Vektorların toplanması və çıxılması

• 4.55
• 9-cu sinif
• Vektorlar

Vektorların toplanması və çıxılması

Şahmat atı «iki xana irəli, bir xana sağa» gedir. Bu, iki yerdəyişmədir, yoxsa bir? Xanaları L boyunca saysaq da, at bir sıçrayışla son xanaya düşür: iki vektorun cəmi bir vektordur — PQ + QT = PT.

Bu dərsdə

• vektorların ucu-uca toplanmasını yerdəyişmə ilə izah edəcək, üçbucaq və paraleloqram qaydalarının eyni fikir olduğunu görəcəksən;
• sıfır və əks vektorları tanıyacaq, fərqi əks vektoru toplamaq kimi tapacaqsan;
• yerdəyişmə və qruplaşdırma xassələri ilə hərflərlə yazılmış vektor zəncirlərini sadələşdirəcəksən.

Şahmat atının gedişi iki vektorun cəmi kimi

Başla Yenidən Yenidən

1. Yerdəyişmə
2. Üçbucaq qaydası
3. Paraleloqram
4. Sıfır və əks
5. Çıxma
6. Xassələr
7. Laboratoriya
8. Hesabla
9. Diqqət
10. Həyatda
11. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Yerdəyişmə ardınca yerdəyişmə

Vektor istiqamətlənmiş parçadır: onun başlanğıcı, sonu, uzunluğu və istiqaməti var. Vektora yerdəyişmə kimi baxmaq rahatdır: PQ «P nöqtəsindən Q nöqtəsinə köçmək» deməkdir.

Şəkildə at əvvəlcə P-dən Q-ya (iki xana irəli), sonra Q-dan T-yə (bir xana sağa) «gedir». İki yerdəyişmənin nəticəsi bir yerdəyişmədir: P-dən birbaşa T-yə. Ona görə yazırıq:

PQ + QT = PT

Bu cəmə əvəzləyici vektor da deyilir: o, iki vektoru birlikdə əvəz edir. Diqqət et: at L boyunca üç xana sayır, amma PT oxu bu yoldan qısadır. Vektorları toplayanda uzunluqlar toplanmır — nəticə yalnız ilk başlanğıcdan və son nöqtədən asılıdır.

Bəs ikinci vektor birincinin ucunda deyilsə? Yadına sal: istiqamətləri eyni, uzunluqları bərabər olan vektorlar bərabər vektorlardır. Bərabər vektoru istənilən nöqtədən çəkmək olar — bu, eyni yerdəyişmədir. Ona görə ikinci vektoru elə köçürürük ki, onun başlanğıcı birincinin sonuna düşsün: vektorları ucu-uca qoyuruq.

Atın ikinci yolu. Əvvəl bir xana sağa (PR), sonra iki xana irəli (RT). Burada PR = QT və RT = PQ: eyni yerdəyişmələr, sadəcə başqa sırada. At yenə T xanasına düşür:

PR + RT = PT

2 · Qayda

Üçbucaq qaydası

Yadda saxla

Dərslik toplamanı belə təsvir edir: «v vektorunu elə yerləşdirin ki, onun başlanğıcı u vektorunun sonu ilə üst-üstə düşsün. u vektorunun başlanğıcından v vektorunun sonuna yönəlmiş vektor u və v vektorlarının cəmini göstərib onların əvəzləyicisi olur.»

AB + BC = AC

Birinci vektorun sonu ikincinin başlanğıcıdır — yazılışda qonşu hərflər eynidir (B). Cəm birincinin başlanğıcından (A) ikincinin sonuna (C) gedir.

Üçbucaq qaydası: AB + BC = AC

Mavi və narıncı oxlar B nöqtəsində görüşür. Lime ox — onların cəmi: A-dan C-yə bir yerdəyişmə.

Üç və daha çox vektor da belə toplanır: hər növbəti vektor əvvəlkinin ucundan başlayır. Dərslik bunu çoxbucaqlı qaydası adlandırır:

XY + YZ + ZW = XW

Ortadakı hərflər zəncirin halqaları kimi bir-birinə bağlanır (Y ilə Y, Z ilə Z); cavab zəncirin ilk və son hərfindən ibarətdir.

