Kollinear vektorların toplanması

• 4.56
• 9-cu sinif
• Vektorlar

Kollinear vektorların toplanması

Hava limanındakı hərəkətli yol 0,5 m/san sürətlə gedir. Onun üstündə 1,5 m/san sürətlə addımlayan sərnişin yerə nəzərən hansı sürətlə hərəkət edir? Yolla eyni tərəfə addımlayırsa — 2 m/san, əks tərəfə addımlayırsa — 1 m/san. Hər iki cavab bir düz xətt üzərindəki iki vektorun cəmidir.

Bu dərsdə

• kollinear vektorları ardıcıl yerləşdirmə qaydası ilə toplayacaq və əvəzləyici vektoru çəkəcəksən;
• eyni və əks istiqamətli vektorların cəminin modulunu və istiqamətini tapacaqsan;
• əks vektorların cəminin niyə 0 olduğunu və |a + b| = |a| + |b| bərabərliyinin yalnız eyni istiqamətli vektorlarda doğru olduğunu izah edəcəksən.

Hərəkətli yolda üç hal: 2 m/san, 1 m/san və sıfır vektor

Başla Yenidən Yenidən

1. Kəşf et
2. Cəm və əvəzləyici
3. Üç hal
4. Laboratoriya
5. Hesabla
6. Diqqət
7. Həyatda
8. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Hərəkətli yolda bir saniyə

Yadına sal (vektorlar dərsindən):

• Vektor istiqamətlənmiş parçadır. Onun uzunluğu — modulu — |a| kimi yazılır.
• Bir düz xətt və ya paralel düz xətlər üzərində yerləşən vektorlar kollinear vektorlardır. Onlar ya eyni istiqamətlidir (a ↑↑ b), ya da əks istiqamətli (a ↑↓ b).
• Modulları bərabər olan əks istiqamətli vektorlar əks vektorlardır: b = −a.
• Başlanğıcı və sonu üst-üstə düşən vektor sıfır vektordur (0): uzunluğu sıfırdır, istiqaməti qeyri-müəyyəndir.

Hərəkətli yolda bir saniyəni izləyək. Yol sərnişini 0,5 m irəli aparır, öz addımları isə 1,5 m irəli. Hər iki yerdəyişmə eyni tərəfə yönəlib, ona görə ardıcıl düzülür: 0,5 + 1,5 = 2 m.

Sərnişin geriyə addımlasa, addımları onu 1,5 m geri, yol isə 0,5 m irəli aparır. İkinci ox birincinin üstünə qayıdır və geriyə 1,5 − 0,5 = 1 m qalır. Geriyə 0,5 m/san sürətlə addımlayan uşaq isə yerində qalır: iki yerdəyişmə bir-birini tam yox edir.

Hər üç halda ikinci oxu birincinin bitdiyi yerdən başladırıq. Aşağıdakı şəkildə eyni işi hərflərlə görürük.

İkinci vektor birincinin sonuna köçürülür

Başla Yenidən Yenidən

Qırıq ox b vektorunun əvvəlki yeridir. b uzunluğu və istiqaməti dəyişmədən sürüşdürülür ki, başlanğıcı a vektorunun sonu ilə üst-üstə düşsün. Lime r vektoru a‑nın başlanğıcından b‑nin sonuna gedir: yuxarıda 3 + 2 = 5 vahid, aşağıda 4 − 2 = 2 vahid.

2 · Qayda

Cəm və əvəzləyici vektor

Yadda saxla

Kollinear a və b vektorlarını toplamaq üçün b vektorunu elə yerləşdiririk ki, onun başlanğıcı a vektorunun sonu ilə üst-üstə düşsün. a vektorunun başlanğıcından b vektorunun sonuna yönəlmiş r vektoru onların cəmidir. Bu vektora əvəzləyici vektor deyilir: o, iki vektorun birlikdə gördüyü işi tək başına görür.

r = a + b

Kollinear vektorlarda hər üç ox bir düz xətt üzərində (və ya ona paralel) olur. Ona görə cəmin uzunluğunu ədəd oxunda olduğu kimi ölçmək olar.

Hərəkətli yolda a yolun sürəti, b sərnişinin addım sürəti, r isə onun yerə nəzərən sürətidir. Qüvvələrdə əvəzləyici qüvvə cismə eyni təsiri göstərən tək qüvvədir, ardıcıl yerdəyişmələrdə isə başlanğıc nöqtədən son nöqtəyə çəkilən oxdur.

