Paralel köçürmə

• 4.61
• 9-cu sinif
• Həndəsə

Paralel köçürmə

Kanat yolunun kabinəsi yamac boyu yuxarı qalxır, amma nə əyilir, nə də fırlanır. Onun damı, pəncərəsi, döşəməsi — hər nöqtəsi eyni istiqamətdə, eyni məsafə qədər yerini dəyişir. Fiqurun belə yerdəyişməsi paralel köçürmədir.

Bu dərsdə

• paralel köçürməni (x; y) → (x + a; y + b) qaydası və ⟨a; b⟩ vektoru ilə yazacaq, nöqtənin surətini və surəti verilmiş nöqtəni tapacaqsan;
• nöqtə ilə onun surətindən köçürmə vektorunu və hər nöqtənin getdiyi yolun uzunluğunu hesablayacaqsan;
• paralel köçürmədə məsafənin və istiqamətin niyə saxlandığını isbat edəcək, ABB′A′ dördbucaqlısının paraleloqram olduğunu göstərəcəksən.

Kanat yolunun kabinəsi paralel köçürülür

BaşlaYenidənYenidən

1. Kəşf et
2. Tərif və qayda
3. Köçürmə vektoru
4. Niyə məsafə saxlanır
5. Nəticələr
6. Hesabla
7. Diqqət
8. Həyatda
9. Özünü yoxla
10. Yekun

1 · Kəşf et

Hər nöqtə eyni addımı atır

Kabinəni torlu vərəqdə ABC üçbucağı ilə əvəz edək. Vektor seç: fiqurun hər təpəsi bu vektor qədər yerini dəyişir, yaşıl fiqur onun yeni vəziyyətidir. Narıncı oxlar təpələrin yerdəyişməsidir. Tor xanası 1 vahiddir.

Yadına sal: ⟨a; b⟩ vektoru a vahid üfüqi (müsbət olsa sağa, mənfi olsa sola) və b vahid şaquli (müsbət olsa yuxarı, mənfi olsa aşağı) addımdır; uzunluğu √(a² + b²)-dir.

Köçürmə vektoru

⟨5; 2⟩ ⟨−4; 3⟩ ⟨0; 4⟩ ⟨−3; −3⟩

Laboratoriya: ABC üçbucağı seçilmiş vektor üzrə köçürülür

⟨5; 2⟩: hər təpə 5 xana sağa, 2 xana yuxarı gedir.

Üç ox bərabərdir: √(5² + 2²) = √29 ≈ 5,4 xana, hamısı eyni istiqamətdə və bir-birinə paraleldir. A′B′C′ üçbucağı ABC-nin özüdür — tərəfləri, bucaqları eynidir, fiqur dönməyib.

⟨−4; 3⟩: hər təpə 4 xana sola, 3 xana yuxarı gedir.

Üç ox bərabərdir: √((−4)² + 3²) = √25 = 5 xana, hamısı eyni istiqamətdə və bir-birinə paraleldir. A′B′C′ üçbucağı ABC-nin özüdür — tərəfləri, bucaqları eynidir, fiqur dönməyib.

⟨0; 4⟩: hər təpə yalnız 4 xana yuxarı (üfüqi addım 0-dır) gedir.

Üç ox bərabərdir: √(0² + 4²) = 4 xana, hamısı eyni istiqamətdə və bir-birinə paraleldir. A′B′C′ üçbucağı ABC-nin özüdür — tərəfləri, bucaqları eynidir, fiqur dönməyib.

⟨−3; −3⟩: hər təpə 3 xana sola, 3 xana aşağı gedir.

Üç ox bərabərdir: √((−3)² + (−3)²) = √18 = 3√2 ≈ 4,2 xana, hamısı eyni istiqamətdə və bir-birinə paraleldir. A′B′C′ üçbucağı ABC-nin özüdür — tərəfləri, bucaqları eynidir, fiqur dönməyib.