3 · Qayda

Paraleloqram qaydası — eyni fikir

Bəzən iki vektor ortaq başlanğıcdan çəkilir: u = EF və v = EH. Onları ucu-uca qoymaq üçün v-ni F nöqtəsinə köçürək.

EFGH paraleloqramında qarşı tərəflər paralel və bərabərdir, ona görə EH = FG: istiqamət də, uzunluq da eynidir. Deməli,

EF + EH = EF + FG = EG

Paraleloqram qaydası: EF + EH = EG

Başla Yenidən Yenidən

v-nin surəti E-dən F-ə sürüşür və FG olur. Ucu-uca qoyulmuş u və v-nin cəmi E-dən çıxan diaqonaldır.

Dərslik: «… tərəfləri u və v olan paraleloqram quraq. Bu paraleloqramın u və v vektorlarının başlanğıc nöqtəsindən çıxan diaqonalı onların cəmini, u + v vektorunu göstərir.»

Paraleloqram qaydası yeni qayda deyil: diaqonal elə üçbucaq qaydasının cavabıdır. Atda da belə idi — PQTR düzbucaqlıdır (paraleloqramın xüsusi halı), PT isə onun diaqonalıdır.

4 · Qayda

Sıfır vektor və əks vektorlar

Dərslikdən: «Başlanğıc və son nöqtələri üst-üstə düşən vektor sıfır vektor adlanır … Sıfır vektorunun uzunluğu sıfıra bərabərdir, istiqaməti isə qeyri-müəyyəndir.» Məsələn, LL = 0.

İstiqamətləri əks, uzunluqları bərabər olan vektorlar əks vektorlardır. u-ya əks vektor −u kimi yazılır. LS-ə əks vektor SL-dir: eyni parça, ox o biri ucdadır.

L-dən S-ə gedib geri qayıtsaq, yerimizdən tərpənməmişik:

LS + SL = LL = 0,ümumiyyətlə u + (−u) = 0.

Əks vektorların cəmi sıfır vektordur

Gediş və qayıdış əks vektorlardır. Onların cəmi bir nöqtədir — sıfır vektor.

Sıfırı əlavə etmək

u + 0 = u

Yerdəyişməyə «yerində qalmağı» əlavə etsək, o dəyişmir.

Vektor və ədəd

|0| = 0

Əks vektorların cəmi sıfır vektordur (0), onun uzunluğu isə 0 ədədidir. Vektoru ədədlə qarışdırma.

5 · Qayda

Çıxma — əksini topla

Yadda saxla

Dərslik: «u − v fərqini tapmaq üçün u-nun üzərinə v-yə əks olan vektoru əlavə etmək lazımdır. Yəni u − v ifadəsi ilə u + (−v) ifadəsi ekvivalent ifadələrdir.»

u − v = u + (−v)

(a) şəklində u-nun ucundan −v çəkirik: cəm lime oxdur. (b) şəklində u və v eyni nöqtədən çıxır. Eyni lime ox burada v-nin ucundan u-nun ucuna gedir. Niyə? v ilə bu oxu ucu-uca toplasaq, u alınır: v + (u − v) = u.

Fərq u − v iki şəkildə

Başla Yenidən Yenidən

Hər iki şəkildə lime ox eynidir: eyni istiqamət, eyni uzunluq. (a) — əksini ucu-uca əlavə edirik, (b) — ortaq başlanğıcda v-nin ucundan u-nun ucuna.

Hərflərlə: ortaq başlanğıcı T olan iki vektor üçün

TM − TN = NM

Fərq çıxılanın sonundan (N) azalanın sonuna (M) gedir. Yoxla: TN + NM = TM.

6 · Qayda

Toplamanın xassələri

Dərslikdə: «İstənilən u, v və z vektorları üçün toplamanın aşağıdakı xassələri doğrudur»:

Yerdəyişmə xassəsi

u + v = v + u

Atın iki L yolu eyni xanaya çatır.

Qruplaşdırma xassəsi

(u + v) + z = u + (v + z)

Zəncir eyni oxlardan ibarətdir; mötərizə yalnız hansı iki oxu əvvəl birləşdirdiyimizi göstərir.

İdentiklik xassəsi

u + 0 = u

Yerində qalmaq yerdəyişməni dəyişmir.

Əks vektorların cəmi

u + (−u) = 0

Gedib geri qayıtmaq.