3 · Qayda

Cəmin modulu və istiqaməti: üç hal

Əvəzləyicinin uzunluğu vektorların istiqamətindən asılıdır. Dərslik bunu belə ümumiləşdirir: eyni istiqamətdə modullar toplanır, əks istiqamətdə böyük moduldan kiçiyi çıxılır.

• 1. Eyni istiqamət: a ↑↑ b Hal 1 |r| = |a| + |b| r də həmin istiqamətdədir.
• 2. Əks istiqamət, |a| > |b| Hal 2 |r| = |a| − |b| r modulu böyük olan a ilə eyni istiqamətdədir.
• 3. Əks istiqamət, |a| < |b| Hal 3 |r| = |b| − |a| r modulu böyük olan b ilə eyni istiqamətdədir.
• 4. Əks vektorlar, |a| = |b| Hal 4 r = 0, |r| = 0 b düz a‑nın başlanğıcına qayıdır.

Dərslikdə bir yazılışa diqqət. Dördüncü hal dərslikdə «|r| = 0» kimi çap olunub. Sol tərəf ədəddir (uzunluq), sağ tərəf vektordur — onlar bərabər ola bilməz. Nəzərdə tutulan budur: r = 0, yəni |r| = 0. Dərsliyin öz sözləri ilə: «əks vektorların cəmi 0 vektoruna bərabərdir».

Niyə yalnız eyni istiqamətdə?

|a + b| = |a| + |b|

Bu bərabərlik oxlar eyni tərəfə ardıcıl düzüləndə doğrudur. Əks istiqamətdə ikinci ox birincinin üstünə qayıdır, cəm hətta böyük toplanandan da qısa olur: 4 və 2 vahid eyni tərəfə 6, əks tərəfə cəmi 2 vahid verir.

Əks vektorlar

a + (−a) = 0

Modullar bərabər, istiqamətlər əksdir: ikinci ox başlanğıc nöqtəyə qayıdır. Qüvvələr belədirsə, cisim tarazlıqdadır.

Qısa cədvəl

4 · Laboratoriya

Oxları ədəd oxunda topla

İstiqaməti və modulları seç. a həmişə 0-dan sağa çəkilir, b onun sonundan başlayır, lime r isə 0-dan b‑nin sonuna gedir. Altdakı oxunuş qaydanı və hesabı yazır.