Hansı vektoru seçsən də, iki şey dəyişmir: üç ox bir-birinə bərabər və paraleldir, yeni fiqur isə köhnəsinin dəqiq surətidir — sadəcə başqa yerdədir. Nöqtənin yeni vəziyyəti onun surəti adlanır: A-nın surəti A′-dür (oxunuşu «A ştrix»).

2 · Qayda

Tərif və koordinat qaydası

«Paralel köçürmədə nöqtələr paralel (yaxud üst-üstə düşən) düz xətlər üzrə eyni məsafə qədər yerini dəyişir və fiqur özünə konqruyent fiqura çevrilir.»

Dərslik, 8-6, s. 182

«Üst-üstə düşən» sözü bir halı da əhatə edir: iki nöqtə köçürmə istiqamətindəki eyni düz xəttin üzərindədirsə, onların yolları bir düz xətt üzrə gedir (4-cü mərhələdə görəcəksən). Koordinat müstəvisində bu tərif bir qaydaya çevrilir:

Yadda saxla

Paralel köçürmədə ixtiyari A(x; y) nöqtəsi A′(x′; y′) nöqtəsinə çevrilir və

x′ = x + a, y′ = y + b

Qısa yazılış: (x; y) → (x + a; y + b). Sağa və yuxarı yerdəyişmə müsbət, sola və aşağı yerdəyişmə mənfi a və b ədədləri ilə yazılır.

Koordinat qaydası: A nöqtəsi A′ nöqtəsinə çevrilir

Mavi A-dan a qədər üfüqi və b qədər şaquli addımla yaşıl A′-ə gəlirik. Narıncı ox bu iki addımı birləşdirir — o, köçürmə vektorudur.

Sözdən qaydaya

«m vahid sola» → a = −m; «n vahid aşağı» → b = −n. Sağa və yuxarı işarəni saxlayır.

Bir ox boyu

a = 0 olsa, fiqur yalnız yuxarı və ya aşağı, b = 0 olsa, yalnız sağa və ya sola sürüşür.

3 · Qayda

Köçürmə vektoru

«Hər bir paralel köçürmə bir vektor müəyyən edir. Yəni paralel köçürmədə fiqurun bütün nöqtələrinin yerdəyişməsi bir vektor üzrə icra edilir.» «Vektorun komponentləri Ox oxu və Oy oxu boyunca nöqtənin yerdəyişməsini göstərir.»

Dərslik, 8-6, «Paralel köçürmə və vektorlar», s. 184

Deməli, paralel köçürməni bir vektor tam təyin edir: ⟨a; b⟩. Ona «⟨a; b⟩ vektoru üzrə paralel köçürmə» deyilir. Bir nöqtə ilə onun surəti məlumdursa, vektor da məlumdur — sonra istənilən başqa nöqtənin surətini yazmaq olar.

Nöqtə və surət → vektor

a = x′ − x, b = y′ − y: surətdən ilkini çıx.

Surət → nöqtə

x = x′ − a, y = y′ − b: vektoru geri çıx.

Yolun uzunluğu

|⟨a; b⟩| = √(a² + b²) — fiqurun hər nöqtəsi məhz bu qədər yerini dəyişir: AA′ = BB′ = CC′ = …

4 · Qayda

Niyə məsafə və istiqamət dəyişmir?

Laboratoriyada surət ilkin fiqura tam bənzəyirdi. İndi bunun həmişə belə olduğunu isbat edək.

«Paralel köçürmədə iki nöqtə arasındakı məsafə dəyişmir.»

