin başlanğıcıdır və nəticə A-dan C-yə gedən bir yerdəyişmədir: AC = a + b. Cığır məhz bu vektor boyunca uzanır.

ABC üçbucağında B bucağı düzdür, ona görə Pifaqor teoremi işləyir:

|a + b|² = 150² + 80²= 22 500 + 6400 = 28 900,|a + b| = √28 900 = 170 m.

Yolla isə 150 + 80 = 230 m gedirik — cığır 60 m qısadır. İstiqaməti də tapmaq olar: cığır şərqlə θ bucağı əmələ gətirir, tg θ = 80150 / ≈ 0,533, kalkulyatorla θ ≈ 28,1°. Şərqi absis oxunun müsbət istiqaməti götürsək, bu, cəm vektorunun meyil bucağıdır.

Deməli, kollinear olmayan vektorları toplayanda modulları toplamaq olmaz: vektorları ucu-uca düzüb üçbucaq qurmaq lazımdır. Dərslik bunun iki qrafik qaydasını verir.

2 · Qayda

Üçbucaq qaydası

Yadda saxla

a + b cəmini qurmaq üçün b vektorunu elə köçürürük ki, onun başlanğıcı a-nın son nöqtəsi ilə üst-üstə düşsün. a-nın başlanğıcını b-nin son nöqtəsi ilə birləşdirən istiqamətlənmiş parça əvəzləyici vektor a + b-dir.

AB + BC = AC

Parkda olduğu kimi: A-dan B-yə, sonra B-dən C-yə getmək A-dan C-yə bir yerdəyişmədir.

Köçürmə zamanı vektorun uzunluğu və istiqaməti dəyişmir — vektor özünə bərabər qalır.

Üçbucaq qaydası

BaşlaYenidənYenidən

b sürüşür (punktir — onun əvvəlki yeri), sonra a-nın başlanğıcından b-nin sonuna yaşıl ox çəkilir.

Dərslikdə: «Vektorları istənilən ardıcıllıqla toplamaq olar. Ədədlər üçün toplama əməlinin yerdəyişmə xassəsi vektorları toplamaq üçün də doğrudur. Bu qayda ilə üç və daha çox vektoru da toplamaq olar (bu hal çoxbucaqlı qaydası adlanır).»

Dərslik həm də deyir ki, qrafik qaydada vektorlar və onların cəmini göstərən əvəzləyici vektor müəyyən miqyas seçilməklə xətkeşin (modul) və transportirin (meyil bucağı) köməyi ilə qurulur. Yəni cəmi qurub ölçmək də olar, hesablamaq da — hər ikisini aşağıda görəcəyik.

3 · Qayda

Paraleloqram qaydası

Yadda saxla

a və b vektorlarını başlanğıcları üst-üstə düşənə qədər sürüşdürürük və tərəfləri a və b olan paraleloqram qururuq. Paraleloqramın ortaq başlanğıcdan çıxan diaqonalı a + b cəmidir.

Dərslikdə: «Bu paraleloqramın u və v vektorlarının başlanğıc nöqtəsindən çıxan diaqonalı onların cəmini, u + v vektorunu göstərir.»

Paraleloqram qaydası

BaşlaYenidənYenidən

Punktirlər a və b-nin paralel köçürmələridir. Yuxarı sağdakı punktir b-yə bərabərdir — ona görə paraleloqram qaydası üçbucaq qaydası ilə eyni cavabı verir.

Niyə iki qayda eyni nəticə verir? Paraleloqramın qarşı tərəfləri bərabər və paraleldir. Deməli, a-nın sonundan çıxan tərəf b vektorunun özüdür: a-dan sonra b — bu, üçbucaq qaydasıdır. Paraleloqram qaydası iki qüvvə və ya iki sürət eyni nöqtəyə təsir edəndə rahatdır: hər iki ox bir nöqtədən çəkilir.

4 · Qayda

Fərq — ikinci diaqonal

Yadda saxla

a − b fərqini tapmaq üçün a-ya b-yə əks olan vektoru əlavə edirik:

a − b = a + (−b)

Qurma: 1) b-yə əks −b vektorunu çəkirik; 2) −b-nin başlanğıcını a-nın son nöqtəsinə köçürürük; 3) a-nın başlanğıcını −b-nin son nöqtəsi ilə birləşdirən istiqamətlənmiş parça a − b-dir.