Kollinear vektor laboratoriyası1 bölgü = 1 vahid

İstiqamət

↑↑ eyni ↑↓ əks

|a|

2 3 4

|b|

1 2 3 4 5

Kollinear vektor laboratoriyası

• a — birinci vektor
• b — ikinci vektor
• r = a + b

Hal

a ↑↑ b, |a| = 2, |b| = 1

Qayda

|a + b| = |a| + |b|

Hesab

2 + 1 = 3

İstiqamət

a və b ilə eyni: sağa

Hal

a ↑↑ b, |a| = 2, |b| = 2

Qayda

|a + b| = |a| + |b|

Hesab

2 + 2 = 4

İstiqamət

a və b ilə eyni: sağa

Hal

a ↑↑ b, |a| = 2, |b| = 3

Qayda

|a + b| = |a| + |b|

Hesab

2 + 3 = 5

İstiqamət

a və b ilə eyni: sağa

Hal

a ↑↑ b, |a| = 2, |b| = 4

Qayda

|a + b| = |a| + |b|

Hesab

2 + 4 = 6

İstiqamət

a və b ilə eyni: sağa

Hal

a ↑↑ b, |a| = 2, |b| = 5

Qayda

|a + b| = |a| + |b|

Hesab

2 + 5 = 7

İstiqamət

a və b ilə eyni: sağa

Hal

a ↑↑ b, |a| = 3, |b| = 1

Qayda

|a + b| = |a| + |b|

Hesab

3 + 1 = 4

İstiqamət

a və b ilə eyni: sağa

Hal

a ↑↑ b, |a| = 3, |b| = 2

Qayda

|a + b| = |a| + |b|

Hesab

3 + 2 = 5

İstiqamət

a və b ilə eyni: sağa

Hal

a ↑↑ b, |a| = 3, |b| = 3

Qayda

|a + b| = |a| + |b|

Hesab

3 + 3 = 6

İstiqamət

a və b ilə eyni: sağa

Hal

a ↑↑ b, |a| = 3, |b| = 4

Qayda

|a + b| = |a| + |b|

Hesab

3 + 4 = 7

İstiqamət

a və b ilə eyni: sağa

Hal

a ↑↑ b, |a| = 3, |b| = 5

Qayda

|a + b| = |a| + |b|

Hesab

3 + 5 = 8

İstiqamət

a və b ilə eyni: sağa

Hal

a ↑↑ b, |a| = 4, |b| = 1

Qayda

|a + b| = |a| + |b|

Hesab

4 + 1 = 5

İstiqamət

a və b ilə eyni: sağa

Hal

a ↑↑ b, |a| = 4, |b| = 2

Qayda

|a + b| = |a| + |b|

Hesab

4 + 2 = 6

İstiqamət

a və b ilə eyni: sağa

Hal

a ↑↑ b, |a| = 4, |b| = 3

Qayda

|a + b| = |a| + |b|

Hesab

4 + 3 = 7

İstiqamət

a və b ilə eyni: sağa

Hal

a ↑↑ b, |a| = 4, |b| = 4

Qayda

|a + b| = |a| + |b|

Hesab

4 + 4 = 8

İstiqamət

a və b ilə eyni: sağa

Hal

a ↑↑ b, |a| = 4, |b| = 5

Qayda

|a + b| = |a| + |b|

Hesab

4 + 5 = 9

İstiqamət

a və b ilə eyni: sağa

Hal

a ↑↓ b, |a| = 2, |b| = 1

Qayda

|a| > |b| ⇒ |a + b| = |a| − |b|

Hesab

2 − 1 = 1

İstiqamət

modulu böyük olan a ilə eyni: sağa

Hal

a ↑↓ b, |a| = 2, |b| = 2

Qayda

|a| = |b|: əks vektorlar

Hesab

r = 0, |r| = 0

İstiqamət

istiqamət yoxdur: ox başlanğıc nöqtəyə qayıdır

Hal

a ↑↓ b, |a| = 2, |b| = 3

Qayda

|a| < |b| ⇒ |a + b| = |b| − |a|

Hesab

3 − 2 = 1

İstiqamət

modulu böyük olan b ilə eyni: sola

Hal

a ↑↓ b, |a| = 2, |b| = 4

Qayda

|a| < |b| ⇒ |a + b| = |b| − |a|

Hesab

4 − 2 = 2

İstiqamət

modulu böyük olan b ilə eyni: sola

Hal

a ↑↓ b, |a| = 2, |b| = 5

Qayda

|a| < |b| ⇒ |a + b| = |b| − |a|

Hesab

5 − 2 = 3

İstiqamət

modulu böyük olan b ilə eyni: sola

Hal

a ↑↓ b, |a| = 3, |b| = 1

Qayda

|a| > |b| ⇒ |a + b| = |a| − |b|

Hesab

3 − 1 = 2

İstiqamət

modulu böyük olan a ilə eyni: sağa

Hal

a ↑↓ b, |a| = 3, |b| = 2

Qayda

|a| > |b| ⇒ |a + b| = |a| − |b|

Hesab

3 − 2 = 1

İstiqamət

modulu böyük olan a ilə eyni: sağa

Hal

a ↑↓ b, |a| = 3, |b| = 3

Qayda

|a| = |b|: əks vektorlar

Hesab

r = 0, |r| = 0

İstiqamət

istiqamət yoxdur: ox başlanğıc nöqtəyə qayıdır

Hal

a ↑↓ b, |a| = 3, |b| = 4

Qayda

|a| < |b| ⇒ |a + b| = |b| − |a|

Hesab

4 − 3 = 1

İstiqamət

modulu böyük olan b ilə eyni: sola

Hal

a ↑↓ b, |a| = 3, |b| = 5

Qayda

|a| < |b| ⇒ |a + b| = |b| − |a|

Hesab

5 − 3 = 2

İstiqamət