Dərslik, 8-6, s. 182

Koordinatlarla isbat

1. İxtiyari iki nöqtə götürək: A(x1; y1) və B(x2; y2). Qaydaya görə onların surətləri: A′(x1 + a; y1 + b),B′(x2 + a; y2 + b).
2. Surətlərin koordinat fərqləri: (x2 + a) − (x1 + a) = x2 − x1,(y2 + b) − (y1 + b) = y2 − y1. a və b ixtisar olunur.
3. Deməli, A′B′ vektoru AB vektoruna bərabərdir: hər ikisi ⟨x2 − x1; y2 − y1⟩. Bərabər vektorların həm uzunluğu, həm də istiqaməti eynidir.
4. İki nöqtə arasındakı məsafə düsturu ilə:

AB = √((x2 − x1)² + (y2 − y1)²),A′B′ = √((x2 − x1)² + (y2 − y1)²) ⇒ A′B′ = AB.

Dərslikdə bu düsturun ikinci mötərizəsi çap səhvi ilə (y2 + y1)² kimi yazılıb; doğrusu (y2 − y1)²-dir.

ABB′A′ niyə paraleloqramdır?

Tutaq ki, köçürmə vektoru AB düz xəttinə paralel deyil. Onda A, B, B′, A′ nöqtələri dördbucaqlı əmələ gətirir. Bunun paraleloqram olduğunu iki yolla görmək olar.

1-ci yol. AA′ və BB′ yerdəyişmələrinin hər ikisi ⟨a; b⟩ vektorudur: onlar bərabər və eyni istiqamətlidir. İki qarşı tərəfi bərabər və paralel olan dördbucaqlı paraleloqramdır.

2-ci yol (dərslikdəki kimi). Diaqonalların ortalarını tapaq:

AB′ ortası: ((x1 + x2 + a) : 2; (y1 + y2 + b) : 2),A′B ortası: ((x1 + a + x2) : 2; (y1 + b + y2) : 2).

Bu, eyni M nöqtəsidir. Diaqonalları kəsişən və kəsişmə nöqtəsində yarıya bölünən dördbucaqlı paraleloqramdır.

ABB′A′ paraleloqramdır

BaşlaYenidənYenidən

Başla: əvvəl AB, sonra eyni vektorla AA′ və BB′, sonra A′B′ və diaqonallar çəkilir. Diaqonallar M-də yarıya bölünür; bir çərtik — AA′ = BB′, iki çərtik — AB = A′B′.

Nəticə

Paraleloqramın qarşı tərəfləri bərabər və paraleldir: A′B′ = AB və A′B′ ∥ AB. Paralel köçürmədə parçanın həm uzunluğu, həm də istiqaməti saxlanır.

Vektor AB-yə paraleldirsə, düz xətt özünə çevrilir

Vektor AB-yə paraleldir: dörd nöqtə bir düz xəttin üzərindədir.

Köçürmə vektoru AB düz xəttinə paraleldirsə, A, B, A′, B′ bir düz xəttin üzərində olur və dördbucaqlı alınmır. Onda AB düz xətti özünə çevrilir. Koordinatlarla isbat isə yenə işləyir: A′B′ = AB.

5 · Qayda

Nəticələr

Düz xətt

«Paralel köçürmədə düz xətt paralel düz xəttə (və ya özünə) çevrilir.» (dərslik, s. 182)

Üçbucaq və fiqur

Üçbucağın üç tərəfi saxlanır, ona görə surət TTT əlamətinə görə ona konqruyentdir; uyğun bucaqlar da bərabərdir. İstənilən fiqur özünə konqruyent fiqura çevrilir.

Hərəkət

İstənilən iki nöqtə arasındakı məsafəni saxlayan çevrilmə hərəkət adlanır. «Paralel köçürmə hərəkətdir.» Başqa hərəkətlərlə növbəti dərsdə tanış olacaqsan.

6 · Hesabla

Qaydanı işə salaq

Nümunə 1Sözdən qaydaya

EFG üçbucağının təpələri E(−4; −4), F(−2; −7), G(−5; 0). Üçbucaq 3 vahid sola və 2 vahid yuxarı köçürülür. Qaydanı və vektoru yaz, surətin təpələrini tap.