Çıxma: a + (−b)

Üçbucaq qaydası ilə: a, sonra −b (punktir narıncı). Qara ox — a − b.

Paraleloqramın iki diaqonalı

Bir paraleloqram — iki cavab: ortaq başlanğıcdan çıxan diaqonal a + b, b-nin sonundan a-nın sonuna gedən diaqonal a − b.

İkinci fiqurdakı qara diaqonal birinci fiqurdakı qara oxa bərabərdir (eyni uzunluq, eyni istiqamət). Yoxlama üçbucaq qaydası ilə: b + (a − b) = a — b-nin sonundan çıxıb a-nın sonuna çatırıq. Diaqonalın istiqamətinə diqqət et: fərq «çıxılanın» ucundan «azalanın» ucuna yönəlir.

5 · Qayda

Uzunluğu və istiqaməti necə tapırıq?

Cəmi qurduqdan sonra iki yol var.

Qur və ölç

Miqyas seç (məsələn, 1 sm : 1 km), vektorları xətkeş və transportirlə çək, əvəzləyicinin uzunluğunu xətkeşlə ölçüb miqyasla çevir, meyil bucağını transportirlə ölç. Cavab təqribidir — dərslikdəki nümunələr belə həll olunur.

Hesabla

Fiqurda düzbucaqlı üçbucaq tap. Bucaq düzdürsə: |a + b| = √(|a|² + |b|²), cəmlə a arasındakı θ bucağı üçün tg θ = |b| : |a|.

Bəzi paraleloqramların diaqonallarını xassələrindən bilirik. Fiqurlarda mavi — a, narıncı — b, yaşıl — a + b, qara — a − b:

Düzbucaqlı: a ⟂ b

Düzbucaqlı

Diaqonallar bərabərdir: |a + b| = |a − b| = √(|a|² + |b|²).

Kvadrat: |a| = |b| = s, düz bucaq

Kvadrat

Hər iki diaqonal s√2.

Romb, 60°: |a| = |b| = s

Romb, 60°

a, b və a − b bərabərtərəfli üçbucaq qurur: |a − b| = s, |a + b| = s√3.

Romb, 120°: |a| = |b| = s

Romb, 120°

İndi qısa diaqonal cəmdir: |a + b| = s, |a − b| = s√3.

Rombun diaqonalları perpendikulyardır və bir-birini yarı bölür, ona görə uzun diaqonalı Pifaqorla tapırıq: 60°-li rombda yarısı √(s² − (s/2)²) = s√3/2.

Bucaq 60° və ya 120°, uzunluqlar fərqli olanda

Paraleloqramın a-nın düz xəttindən ən uzaq təpəsindən həmin düz xəttə perpendikulyar endir. Alınan kiçik düzbucaqlı üçbucağın bir iti bucağı 30°-dir və 30° bucaq qarşısındakı katet hipotenuzun yarısıdır. Məsələn, |a| = 6, |b| = 4, bucaq 60°:

kiçik katet: 4 : 2 = 2;hündürlük: √(4² − 2²) = √12 = 2√3;|a + b|² = (6 + 2)² + (2√3)²= 64 + 12 = 76,|a + b| = √76 = 2√19 ≈ 8,7.

Başqa bucaqlarda (məsələn, 50°) bu üsul işləmir — onda cəmi miqyasla qurub ölçürük.

Hündürlük endirmək: |a| = 6, |b| = 4, bucaq 60°

H — perpendikulyarın oturacağı. OHC üçbucağında katetlər 8 və 2√3, hipotenuz a + b.

6 · Laboratoriya

Paraleloqram qurucusu

|a| = 6 vahid. Bucağı və |b|-ni seç: fiqur iki diaqonalı çəkir, kart onların uzunluqlarını dəqiq (kökaltı ilə) və təqribi yazır. Tor xanası 1 vahiddir.

a ilə b arasındakı bucaq

60° 90° 120°

|b|

3 4 6

Paraleloqram qurucusu

60°, |b| = 3 |a + b| = √63 = 3√7 ≈ 7,9 |a − b| = √27 = 3√3 ≈ 5,2 |a| + |b| = 9 Hündürlük endir: 30°-li düzbucaqlı üçbucaqda katetlər 1,5 və 1,5√3. Cəm: 7,5² + (1,5√3)² = 63; fərq: 4,5² + (1,5√3)² = 27.