modulu böyük olan b ilə eyni: sola

Hal

a ↑↓ b, |a| = 4, |b| = 1

Qayda

|a| > |b| ⇒ |a + b| = |a| − |b|

Hesab

4 − 1 = 3

İstiqamət

modulu böyük olan a ilə eyni: sağa

Hal

a ↑↓ b, |a| = 4, |b| = 2

Qayda

|a| > |b| ⇒ |a + b| = |a| − |b|

Hesab

4 − 2 = 2

İstiqamət

modulu böyük olan a ilə eyni: sağa

Hal

a ↑↓ b, |a| = 4, |b| = 3

Qayda

|a| > |b| ⇒ |a + b| = |a| − |b|

Hesab

4 − 3 = 1

İstiqamət

modulu böyük olan a ilə eyni: sağa

Hal

a ↑↓ b, |a| = 4, |b| = 4

Qayda

|a| = |b|: əks vektorlar

Hesab

r = 0, |r| = 0

İstiqamət

istiqamət yoxdur: ox başlanğıc nöqtəyə qayıdır

Hal

a ↑↓ b, |a| = 4, |b| = 5

Qayda

|a| < |b| ⇒ |a + b| = |b| − |a|

Hesab

5 − 4 = 1

İstiqamət

modulu böyük olan b ilə eyni: sola

Laboratoriyada yoxla:

1. «↑↑ eyni» seç və |b|‑ni 1-dən 5-ə qədər artır. |r| necə dəyişir? Nə gördün? Hər addımda 1 vahid artır: |r| = |a| + |b|. Cəm həmişə hər iki toplanandan uzundur.
2. «↑↓ əks» və |a| = 3 seç, sonra |b|‑ni 1-dən 5-ə qədər dəyiş. r nə vaxt istiqamətini dəyişir? Nə gördün? |b| 1 və 2 olanda r sağa (a ilə eyni), 3 olanda r = 0, 4 və 5 olanda sola (b ilə eyni) yönəlir. İstiqaməti həmişə modulu böyük olan vektor təyin edir.
3. Hansı seçimlərdə r toplananların ən uzunundan da qısa olur? Nə gördün? Yalnız «↑↓ əks» seçimlərində. Eyni istiqamətdə cəm ən uzun toplanandan həmişə uzundur — |a + b| = |a| + |b| bərabərliyi ancaq orada doğrudur.

5 · Hesabla

Qüvvə, sürət, yerdəyişmə

Hər məsələdə eyni üç sual: vektorlar eyni istiqamətlidir, yoxsa əks? Hansı qayda işləyir? Əvəzləyici hara yönəlib?

Nümunə 1Eyni istiqamətli qüvvələr

Qayığı sahilə çıxarmaq üçün iki nəfər ona bağlı kəndirləri sahilə doğru dartır: biri 230 N, digəri 145 N qüvvə ilə. Əvəzləyici qüvvənin modulunu və istiqamətini tapın.

230 N və 145 N eyni istiqamətdə

1. Qüvvələri a (230 N) və b (145 N) ilə işarə edək. Hər ikisi sahilə yönəlib: a ↑↑ b.
2. Eyni istiqamətdə modullar toplanır: |a + b| = 230 + 145 = 375 N.
3. Əvəzləyici də sahilə doğru yönəlir. 375 N, sahilə doğru

Nümunə 2Axına qarşı

Üzgüçü çayda axına qarşı üzür. Onun suya nəzərən sürəti 1,6 m/san, axının sürəti 0,9 m/san-dır. Üzgüçü sahilə nəzərən hansı sürətlə və hansı tərəfə hərəkət edir?

1,6 m/san axına qarşı və 0,9 m/san axın

1. Sahilə nəzərən sürət iki sürətin cəmidir: üzgüçünün suya nəzərən sürəti a və axının sürəti b. Onlar əks istiqamətlidir: a ↑↓ b.
2. |a| > |b|, ona görə |a + b| = |a| − |b| = 1,6 − 0,9 = 0,7 m/san.
3. Əvəzləyici modulu böyük olan a ilə eyni istiqamətdədir: üzgüçü yavaş da olsa, axına qarşı irəliləyir. 0,7 m/san, axına qarşı

Nümunə 3Miqyasla çəkək

Dron düz yol boyunca əvvəlcə 120 m şərqə, sonra 300 m qərbə uçdu. 1 sm : 60 m miqyası ilə yerdəyişmələri çəkin və dronun yekun yerdəyişməsini tapın.

1 sm : 60 m miqyası ilə dronun yerdəyişməsi

1. Miqyasla uzunluqlar: 120 : 60 = 2 sm şərqə (a), 300 : 60 = 5 sm qərbə (b).
2. b vektorunu a-nın sonundan qərbə çəkirik. Əvəzləyici r 3 sm-dir və qərbə yönəlib.
3. Hesabla yoxlayaq: |b| > |a|, ona görə |r| = |b| − |a| = 300 − 120 = 180 m. Çəkilişdə də 3 · 60 = 180 m. 180 m, qərbə

Nümunə 4Tarazlıq

Rəfdəki güldanı Yer 15 N qüvvə ilə aşağı çəkir, rəf isə onu 15 N qüvvə ilə yuxarı itələyir. Güldana təsir edən əvəzləyici qüvvə nədir?