NümunəXassələrlə sadələşdir

x + (y − x) ifadəsini sadələşdirin və hər addımda hansı qaydadan istifadə etdiyinizi deyin.

1. Çıxmanı əksin toplanması ilə əvəz edirik: = x + (y + (−x))
2. Mötərizənin içində yerdəyişmə xassəsi: = x + ((−x) + y)
3. Qruplaşdırma xassəsi: = (x + (−x)) + y
4. Əks vektorların cəmi: = 0 + y
5. Yerdəyişmə və identiklik: 0 + y = y + 0 = y. x + (y − x) = y

Şəkildə: x və y ortaq başlanğıcdan çəkilsə, y − x x-in ucundan y-in ucuna gedir. x-ə ucu-uca qoşanda y-in ucuna çatırıq.

7 · Laboratoriya

Ucu-uca qurucu

Torda üç vektor var: a (mavi), b (narıncı) və c (tünd). Hər biri üçün seç: zəncirə olduğu kimi (+), əksi ilə (−) daxil olsun, ya da heç daxil olmasın. Laboratoriya seçilən vektorları O nöqtəsindən başlayaraq ucu-uca düzür və nəticəni — lime r oxunu — çəkir.

Ucu-uca qurucutor: 14 × 14

Vektor a

+a −a yox

Vektor b

+b −b yox

Vektor c

+c −c yox

Sıra

a, b, c c, b, a

Ucu-uca qurucu

• zəncirdəki vektor
• əksi götürülən vektorun özü
• nəticə r

İfadə

a + b + c

Ucu-uca

a → b → c, hər biri əvvəlkinin ucundan.

Nəticə

zəncir qapandı: son nöqtə O ilə üst-üstə düşür, r = 0. «c, b, a» sırası ilə də eyni r alınır.

İfadə

c + b + a

Ucu-uca

c → b → a, hər biri əvvəlkinin ucundan.

Nəticə

zəncir qapandı: son nöqtə O ilə üst-üstə düşür, r = 0. «a, b, c» sırası ilə də eyni r alınır.

İfadə

a + b − c

Ucu-uca

a → b → −c, hər biri əvvəlkinin ucundan. −c — c-nin əksidir (punktir — c-nin özü). Yəni a + b − c = a + b + (−c).

Nəticə

r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «c, b, a» sırası ilə də eyni r alınır.

İfadə

−c + b + a

Ucu-uca

−c → b → a, hər biri əvvəlkinin ucundan. −c — c-nin əksidir (punktir — c-nin özü). Yəni −c + b + a = −c + b + a.

Nəticə

r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «a, b, c» sırası ilə də eyni r alınır.

İfadə

a + b

Ucu-uca

a → b, hər biri əvvəlkinin ucundan.

Nəticə

r = −c: c-yə əks vektordur. «c, b, a» sırası ilə də eyni r alınır.

İfadə

b + a

Ucu-uca

b → a, hər biri əvvəlkinin ucundan.

Nəticə

r = −c: c-yə əks vektordur. «a, b, c» sırası ilə də eyni r alınır.

İfadə

a − b + c

Ucu-uca

a → −b → c, hər biri əvvəlkinin ucundan. −b — b-nin əksidir (punktir — b-nin özü). Yəni a − b + c = a + (−b) + c.

Nəticə

r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «c, b, a» sırası ilə də eyni r alınır.

İfadə

c − b + a

Ucu-uca

c → −b → a, hər biri əvvəlkinin ucundan. −b — b-nin əksidir (punktir — b-nin özü). Yəni c − b + a = c + (−b) + a.

Nəticə

r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «a, b, c» sırası ilə də eyni r alınır.

İfadə

a − b − c

Ucu-uca

a → −b → −c, hər biri əvvəlkinin ucundan. −b — b-nin əksidir (punktir — b-nin özü). −c — c-nin əksidir (punktir — c-nin özü). Yəni a − b − c = a + (−b) + (−c).

Nəticə

r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «c, b, a» sırası ilə də eyni r alınır.

İfadə

−c − b + a

Ucu-uca

−c → −b → a, hər biri əvvəlkinin ucundan. −c — c-nin əksidir (punktir — c-nin özü). −b — b-nin əksidir (punktir — b-nin özü). Yəni −c − b + a = −c + (−b) + a.