60°, |b| = 4 |a + b| = √76 = 2√19 ≈ 8,7 |a − b| = √28 = 2√7 ≈ 5,3 |a| + |b| = 10 Hündürlük endir: 30°-li düzbucaqlı üçbucaqda katetlər 2 və 2√3. Cəm: 8² + (2√3)² = 76; fərq: 4² + (2√3)² = 28.

60°, |b| = 6 |a + b| = √108 = 6√3 ≈ 10,4 |a − b| = 6 |a| + |b| = 12 Romb, bucaq 60°: a, b və a − b bərabərtərəfli üçbucaq qurur, ona görə |a − b| = 6. Uzun diaqonal: yarısı √(6² − 3²) = 3√3.

90°, |b| = 3 |a + b| = √45 = 3√5 ≈ 6,7 |a − b| = √45 = 3√5 ≈ 6,7 |a| + |b| = 9 Bucaq düzdür, paraleloqram düzbucaqlıdır: Pifaqorla 6² + 3² = 45. Düzbucaqlının diaqonalları bərabərdir.

90°, |b| = 4 |a + b| = √52 = 2√13 ≈ 7,2 |a − b| = √52 = 2√13 ≈ 7,2 |a| + |b| = 10 Bucaq düzdür, paraleloqram düzbucaqlıdır: Pifaqorla 6² + 4² = 52. Düzbucaqlının diaqonalları bərabərdir.

90°, |b| = 6 |a + b| = √72 = 6√2 ≈ 8,5 |a − b| = √72 = 6√2 ≈ 8,5 |a| + |b| = 12 Bucaq düzdür, paraleloqram düzbucaqlıdır: Pifaqorla 6² + 6² = 72. Düzbucaqlının diaqonalları bərabərdir.

120°, |b| = 3 |a + b| = √27 = 3√3 ≈ 5,2 |a − b| = √63 = 3√7 ≈ 7,9 |a| + |b| = 9 Hündürlük endir: 30°-li düzbucaqlı üçbucaqda katetlər 1,5 və 1,5√3. Cəm: 4,5² + (1,5√3)² = 27; fərq: 7,5² + (1,5√3)² = 63.

120°, |b| = 4 |a + b| = √28 = 2√7 ≈ 5,3 |a − b| = √76 = 2√19 ≈ 8,7 |a| + |b| = 10 Hündürlük endir: 30°-li düzbucaqlı üçbucaqda katetlər 2 və 2√3. Cəm: 4² + (2√3)² = 28; fərq: 8² + (2√3)² = 76.

120°, |b| = 6 |a + b| = 6 |a − b| = √108 = 6√3 ≈ 10,4 |a| + |b| = 12 Romb, bucaq 120°: qonşu bucaq 60°-dir, cəm diaqonalı bərabərtərəfli üçbucağın tərəfidir: |a + b| = 6. Uzun diaqonal 6√3.

Tapşırıqlar.

1. 90° seç və |b|-ni dəyiş. Niyə hər dəfə |a + b| = |a − b| alınır?
2. |b| = 4 saxla və 60°-dən 120°-yə keç. Diaqonallar necə dəyişir? Bucaq böyüdükcə cəm qısalır, fərq uzanır.
3. |b| = 6 seç. Hansı fiqur alınır və hər bucaqda hansı diaqonal tərəfə bərabərdir?

7 · Bərabərsizlik

Niyə |a + b| < |a| + |b|?

Üçbucaq qaydasında a, b və a + b üçbucağın üç tərəfidir. Üçbucağın hər tərəfi digər iki tərəfin cəmindən kiçikdir, ona görə kollinear olmayan vektorlar üçün

|a + b| < |a| + |b|

Bərabərlik yalnız a ilə b eyni istiqamətdə olanda alınır — onda «üçbucaq» bir düz xəttə yatır (kollinear vektorlar). Dərslikdəki |u| + |v| ≥ |u + v| təklifi ona görə doğrudur.

Həm də üçbucağın tərəfi digər iki tərəfin fərqindən böyükdür: cəm heç vaxt |a| − |b|-dən qısa olmur. Bucaq 0°-dən 180°-yə böyüdükcə cəm 6-dan 2-yə qədər qısalır.

|a + b| bucaqdan asılıdır

|a| = 4, |b| = 2. Bucaq böyüdükcə a + b qısalır, amma həmişə 2 ilə 6 arasında qalır.