Güldana təsir edən iki əks qüvvə və onların cəmi

1. Qüvvələr bir şaquli düz xətt üzərindədir və əks istiqamətlidir: rəfin qüvvəsi a yuxarı, ağırlıq b aşağı, a ↑↓ b.
2. Modullar bərabərdir: |a| = |b| = 15 N. Deməli, bunlar əks vektorlardır: b = −a.
3. Əks vektorların cəmi sıfır vektordur: a + b = 0. Güldan sükunətdə qalır. 0, yəni |r| = 0

6 · Diqqət

Dörd tələ

Səhv

9 N → + 4 N ← = 13 N

Əks istiqamətli qüvvələrin modulları toplanıb.

Düzgün

9 N → + 4 N ← = 5 N →

Əks istiqamətdə böyük moduldan kiçiyi çıxılır: 9 − 4 = 5.

Səhv

3 m/san → + 8 m/san ← = 5 m/san →

İstiqamət birinci (kiçik) vektordan götürülüb.

Düzgün

3 m/san → + 8 m/san ← = 5 m/san ←

Əvəzləyici modulu böyük olan vektorla eyni istiqamətdədir.

Səhv

a ↑↑ b: √(9² + 12²) = 15

Pifaqor teoremi perpendikulyar vektorlar üçündür.

Düzgün

a ↑↑ b: 9 + 12 = 21

|a| = 9, |b| = 12 və vektorlar bir xətt üzərindədir: uzunluqlar ardıcıl düzülür.

Səhv

|r| = 0

Uzunluq ədəddir, sıfır vektor isə vektordur.

Düzgün

r = 0, |r| = 0

Əks vektorların cəmi sıfır vektordur, onun uzunluğu 0 ədədidir.

7 · Həyatda

Mekik qaçışı: yol və yerdəyişmə

Bədən tərbiyəsi dərsində mekik qaçışı iki xətt arasında get-gəldir. 4 × 9 m qaçışında şagird 9 m irəli, 9 m geri, yenə 9 m irəli və 9 m geri qaçır.

Mekik qaçışında yerdəyişmə vektorları

Hər hissə bir vektordur. Növbəti hissə əvvəlkinin bitdiyi yerdən başlayır (aydın görünsün deyə hissələr alt-alta çəkilib). Lime ox və nöqtə əvəzləyici yerdəyişmədir.

Qaçılan yol bütün hissələrin uzunluqlarının cəmidir: 4 · 9 = 36 m. Yerdəyişmə isə dörd kollinear vektorun cəmidir. Hər «irəli» vektoru özünə əks olan «geri» vektoru ilə 0 verir, ona görə yerdəyişmə 0‑dır: şagird start xəttində bitirir.

3 × 10 m qaçışında iki hissə bir-birini yox edir, üçüncü qalır: yerdəyişmə 10 m irəli, yol isə 30 m.