1. Sola — mənfi, yuxarı — müsbət: a = −3, b = 2. Qayda (x; y) → (x − 3; y + 2), vektor ⟨−3; 2⟩.
2. E(−4; −4) → E′(−4 − 3; −4 + 2) = E′(−7; −2).
3. Eyni qayda ilə F(−2; −7) → F′(−5; −5), G(−5; 0) → G′(−8; 2).
4. Yoxlama: hər təpə √((−3)² + 2²) = √13 ≈ 3,6 vahid yerini dəyişir — fiqurda üç narıncı ox bərabərdir.

E′(−7; −2), F′(−5; −5), G′(−8; 2)

EFG üçbucağı ⟨−3; 2⟩ vektoru üzrə köçürülür

EFG (mavi) və E′F′G′ (yaşıl). Narıncı oxlar bərabər və paraleldir.

Nümunə 2Bir nöqtə — bütün köçürmə

Paralel köçürmədə T(1; 8) nöqtəsi T′(0; 6) nöqtəsinə çevrilir. a) Hansı nöqtə V′(5; −7) nöqtəsinə çevrilir? b) W(7; −6) nöqtəsi hansı nöqtəyə çevrilir?

1. Vektor — surətdən ilkin: ⟨0 − 1; 6 − 8⟩ = ⟨−1; −2⟩. Hər nöqtə 1 vahid sola, 2 vahid aşağı gedir.
2. a) Vektoru geri çıxırıq: V(5 − (−1); −7 − (−2)) = V(6; −5);yoxlama: (6 − 1; −5 − 2) = (5; −7) ✓.
3. b) W′(7 − 1; −6 − 2) = W′(6; −8).

a) V(6; −5); b) W′(6; −8)

Nümunə 3Məsafəni və paraleloqramı yoxla

C(−2; −9) və D(10; −4) nöqtələri ⟨−2; 4⟩ vektoru üzrə köçürülür. CD = C′D′ olduğunu və CDD′C′ dördbucaqlısının paraleloqram olduğunu yoxla.

1. C′(−4; −5), D′(8; 0).
2. Uzunluqlar: CD = √((10 − (−2))² + (−4 − (−9))²)= √(144 + 25) = 13,C′D′ = √((8 − (−4))² + (0 − (−5))²)= √(144 + 25) = 13.
3. Diaqonalların ortaları: CD′: ((−2 + 8) : 2; (−9 + 0) : 2)= (3; −4,5),C′D: ((−4 + 10) : 2; (−5 + (−4)) : 2)= (3; −4,5).
4. Ortalar eynidir: diaqonallar yarıya bölünür, CDD′C′ paraleloqramdır. Yan tərəflər CC′ = DD′ = √((−2)² + 4²) = √20 = 2√5.

CD = C′D′ = 13, diaqonalların ortaq ortası M(3; −4,5)

CDD′C′ paraleloqramı

CD və C′D′ bərabər və paraleldir; punktir diaqonallar M-də yarıya bölünür.

7 · Diqqət

Tez-tez edilən səhvlər

«4 vahid sola»

(x; y) → (x + 4; y)

Sola getmək x-i azaldır, artırmır.

«4 vahid sola»

(x; y) → (x − 4; y)

Vektor ⟨−4; 0⟩: sola və aşağı — mənfi.

P(−3; 3) → P′(0; −1): vektor

⟨−3; 4⟩

İlkindən surət çıxılıb: ox tərsinə, P′-dən P-yə baxır.

P(−3; 3) → P′(0; −1): vektor

⟨3; −4⟩

Surətdən ilkin: ⟨0 − (−3); −1 − 3⟩.

Qayda (x; y) → (x − 2; y − 1); hansı nöqtə (−3; −6) nöqtəsinə çevrilir?

(−5; −7)

Qayda verilmiş surətə tətbiq olunub — bu, (−3; −6)-nın öz surətidir.