Nəticə

r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «a, b, c» sırası ilə də eyni r alınır.

İfadə

a − b

Ucu-uca

a → −b, hər biri əvvəlkinin ucundan. −b — b-nin əksidir (punktir — b-nin özü). Yəni a − b = a + (−b).

Nəticə

r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «c, b, a» sırası ilə də eyni r alınır.

İfadə

−b + a

Ucu-uca

−b → a, hər biri əvvəlkinin ucundan. −b — b-nin əksidir (punktir — b-nin özü). Yəni −b + a = −b + a.

Nəticə

r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «a, b, c» sırası ilə də eyni r alınır.

İfadə

a + c

Ucu-uca

a → c, hər biri əvvəlkinin ucundan.

Nəticə

r = −b: b-yə əks vektordur. «c, b, a» sırası ilə də eyni r alınır.

İfadə

c + a

Ucu-uca

c → a, hər biri əvvəlkinin ucundan.

Nəticə

r = −b: b-yə əks vektordur. «a, b, c» sırası ilə də eyni r alınır.

İfadə

a − c

Ucu-uca

a → −c, hər biri əvvəlkinin ucundan. −c — c-nin əksidir (punktir — c-nin özü). Yəni a − c = a + (−c).

Nəticə

r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «c, b, a» sırası ilə də eyni r alınır.

İfadə

−c + a

Ucu-uca

−c → a, hər biri əvvəlkinin ucundan. −c — c-nin əksidir (punktir — c-nin özü). Yəni −c + a = −c + a.

Nəticə

r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «a, b, c» sırası ilə də eyni r alınır.

İfadə

a

Ucu-uca

a, hər biri əvvəlkinin ucundan.

Nəticə

r = a.

İfadə

a

Ucu-uca

a, hər biri əvvəlkinin ucundan.

Nəticə

r = a.

İfadə

−a + b + c

Ucu-uca

−a → b → c, hər biri əvvəlkinin ucundan. −a — a-nin əksidir (punktir — a-nin özü). Yəni −a + b + c = −a + b + c.

Nəticə

r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «c, b, a» sırası ilə də eyni r alınır.

İfadə

c + b − a

Ucu-uca

c → b → −a, hər biri əvvəlkinin ucundan. −a — a-nin əksidir (punktir — a-nin özü). Yəni c + b − a = c + b + (−a).

Nəticə

r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «a, b, c» sırası ilə də eyni r alınır.

İfadə

−a + b − c

Ucu-uca

−a → b → −c, hər biri əvvəlkinin ucundan. −a — a-nin əksidir (punktir — a-nin özü). −c — c-nin əksidir (punktir — c-nin özü). Yəni −a + b − c = −a + b + (−c).

Nəticə

r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «c, b, a» sırası ilə də eyni r alınır.

İfadə

−c + b − a

Ucu-uca

−c → b → −a, hər biri əvvəlkinin ucundan. −c — c-nin əksidir (punktir — c-nin özü). −a — a-nin əksidir (punktir — a-nin özü). Yəni −c + b − a = −c + b + (−a).

Nəticə

r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «a, b, c» sırası ilə də eyni r alınır.

İfadə

−a + b

Ucu-uca

−a → b, hər biri əvvəlkinin ucundan. −a — a-nin əksidir (punktir — a-nin özü). Yəni −a + b = −a + b.

Nəticə

r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «c, b, a» sırası ilə də eyni r alınır.

İfadə

b − a

Ucu-uca

b → −a, hər biri əvvəlkinin ucundan. −a — a-nin əksidir (punktir — a-nin özü). Yəni b − a = b + (−a).

Nəticə

r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «a, b, c» sırası ilə də eyni r alınır.

İfadə

−a − b + c

Ucu-uca

−a → −b → c, hər biri əvvəlkinin ucundan. −a — a-nin əksidir (punktir — a-nin özü). −b — b-nin əksidir (punktir — b-nin özü). Yəni −a − b + c = −a + (−b) + c.

Nəticə

r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «c, b, a» sırası ilə də eyni r alınır.

İfadə

c − b − a

Ucu-uca

c → −b → −a, hər biri əvvəlkinin ucundan. −b — b-nin əksidir (punktir — b-nin özü). −a — a-nin əksidir (punktir — a-nin özü). Yəni c − b − a = c + (−b) + (−a).