Yol ədəddir, yerdəyişmə vektordur

Ədədlər bu dərs üçün seçilib; mekik qaçışının məsafəsi məktəbdən məktəbə dəyişə bilər.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan |m| = 8, |n| = 5 və m ↑↑ n. |m + n| nəyə bərabərdir? Cavab variantları 3 13 √89 40 Düzdür! Eyni istiqamətdə modullar toplanır. Yox. Vektorlar eyni istiqamətlidir və bir xətt üzərindədir: uzunluqlar ardıcıl düzülür. Həllə bax m ↑↑ n olduğuna görə |m + n| = |m| + |n| = 8 + 5 = 13. 3 əks istiqamətin qaydasıdır, √89 perpendikulyar vektorlar üçündür, 40 isə modulların hasilidir.
2. Asan Hava şarına 950 N qaldırıcı qüvvə yuxarı, 800 N ağırlıq qüvvəsi aşağı təsir edir. Əvəzləyici qüvvə hansıdır? Cavab variantları 150 N, aşağı 1750 N, yuxarı 150 N, yuxarı Əla! Böyük qüvvə yuxarıdır, şar yuxarı qalxır. Yox. Qüvvələr əks istiqamətlidir: böyükdən kiçiyi çıx, istiqaməti böyük qüvvədən götür. Həllə bax Qüvvələr əks istiqamətlidir, 950 > 800: |r| = 950 − 800 = 150 N. Əvəzləyici böyük qüvvə ilə, yəni yuxarı yönəlib.
3. Orta Uşaq düz dəhlizdə 14 m irəli, 14 m geri, sonra yenə 6 m irəli getdi. Onun yerdəyişməsinin modulu nə qədərdir? Cavab variantları 34 m 0 m 6 m 22 m Düzdür! İlk iki hissə bir-birini yox edir. Yox. 34 m gedilən yoldur; yerdəyişmə üç vektorun cəmidir — hamısını nəzərə al. Həllə bax 14 m irəli və 14 m geri əks vektorlardır, cəmləri 0‑dır. Qalır 6 m irəli. Yol isə 14 + 14 + 6 = 34 m‑dir. 0 m yalnız ilk iki hissəni, 22 m isə son hissəni geri sayanda alınır.
4. Orta a ↑↓ b, |a| = 2, |b| = 9. Hansı doğrudur? Cavab variantları |a + b| = 7, a + b vektoru b ilə eyni istiqamətdədir |a + b| = 7, a + b vektoru a ilə eyni istiqamətdədir |a + b| = 11, a + b vektoru b ilə eyni istiqamətdədir Əla! Modul fərqdir, istiqamət böyük vektordandır. Yox. Əks istiqamətdə modullar çıxılır, istiqamət isə modulu böyük olan vektordan götürülür. Həllə bax |b| > |a|, ona görə |a + b| = |b| − |a| = 9 − 2 = 7, cəm b ilə eyni istiqamətdədir.
5. Çətin Kirşəni iki uşaq irəli dartır: biri 48 N, digəri 36 N qüvvə ilə. Üçüncü uşaq onu arxadan 50 N qüvvə ilə geri saxlayır. Əvəzləyici qüvvə hansıdır? Cavab variantları 134 N, irəli 62 N, irəli 34 N, geri 34 N, irəli Düzdür! Əvvəl eyni istiqamətlilər, sonra əks olan. Yox. Əvvəl irəli dartan iki qüvvəni topla, sonra geri saxlayan qüvvəni nəzərə al. Həllə bax İrəli dartan qüvvələr eyni istiqamətlidir: 48 + 36 = 84 N irəli. Bu, 50 N geri qüvvəyə əksdir və ondan böyükdür: 84 − 50 = 34 N, istiqamət irəli. 134 N bütün modulların cəmidir, 62 N isə 36 N-i geri, 50 N-i irəli sayanda alınır.
6. Çətin c və d kollinear vektorlardır, |c| = 6, |d| = 10. İstiqamətləri bilinmir. |c + d| hansı qiymətləri ala bilər? Cavab variantları yalnız 16 4 və ya 16 yalnız 4 4 ilə 16 arasında istənilən ədəd Əla! Kollinear vektorlar üçün yalnız iki hal var. Yox. Kollinear vektorlar ya eyni, ya da əks istiqamətlidir — hər iki halı yoxla. Həllə bax c ↑↑ d olarsa, 6 + 10 = 16; c ↑↓ d olarsa, 10 − 6 = 4. Başqa hal yoxdur: aradakı qiymətlər yalnız kollinear olmayan vektorlarda alınır.

Xülasə

Yadda qalanlar

• a ↑↑ b|a + b| = |a| + |b|, cəm həmin istiqamətdədir. Bu bərabərlik yalnız eyni istiqamətdə doğrudur.
• a ↑↓ bBöyük moduldan kiçiyi çıx: əvəzləyici modulu böyük olan vektorla eyni istiqamətdədir.
• a + (−a) = 0Modulları bərabər əks vektorların cəmi sıfır vektordur; yol isə yerdəyişmə deyil.

Növbəti mövzu: 4.57 Kollinear olmayan vektorların toplanması və çıxılması

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 9-cu sinif», «8-1 Vektorlar» (səh. 162: kollinear, eyni və əks istiqamətli vektorlar, sıfır vektor) və «8-3 Vektorların toplanması və çıxılması» (səh. 171–172: «Kollinear vektorların toplanması» qutusu, ümumiləşdirmə qutusunun üç halı). Dərslikdəki «|r| = 0» yazılışı r = 0 kimi düzəldilib. Nümunələrdəki, laboratoriyadakı və yoxlama suallarındakı ədədlər bu dərs üçün seçilmiş tədris ədədləridir; hərəkətli yolun və addımın sürəti real ölçülərə yaxındır, mekik qaçışı şərti nümunədir.