Eyni sual

(−1; −5)

Vektoru geri çıx: (−3 + 2; −6 + 1). Yoxlama: (−1 − 2; −5 − 1) = (−3; −6) ✓.

ABB′A′ həmişə

romb

AB ilə AA′ fərqli uzunluqda ola bilər — onda qonşu tərəflər bərabər deyil.

ABB′A′ (A′ AB düz xəttində deyil)

paraleloqram

İki qarşı tərəfi — AA′ və BB′ — bərabər və paraleldir. Romb yalnız AB = AA′ olduqda alınır.

8 · Həyatda

Metro eskalatoru

Eskalatorun düz maili hissəsində pillə əyilmədən, dönmədən sürüşür — bu, paralel köçürmədir. Pillənin ön kənarı, arxa kənarı, onun üstündə dayanan sərnişinin ayaqqabısı və çantası eyni vektor qədər yerini dəyişir.

Tutaq ki, maili hissə üfüqi istiqamətdə 45 m, şaquli istiqamətdə 24 m-dir. Ox-u üfüqi, Oy-i şaquli götürsək, pillənin aşağıdan yuxarıya köçürmə vektoru ⟨45; 24⟩ (metrlə) olar.

|⟨45; 24⟩| = √(45² + 24²) = √(2025 + 576)= √2601 = 51 m.

Sərnişinin hər nöqtəsi — başı da, ayaqqabısı da — 51 m yol gedir. Onun boyu, pillənin eni, çantanın ölçüsü yuxarıda da eynidir: paralel köçürmədə məsafə saxlanır.

Eskalatorun pilləsi paralel köçürülür

Aşağıda mavi punktir sərnişin, yuxarıda yaşıl: hər ikisi eyni pillədədir. Narıncı ox köçürmə vektorudur.

Sadələşdirmə: pillə yalnız düz maili hissədə köçürülür; aşağıda və yuxarıda o, dönərək üfüqi vəziyyətə keçir. Ölçülər nümunədir.