Nəticə

r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «a, b, c» sırası ilə də eyni r alınır.

İfadə

−a − b − c

Ucu-uca

−a → −b → −c, hər biri əvvəlkinin ucundan. −a — a-nin əksidir (punktir — a-nin özü). −b — b-nin əksidir (punktir — b-nin özü). −c — c-nin əksidir (punktir — c-nin özü). Yəni −a − b − c = −a + (−b) + (−c).

Nəticə

zəncir qapandı: son nöqtə O ilə üst-üstə düşür, r = 0. «c, b, a» sırası ilə də eyni r alınır.

İfadə

−c − b − a

Ucu-uca

−c → −b → −a, hər biri əvvəlkinin ucundan. −c — c-nin əksidir (punktir — c-nin özü). −b — b-nin əksidir (punktir — b-nin özü). −a — a-nin əksidir (punktir — a-nin özü). Yəni −c − b − a = −c + (−b) + (−a).

Nəticə

zəncir qapandı: son nöqtə O ilə üst-üstə düşür, r = 0. «a, b, c» sırası ilə də eyni r alınır.

İfadə

−a − b

Ucu-uca

−a → −b, hər biri əvvəlkinin ucundan. −a — a-nin əksidir (punktir — a-nin özü). −b — b-nin əksidir (punktir — b-nin özü). Yəni −a − b = −a + (−b).

Nəticə

r = c. «c, b, a» sırası ilə də eyni r alınır.

İfadə

−b − a

Ucu-uca

−b → −a, hər biri əvvəlkinin ucundan. −b — b-nin əksidir (punktir — b-nin özü). −a — a-nin əksidir (punktir — a-nin özü). Yəni −b − a = −b + (−a).

Nəticə

r = c. «a, b, c» sırası ilə də eyni r alınır.

İfadə

−a + c

Ucu-uca

−a → c, hər biri əvvəlkinin ucundan. −a — a-nin əksidir (punktir — a-nin özü). Yəni −a + c = −a + c.

Nəticə

r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «c, b, a» sırası ilə də eyni r alınır.

İfadə

c − a

Ucu-uca

c → −a, hər biri əvvəlkinin ucundan. −a — a-nin əksidir (punktir — a-nin özü). Yəni c − a = c + (−a).

Nəticə

r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «a, b, c» sırası ilə də eyni r alınır.

İfadə

−a − c

Ucu-uca

−a → −c, hər biri əvvəlkinin ucundan. −a — a-nin əksidir (punktir — a-nin özü). −c — c-nin əksidir (punktir — c-nin özü). Yəni −a − c = −a + (−c).

Nəticə

r = b. «c, b, a» sırası ilə də eyni r alınır.

İfadə

−c − a

Ucu-uca

−c → −a, hər biri əvvəlkinin ucundan. −c — c-nin əksidir (punktir — c-nin özü). −a — a-nin əksidir (punktir — a-nin özü). Yəni −c − a = −c + (−a).

Nəticə

r = b. «a, b, c» sırası ilə də eyni r alınır.

İfadə

−a

Ucu-uca

−a, hər biri əvvəlkinin ucundan. −a — a-nin əksidir (punktir — a-nin özü). Yəni −a = −a.

Nəticə

r = −a: a-yə əks vektordur.

İfadə

−a

Ucu-uca

−a, hər biri əvvəlkinin ucundan. −a — a-nin əksidir (punktir — a-nin özü). Yəni −a = −a.

Nəticə

r = −a: a-yə əks vektordur.

İfadə

b + c

Ucu-uca

b → c, hər biri əvvəlkinin ucundan.

Nəticə

r = −a: a-yə əks vektordur. «c, b, a» sırası ilə də eyni r alınır.

İfadə

c + b

Ucu-uca

c → b, hər biri əvvəlkinin ucundan.

Nəticə

r = −a: a-yə əks vektordur. «a, b, c» sırası ilə də eyni r alınır.

İfadə

b − c

Ucu-uca

b → −c, hər biri əvvəlkinin ucundan. −c — c-nin əksidir (punktir — c-nin özü). Yəni b − c = b + (−c).