8 · Hesabla

Dörd nümunə

Nümunə 1Qayıq çayı keçir

Qayıq suya nəzərən 4 m/san sürətlə sahilə perpendikulyar üzür, çayın axın sürəti 1,5 m/san-dir, çayın eni 120 m. Qayığın sahilə nəzərən sürətinin modulunu, onun axınla əmələ gətirdiyi bucağı və qayığın qarşı sahildə nə qədər aşağıda yan alacağını tapın.

1. Sürətlər toplanır: sahilə nəzərən sürət qayığın öz sürəti ilə axın sürətinin cəmidir. Vektorlar perpendikulyardır, paraleloqram düzbucaqlıdır.
2. Pifaqor: |v|² = 4² + 1,5² = 16 + 2,25 = 18,25, |v| = √18,25 ≈ 4,3 m/san.
3. Axınla bucaq: tg θ = 4 : 1,5 ≈ 2,667, θ ≈ 69,4°.
4. Qarşı sahilə çatmaq üçün qayıq sahilə perpendikulyar 120 m üzür: 120 : 4 = 30 san. Bu müddətdə axın onu 1,5 · 30 = 45 m aşağı aparır. Yoxlama: √(120² + 45²) ≈ 128 m ≈ 4,27 · 30. ≈ 4,3 m/san; ≈ 69,4°; 45 m aşağıda

Qayıq çayı keçir

1 m/san 40 vahiddir, 120 m isə 160 vahid: sürətlər üçbucağı 30 saniyəlik yerdəyişmə üçbucağı ilə üst-üstə düşür.

Nümunə 2Miqyasla qur, sonra yoxla

Yaxta 3 km şərqə, sonra meyil bucağı 60° olan istiqamətdə 2 km üzdü. Yekun yerdəyişmənin modulunu və meyil bucağını əvvəlcə qurma ilə (1 sm : 1 km), sonra hesabla tapın.

1. Qurma: 3 sm uzunluqda üfüqi ox çək; onun ucundan transportirlə 60° qeyd et və 2 sm çək. Başlanğıcı sonla birləşdir.
2. Ölçmə: əvəzləyici təqribən 4,4 sm, deməli ≈ 4,4 km; transportirlə meyil bucağı ≈ 23°.
3. Hesab: ikinci ucdan birinci oxun davamına perpendikulyar endiririk. 30°-li düzbucaqlı üçbucaqda katetlər 2 : 2 = 1 km və √(2² − 1²) = √3 km.
4. Böyük düzbucaqlı üçbucaq: katetlər 3 + 1 = 4 və √3. |d|² = 16 + 3 = 19, |d| = √19 ≈ 4,4 km; tg θ = √3 : 4 ≈ 0,433, θ ≈ 23,4°. ≈ 4,4 km, meyil bucağı ≈ 23°

Yaxtanın yerdəyişməsi miqyasla

Tor xanası 1 sm = 1 km. Ölçmə ilə hesab üst-üstə düşür; hesab daha dəqiqdir.

Nümunə 3İki kəndir

Ağır yeşiyi iki kəndirlə çəkirlər. Hər kəndirin qüvvəsi 350 N, kəndirlər arasındakı bucaq 60°-dir. Əvəzləyici qüvvəni tapın.

1. Qüvvələr bir nöqtəyə təsir edir — paraleloqram qaydası. Modullar bərabərdir, paraleloqram rombdur.
2. Kəndirlərin uclarını birləşdirən diaqonal 60°-li bərabəryanlı üçbucağın oturacağıdır, üçbucaq bərabərtərəflidir: bu diaqonal 350-yə bərabərdir.
3. Rombun diaqonalları perpendikulyardır və yarı bölünür. Uzun diaqonalın yarısı: √(350² − 175²) = √91 875 = 175√3.
4. Əvəzləyici: 2 · 175√3 = 350√3 ≈ 606 N; rombun diaqonalı bucağı yarı böldüyü üçün o, hər kəndirlə 30° bucaq əmələ gətirir. 350√3 ≈ 606 N, kəndirlərin arasından

İki kəndir 60° bucaq altında

İki kəndir birlikdə 700 N yox, ≈ 606 N verir: bucaq altında qüvvənin bir hissəsi «itir».

Nümunə 4Düzbucaqlıda cəm və fərq

ABCD düzbucaqlısında AB = 4 sm, AD = 7 sm. |AB + AD| və |AB − AD| uzunluqlarını tapın.