9 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan x′ = x − 4, y′ = y − 2. F(−5; 6) nöqtəsi hansı nöqtəyə çevrilir? Cavab variantları (−9; 4) (−1; 8) (−9; 8) (−7; 2) Düzdür! x′ = −5 − 4 = −9, y′ = 6 − 2 = 4. Qaydaya bax: hər iki koordinat azalır; x-dən 4, y-dən 2 çıxılır, yerləri dəyişmir. Həllə bax x′ = −5 + (−4) = −9, y′ = 6 + (−2) = 4. Surət F′(−9; 4).
2. Asan KLM üçbucağında ∠L = 38°. Üçbucaq paralel köçürülür. ∠L′ neçə dərəcədir? Cavab variantları 38° 76° 142° vektor verilmədən tapmaq olmaz Düzdür! Surət konqruyent üçbucaqdır, uyğun bucaqlar bərabərdir. Paralel köçürmədə fiqur özünə konqruyent fiqura çevrilir — bucaq dəyişmir, vektor nə olursa olsun. Həllə bax Üç tərəf saxlanır (məsafə dəyişmir), TTT əlamətinə görə ΔK′L′M′ ≅ ΔKLM, deməli ∠L′ = ∠L = 38°.
3. Orta Paralel köçürmədə G(−6; −6) nöqtəsi G′(0; −5) nöqtəsinə çevrilir. Köçürmə vektorunu tap. Cavab variantları ⟨6; 1⟩ ⟨−6; −1⟩ ⟨−6; −11⟩ ⟨0; −5⟩ Düzdür! Surətdən ilkini çıxdın. Vektor — surətin koordinatlarından ilkinin koordinatlarını çıxmaqdır, toplamaq və ya tərsinə çıxmaq deyil. Həllə bax ⟨0 − (−6); −5 − (−6)⟩ = ⟨6; 1⟩: 6 vahid sağa, 1 vahid yuxarı.
4. Orta Paralel köçürmə (x; y) → (x − 7; y − 2) qaydası ilə verilib. Hansı nöqtə H′(2; 7) nöqtəsinə çevrilir? Cavab variantları (9; 9) (−5; 5) (9; 7) (2; 9) Düzdür! Vektoru geri çıxdın və yoxladın. Qaydanı surətə tətbiq etmə: axtarılan nöqtədən 7 və 2 çıxanda H′ alınmalıdır. Hər iki koordinatı qaytar. Həllə bax x − 7 = 2 ⇒ x = 9; y − 2 = 7 ⇒ y = 9. Yoxlama: (9 − 7; 9 − 2) = (2; 7) ✓.
5. Çətin Paralel köçürmədə A(−6; −5) nöqtəsi B(3; 7) nöqtəsinə çevrilir. Fiqurun hər nöqtəsi neçə vahid yerini dəyişir? Cavab variantları 15 21 225 √13 Düzdür! Vektorun uzunluğu hər nöqtənin yoludur. Əvvəl vektoru tap (surətdən ilkin), sonra uzunluğu √(a² + b²) ilə hesabla — komponentləri toplamaq olmaz və kökü unutma. Həllə bax Vektor ⟨3 − (−6); 7 − (−5)⟩ = ⟨9; 12⟩; uzunluğu √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15.
6. Çətin A(−5; −9) və B(−6; −7) nöqtələri ⟨−3; 6⟩ vektoru üzrə köçürülür. Hansı doğrudur? Cavab variantları A′(−8; −3), B′(−9; −1); dörd nöqtə bir düz xəttin üzərindədir A′(−8; −3), B′(−9; −1); ABB′A′ paraleloqramdır A′(−8; −3), B′(−9; −1); A′B′ = 3AB A′B′ ∥ AB və onlar iki müxtəlif paralel düz xətdir Düzdür! Vektor AB-yə paraleldir, düz xətt özünə çevrilir. AB vektorunu köçürmə vektoru ilə müqayisə et: onlar kollineardırsa, dördbucaqlı alınmır. Uzunluq isə heç vaxt dəyişmir. Həllə bax AB vektoru ⟨−6 − (−5); −7 − (−9)⟩ = ⟨−1; 2⟩, köçürmə vektoru ⟨−3; 6⟩ = 3 · ⟨−1; 2⟩ — onlar kollineardır. Deməli, A′ AB düz xəttinin üzərindədir və AB düz xətti özünə çevrilir. A′B′ = AB = √((−1)² + 2²) = √5: uzunluq dəyişmir, 3AB deyil.

10 · Yekun

Yadda saxla

1. Hər nöqtə eyni vektor qədər. (x; y) → (x + a; y + b): sağa və yuxarı — müsbət, sola və aşağı — mənfi.
2. Vektor = surət − ilkin. ⟨x′ − x; y′ − y⟩, uzunluğu √(a² + b²); surət verilibsə, vektoru geri çıx.
3. Məsafə və istiqamət saxlanır. AB vektoru dəyişmir, ABB′A′ paraleloqramdır; düz xətt paralel düz xəttə (və ya özünə), fiqur konqruyent fiqura çevrilir.

Növbəti mövzu: 4.62 Hərəkət və konqruyent fiqurlar

Mənbə: Riyaziyyat. Dərslik. 9-cu sinif, 8-6 «Paralel köçürmə», s. 182–184 (tərif, koordinat qaydası, məsafənin saxlanması, ABB′A′ paraleloqramı, «Paralel köçürmə və vektorlar» qutusu). Dərslikdə s. 182-də məsafə düsturu (y2 + y1)² ilə çap olunub — burada doğru (y2 − y1)² yazılıb; s. 184-də «nüqtələrinin» sözü «nöqtələrinin» kimi oxunur. Kanat yolu, eskalator, laboratoriya və bütün ədədli nümunələr bu dərsin modelləridir.