Nəticə

r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «c, b, a» sırası ilə də eyni r alınır.

İfadə

−c + b

Ucu-uca

−c → b, hər biri əvvəlkinin ucundan. −c — c-nin əksidir (punktir — c-nin özü). Yəni −c + b = −c + b.

Nəticə

r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «a, b, c» sırası ilə də eyni r alınır.

İfadə

b

Ucu-uca

b, hər biri əvvəlkinin ucundan.

Nəticə

r = b.

İfadə

b

Ucu-uca

b, hər biri əvvəlkinin ucundan.

Nəticə

r = b.

İfadə

−b + c

Ucu-uca

−b → c, hər biri əvvəlkinin ucundan. −b — b-nin əksidir (punktir — b-nin özü). Yəni −b + c = −b + c.

Nəticə

r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «c, b, a» sırası ilə də eyni r alınır.

İfadə

c − b

Ucu-uca

c → −b, hər biri əvvəlkinin ucundan. −b — b-nin əksidir (punktir — b-nin özü). Yəni c − b = c + (−b).

Nəticə

r — O-dan zəncirin sonuna gedən lime ox. «a, b, c» sırası ilə də eyni r alınır.

İfadə

−b − c

Ucu-uca

−b → −c, hər biri əvvəlkinin ucundan. −b — b-nin əksidir (punktir — b-nin özü). −c — c-nin əksidir (punktir — c-nin özü). Yəni −b − c = −b + (−c).

Nəticə

r = a. «c, b, a» sırası ilə də eyni r alınır.

İfadə

−c − b

Ucu-uca

−c → −b, hər biri əvvəlkinin ucundan. −c — c-nin əksidir (punktir — c-nin özü). −b — b-nin əksidir (punktir — b-nin özü). Yəni −c − b = −c + (−b).

Nəticə

r = a. «a, b, c» sırası ilə də eyni r alınır.

İfadə

−b

Ucu-uca

−b, hər biri əvvəlkinin ucundan. −b — b-nin əksidir (punktir — b-nin özü). Yəni −b = −b.

Nəticə

r = −b: b-yə əks vektordur.

İfadə

−b

Ucu-uca

−b, hər biri əvvəlkinin ucundan. −b — b-nin əksidir (punktir — b-nin özü). Yəni −b = −b.

Nəticə

r = −b: b-yə əks vektordur.

İfadə

c

Ucu-uca

c, hər biri əvvəlkinin ucundan.

Nəticə

r = c.

İfadə

c

Ucu-uca

c, hər biri əvvəlkinin ucundan.

Nəticə

r = c.

İfadə

−c

Ucu-uca

−c, hər biri əvvəlkinin ucundan. −c — c-nin əksidir (punktir — c-nin özü). Yəni −c = −c.

Nəticə

r = −c: c-yə əks vektordur.

İfadə

−c

Ucu-uca

−c, hər biri əvvəlkinin ucundan. −c — c-nin əksidir (punktir — c-nin özü). Yəni −c = −c.

Nəticə

r = −c: c-yə əks vektordur.

İfadə

0

Ucu-uca

Heç bir vektor seçilməyib: O nöqtəsindən tərpənmirik.

Nəticə

r = 0 — yerdəyişmə yoxdur.

İfadə

0

Ucu-uca

Heç bir vektor seçilməyib: O nöqtəsindən tərpənmirik.

Nəticə

r = 0 — yerdəyişmə yoxdur.

Laboratoriyada yoxla:

1. a və b-ni «+», c-ni «yox» seç. Sonra sıranı «c, b, a» et. Lime ox dəyişdimi? Nə gördün? Dəyişmir: zəncir başqa yolla gedir (b əvvəl), amma b + a = a + b — yerdəyişmə xassəsi. Oxunuşa bax: bu ox −c-yə bərabərdir.
2. Hər üç vektoru «+» seç. Nə alınır? Nə gördün? Zəncir qapanır: son nöqtə O-ya qayıdır. a + b + c = 0 — üç vektor üçbucaq təşkil edir.
3. a «+», b «−», c «yox». Punktir ox nədir? Nə gördün? Punktir — b-nin özüdür; zəncirdə onun əksi, −b, işlənir. Lime ox a − b = a + (−b) fərqidir. a və b O nöqtəsindən çəkilsəydi, bu ox b-nin ucundan a-nın ucuna gedərdi.