1. Paraleloqram qaydası: AB + AD A-dan çıxan AC diaqonalıdır.
2. AB − AD — «çıxılanın» (D) ucundan «azalanın» (B) ucuna gedən DB diaqonalı.
3. Düzbucaqlının diaqonalları bərabərdir: AC = DB = √(4² + 7²) = √65 ≈ 8,06 sm. hər ikisi √65 ≈ 8,06 sm

Düzbucaqlıda iki diaqonal

Perpendikulyar vektorlarda cəm və fərq eyni uzunluqdadır, istiqamətləri isə fərqlidir.

9 · Diqqət

Tez-tez edilən dörd səhv

Modullar toplandı

7 N ⟂ 24 N → 31 N

Perpendikulyar qüvvələr bir istiqamətdə çəkmir.

Pifaqor

√(7² + 24²) = 25 N

Modulları toplamaq yalnız eyni istiqamətli vektorlar üçün doğrudur.

Fərq üçün səhv diaqonal

a − b: cəm diaqonalı

Ortaq başlanğıcdan çıxan diaqonal a + b-dir, fərq deyil.

İkinci diaqonal

b-nin ucundan a-nın ucuna

Yoxla: b + (a − b) = a.

Bucaq düz sayıldı

|a| = |b| = 6, 60° → 6√2

Pifaqor yalnız düz bucaqda işləyir.

Romb, 60°

6√3 ≈ 10,4

Uzun diaqonalın yarısı √(6² − 3²) = 3√3.

Bucaq səhv oxdan

tg θ = 1,5 : 4 → axınla 20,6°

20,6° qayığın yolunun sahilə perpendikulyarla bucağıdır.

Axınla bucaq

tg θ = 4 : 1,5 → 69,4°

Tangens: qarşı katet bölünür bucağa bitişik katetə; iki bucağın cəmi 90°-dir.

10 · Həyatda

Təyyarə yan küləkdə

Pilot şimaldakı şəhərə uçmalıdır. Təyyarənin havaya nəzərən sürəti 220 km/saat, qərbdən şərqə 50 km/saat külək əsir. Burnunu düz şimala tutsa, külək onu şərqə sürüşdürər. Burnu hara çevirməlidir?

Təyyarənin yerə nəzərən sürəti iki vektorun cəmidir: öz sürəti + külək. Bu cəm düz şimala yönəlməlidir. Üçbucaq qaydası ilə: mavi ox (öz sürəti, 220) hipotenuzdur, narıncı ox (külək, 50) və yaşıl ox (yerə nəzərən sürət) katetlərdir.

sin α = 50 : 220 ≈ 0,227,α ≈ 13,1°;yerə nəzərən sürət:√(220² − 50²) = √45 900≈ 214 km/saat.

Pilot burnu şimaldan təxminən 13° qərbə çevirir və şəhərə doğru saatda təxminən 214 km yaxınlaşır. Gəmilər axında, quşlar küləkdə eyni hesabla «yan» istiqamət götürürlər.

Yan küləkdə şimala uçuş

Öz sürəti + külək = yerə nəzərən sürət. Cəm şimala yönəlsin deyə mavi ox küləyə qarşı əyilib.