8 · Hesabla

Hərflərlə zəncirlər

Hərflərlə verilmiş cəmlərdə şəkil çəkmək həmişə lazım deyil. Vektorları elə düzürük ki, qonşu hərflər görüşsün, çıxmanı isə əksin toplanması ilə əvəz edirik: XY-in əksi YX-dir.

Nümunə 1Zənciri düz

Sadələşdirin: SV + LD + DS.

1. Yerdəyişmə xassəsi ilə toplananların yerini dəyişirik ki, hərflər görüşsün: LD + DS + SV.
2. D və S görüşür: LD + DS = LS, sonra LS + SV = LV. LV

Nümunə 2Çıxma ilə

Sadələşdirin: MP − MK + PD.

1. MP − MK: ortaq başlanğıc M-dir, fərq çıxılanın sonundan (K) azalanın sonuna (P) gedir: KP.
2. Başqa yolla da yoxlayaq: −MK = KM, onda KM + MP = KP — eyni cavab.
3. KP + PD = KD. KD

Nümunə 3Şəkildə bərabər vektorlar

DEF üçbucağında M nöqtəsi EF tərəfinin ortasıdır. DE + MF cəmini bir vektorla yazın.

DEF üçbucağı, M — EF-in ortası

1. EM və MF eyni düz xətt üzərindədir, istiqamətləri eynidir, uzunluqları bərabərdir (M — orta nöqtə): MF = EM.
2. Üçbucaq qaydası: DE + EM = DM. DM — üçbucağın medianıdır. DM

Nümunə 4Verilən vektorlarla ifadə et

GHK üçbucağında GH = s, GK = t. HK-nı s və t ilə ifadə edin.

1. H-dan K-ya G nöqtəsindən keçərək getmək olar: HK = HG + GK.
2. HG vektoru GH-ın əksidir: HG = −s.
3. HK = −s + t = t − s. Bu, çıxma qaydasının özüdür: GK − GH = HK. HK = t − s

9 · Diqqət

Oxun istiqamətinə bax

Səhv

LM + MS = SL

Cəmin istiqaməti tərsinə yazılıb.

Düz

LM + MS = LS

Cəm birincinin başlanğıcından (L) sonuncunun sonuna (S) gedir.

Səhv

TM − TN = MN

Fərq azalanın sonundan başladılıb.

Düz

TM − TN = NM

Çıxılanın sonundan azalanın sonuna: TN + NM = TM.

Səhv

u + (−u) = 0

Vektorların cəmi ədəd deyil.

Düz

u + (−u) = 0

Cəm sıfır vektordur; 0 ədədi onun uzunluğudur: |0| = 0.

Səhv

u − v = v − u

Çıxmada yerdəyişmə xassəsi yoxdur.

Düz

v − u = −(u − v)

İki fərq əks vektorlardır: eyni parça, əks istiqamət.

«|LM + MS| = LM + MS» yazmaq olmaz. Cəmin uzunluğu uzunluqların cəmi deyil: LMS üçbucağında LS tərəfi LM + MS-dən qısadır — atın sıçrayışı L yolundan qısa olduğu kimi. Bərabərlik yalnız M nöqtəsi LS parçasının üzərində olanda doğrudur; bu halı növbəti mövzuda, kollinear vektorlarda öyrənəcəksən.

10 · Həyatda

Robot-tozsoran geri yolu necə tapır?

Robot-tozsoran otaqda hərəkət edəndə hər düz hissədə hansı istiqamətdə və nə qədər yer dəyişdiyini təkərlərinin dönməsindən təxmin edir. Sadələşdirilmiş modeldə robot bazadan çıxıb ardıcıl d, e və f yerdəyişmələrini edir.

Robot-tozsoranın yerdəyişmələri və geri yolu

Rəngli oxlar robotun yoludur, lime punktir ox — bazaya birbaşa qayıdış.

Robotun bazaya nəzərən yeri — üç yerdəyişmənin ucu-uca cəmidir: d + e + f. Bazaya qayıtmaq üçün bütün yolu təkrarlamaq lazım deyil: geri yerdəyişmə bu cəmin əksidir:

−(d + e + f)

Yoxla: gediş ilə qayıdışın cəmi 0-dır — robot yenə bazadadır.

Şərti modeldir: real robotlar sensorlardan və otağın xəritəsindən də istifadə edir; yerdəyişmələri toplamaq ideyası isə eynidir.

11 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan Hansı cəm DZ vektoruna bərabərdir? Cavab variantları DL + ZL DL + LZ LD + LZ ZL + LD Düzdür! L hərfləri görüşür: D-dən L-ə, L-dən Z-yə. Yox. Birinci vektorun sonu ikincinin başlanğıcı olmalıdır, cəm isə D-dən Z-yə getməlidir. Həllə bax DL + LZ = DZ — üçbucaq qaydası. ZL + LD = ZD isə DZ-yə əks vektordur; qalan iki cəmdə hərflər görüşmür.
2. Asan u − v hansı ifadəyə bərabərdir? Cavab variantları u + (−v) v − u u + v −u − v Əla! Çıxmaq — əks vektoru toplamaqdır. Yox. Qaydanı xatırla: u-nun üzərinə v-yə əks olan vektoru əlavə edirik. Həllə bax u − v = u + (−v). v − u isə bu fərqə əks vektordur.
3. Orta HK − HE fərqi hansı vektordur? Cavab variantları KE EH EK 0 Düzdür: çıxılanın sonundan (E) azalanın sonuna (K). Ortaq başlanğıc H-dır. Fərq çıxılanın sonundan azalanın sonuna gedir. Həllə bax −HE = EH, onda HK − HE = EH + HK = EK. Yoxla: HE + EK = HK.
4. Orta MNPS paraleloqramdır. MN + MS cəmi hansı vektordur? Cavab variantları NS MP SN PM Əla! Ortaq başlanğıcdan (M) çıxan diaqonal. Paraleloqram qaydası: cəm vektorların ortaq başlanğıcından çıxan diaqonaldır. Həllə bax Qarşı tərəflər bərabər vektorlardır: MS = NP. Onda MN + MS = MN + NP = MP. NS — o biri diaqonaldır, o, MS − MN fərqinə bərabərdir.
5. Çətin VL + KV − KL ifadəsini sadələşdirin. Cavab variantları KL LK 0 ədədi 0 vektoru Düzdür! KV + VL = KL, KL − KL = 0. Əvvəl hərfləri görüşdür: KV + VL. Vektorlardan vektor alınır, ədəd yox. Həllə bax Yerdəyişmə: KV + VL − KL. Üçbucaq qaydası: KV + VL = KL. KL − KL = KL + LK = KK = 0.
6. Çətin DEF üçbucağında DE = p, EF = q. FD vektoru hansıdır? Cavab variantları −p − q p + q p − q q − p Əla! Zəncir qapanır: p + q + FD = 0. p + q = DF. FD isə ona əksdir. Həllə bax DE + EF = DF = p + q. FD vektoru DF-in əksidir: FD = −p − q, çünki (p + q) + (−p) + (−q) = 0.

Xülasə

Yadda qalanlar

• AB + BC = ACUcu-uca: ilk başlanğıcdan sonuncu vektorun sonuna. Paraleloqramda cəm ortaq başlanğıcdan çıxan diaqonaldır.
• u − v = u + (−v)Ortaq başlanğıcda fərq çıxılanın sonundan azalanın sonuna gedir; u + (−u) = 0.
• u + v = v + uYerdəyişmə və qruplaşdırma ilə zənciri elə düz ki, qonşu hərflər görüşsün.

Növbəti mövzu: 4.56 Kollinear vektorların toplanması

Mənbə: «Riyaziyyat» — 9-cu sinif üçün dərslik, «8-3. Vektorların toplanması və çıxılması», səh. 171–176 (sitatlar: toplamanın təsviri, çıxma qaydası, çoxbucaqlı qaydası, paraleloqram qaydası, toplamanın xassələri) və «8-1. Vektorlar», səh. 162 (sıfır vektor). Dərslikdə səh. 172-də «|r→| = 0→» kimi çap olunmuş sətrin mənası burada düzgün yazılıb: r = 0, |r| = 0. Hərflər, şəkillər, laboratoriya vektorları və yoxlama sualları bu dərs üçün seçilib; at gedişi və robot-tozsoran şərti nümunələrdir.