11 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan Robot 0,9 m şərqə, sonra 4 m şimala getdi. O, başlanğıc nöqtədən nə qədər uzaqdadır? Cavab variantları 4,9 m 4,1 m 3,1 m ≈ 3,9 m Düzdür: √(0,81 + 16) = √16,81 = 4,1. Yollar perpendikulyardır — katetlərin kvadratlarını topla, sonra kök al. Həllə bax Yerdəyişmələr perpendikulyardır: √(0,9² + 4²) = √(0,81 + 16) = √16,81 = 4,1 m. 4,9 — modullar toplanıb, 3,1 — çıxılıb, ≈ 3,9 — kvadratlar çıxılıb.
2. Asan Kollinear olmayan a və b üçün |a + b| = |a − b| bərabərliyi nə vaxt doğrudur? Cavab variantları a ⟂ b olanda |a| = |b| olanda həmişə heç vaxt Bəli: düzbucaqlının diaqonalları bərabərdir. Cəm və fərq paraleloqramın iki diaqonalıdır. Hansı paraleloqramda diaqonallar bərabərdir? Həllə bax Cəm və fərq paraleloqramın iki diaqonalıdır. Diaqonallar düzbucaqlıda (və kvadratda) bərabərdir, yəni vektorlar perpendikulyar olanda. Rombda (|a| = |b|) diaqonallar ümumiyyətlə bərabər deyil.
3. Orta |a| = |b| = 8, vektorlar arasındakı bucaq 60°-dir. |a + b| nəyə bərabərdir? Cavab variantları 16 8√3 8√2 8 Düzdür: 60°-li rombun uzun diaqonalı s√3-dür. Paraleloqram rombdur, bucaq düz deyil. Uzun diaqonalın yarısını Pifaqorla tap. Həllə bax Romb, 60°: qısa diaqonal (fərq) 8-dir, uzun diaqonalın yarısı √(8² − 4²) = √48 = 4√3, bütöv diaqonal 8√3 ≈ 13,9. 16 — modullar toplanıb, 8√2 — bucaq düz sayılıb, 8 — fərq diaqonalı.
4. Orta Qayıq suya nəzərən 1,8 m/san sürətlə sahilə perpendikulyar üzür, axın sürəti 0,8 m/san-dir. Qayığın sahilə nəzərən sürəti axın istiqaməti ilə hansı bucağı əmələ gətirir? Cavab variantları ≈ 66° ≈ 24° 90° Düzdür: tg θ = 1,8 : 0,8 = 2,25, θ ≈ 66°. Axın istiqamətinə bitişik katet 0,8-dir, qarşı katet 1,8. Həllə bax tg θ = 1,8 : 0,8 = 2,25, θ ≈ 66°. 24° — nisbət tərsinə götürülüb (sahilə perpendikulyarla bucaq), 90° — axın nəzərə alınmayıb.
5. Çətin Təyyarə havaya nəzərən 185 km/saat sürətlə uçur, şərqə 60 km/saat sürətlə külək əsir. Pilot burnu elə çevirib ki, təyyarə düz şimala uçur. Təyyarənin yerə nəzərən sürəti nə qədərdir? Cavab variantları 245 km/saat 175 km/saat 125 km/saat ≈ 194,5 km/saat Düzdür: 185 hipotenuzdur, √(185² − 60²) = 175. Öz sürəti cəmin hipotenuzudur, çünki cəm küləyə perpendikulyardır. Həllə bax Öz sürəti + külək = yerə nəzərən sürət, cəm şimala, külək şərqə — düz bucaq cəm ilə külək arasındadır. Hipotenuz 185-dir: √(185² − 60²) = √(34 225 − 3600) = √30 625 = 175. ≈ 194,5 — 185 katet sayılıb.
6. Çətin |a| = |b| = |a − b| = 7. a ilə b arasındakı bucaq neçə dərəcədir? Cavab variantları 60° 120° 90° 30° Bəli: üçbucaq bərabərtərəflidir. a, b və a − b bir üçbucağın tərəfləridir. Üç tərəf bərabərdirsə… Həllə bax Ortaq başlanğıcdan çəkilən a, b və onların uclarını birləşdirən a − b üçbucaq qurur; üç tərəfin hamısı 7-dir, üçbucaq bərabərtərəflidir, bucaqları 60°. 120° — cəm diaqonalı tərəfə bərabər olanda alınardı.

Xülasə

Yadda qalanlar

• Ucu-uca və ya bir nöqtədənÜçbucaq qaydası: a-nın başlanğıcından b-nin sonuna. Paraleloqram qaydası: ortaq başlanğıcdan çıxan diaqonal.
• a − b = a + (−b)Paraleloqramın ikinci diaqonalı: b-nin ucundan a-nın ucuna.
• Pifaqor, tg, xassələrDüz bucaqda Pifaqor və tg; romb, kvadrat, düzbucaqlının diaqonalları; həmişə |a + b| < |a| + |b|.

Növbəti mövzu: 4.58 Vektorun komponentlərindən istifadə etməklə toplanması

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 9-cu sinif», 8-2 «Vektorun istiqaməti. Meyil bucağı» (səh. 167) və 8-3 «Vektorların toplanması və çıxılması» (səh. 172–175), ümumiləşdirici tapşırıqlar (səh. 188). Qaydaların sözləri dərslikdəndir; park ideyası dərslikdəki «Araşdırma»dan götürülüb. Nümunələrdəki ədədlər bu dərs üçün seçilib.