Vektorun ədədə vurulması

• 4.59
• 9-cu sinif
• Vektorlar

Vektorun ədədə vurulması

Videoda velosipedçi saniyədə 5 metr sağa gedir. Videonu 2× sürətlə, 0,5× sürətlə oynatsan, pauza versən və ya geri çəksən, ekranda onun sürəti necə dəyişər? Hər düymə sürət vektorunu bir ədədə vurur: 2v, 0,5v, 0 və −v.

Bu dərsdə

• k·a vektorunun uzunluğunu və istiqamətini tapacaq, onu çəkəcək və k = 0 olanda niyə sıfır vektor alındığını izah edəcəksən;
• kollinear vektorları biri digərinin ədədə hasili kimi yazacaq, k ədədini uzunluqlar və istiqamətlə tapacaqsan;
• qanunlarla ifadələri sadələşdirəcək, fiqurda vektorları iki vektorla ifadə edəcəksən.

Oynatma sürəti velosipedçinin sürət vektorunu ədədə vurur

Başla Yenidən Yenidən

1. Kəşf et
2. Qayda
3. Laboratoriya
4. Kollinear vektorlar
5. Qanunlar
6. Hesabla
7. Diqqət
8. Həyatda
9. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Düymə ədədə vurur

Yadına sal: vektorun uzunluğu (modulu) və istiqaməti var. Velosipedçinin sürəti v vektorudur: |v| = 5 m/san, istiqaməti sağa. Oynatma sürətini dəyişəndə o, ekranda yenə eyni düz xətt boyunca hərəkət edir — dəyişən yalnız sürətin modulu və bəzən istiqamətidir.

Oynatma sürəti və ekrandakı sürət vektoru

Cədvəldə iki qayda görünür. Modul həmişə k-nın işarəsiz qiymətinə, yəni |k|-ya vurulur: −2× düyməsi də sürəti 10 m/san edir, −10 yox — uzunluq mənfi olmur. İstiqaməti isə işarə həll edir: müsbət k velosipedçini sağda saxlayır, mənfi k onu sola çevirir. Pauza (k = 0) hərəkəti tamam silir: sürət sıfır vektordur, 0.

2 · Qayda

Vektorun ədədə hasili

Yadda saxla

«u vektorunun k ədədinə (k ∈ R) hasili k·u kimi işarə edilir və bu vektorun uzunluğu |k|·|u|-ya bərabərdir. k > 0 olarsa, ku vektoru u vektoru ilə eyni istiqamətli olur. k < 0 olarsa, ku vektoru u vektoru ilə əks istiqamətli olur.»

|k·a| = |k| · |a|

Dərslik, «8-4. Vektorun ədədə vurulması».

a vektoru və onun 3, −1,5 və 0 ədədlərinə hasili

a 2 xanadır. 3a — 6 xana, eyni istiqamətdə; −1,5a — 3 xana, əks istiqamətdə; 0·a — heç bir ox yox, yalnız nöqtə.

k = 0 olanda nə olur? Dərslik bunu ayrıca demir, amma uzunluq düsturu cavab verir: |0·a| = 0 · |a| = 0. Uzunluğu sıfır olan vektor sıfır vektordur, deməli 0·a = 0. Nəticə ədəd 0 deyil, vektordur — ona görə üstündə ox var. Eyni səbəbdən istənilən k üçün k·0 = 0.

k = 1

1·a = a

Uzunluq 1 dəfə, istiqamət eyni: vektorun özü.

k = −1

(−1)·a = −a

Eyni uzunluq, əks istiqamət: a-nın əks vektoru (4.55).

Ədədi vektorun qarşısında yazırıq: 3a, −1,5a, 12 / a. Ədəd 1-dən böyükdürsə ox uzanır, 0 ilə 1 arasındadırsa qısalır; mənfi işarə onu əlavə olaraq çevirir.

3 · Laboratoriya

k-nı dəyiş, oxa bax

Dəftərin xanası 0,5 sm-dir. a vektoru O nöqtəsindən 4 xana sağa və 3 xana yuxarı gedir; Pifaqor teoremi ilə onun uzunluğu √(4² + 3²) = 5 xana, yəni |a| = 2,5 sm. k-nı seç: yaşıl ox k > 0, narıncı ox k < 0 olanda k·a vektorudur. Kiçik çərtiklər oxu a uzunluğunda hissələrə bölür.

k ədədini seç

−2 −1 −12 / 0 12 / 1 2 3

a vektoru və seçilmiş k üçün k·a vektoru

k = −2: −2a vektoru a-ya əks istiqamətlidir. Uzunluğu 2 · 2,5 = 5 sm (10 xana): 8 xana sola, 6 xana aşağı.

k = −1: −a — a-nın əks vektoru. Uzunluğu eynidir, 1 · 2,5 = 2,5 sm, istiqaməti əksdir.

k = −12 / : −12 / a həm qısalır, həm çevrilir: uzunluğu 12 / · 2,5 = 1,25 sm (2,5 xana), istiqaməti əksdir.

k = 0: 0·a = 0 — sıfır vektor: uzunluq 0 · 2,5 = 0, ox yox olur, yalnız O nöqtəsi qalır.

k = 12 / : 12 / a vektoru a-nın yarısıdır: 2 xana sağa, 1,5 xana yuxarı, uzunluğu 1,25 sm, eyni istiqamətli.

k = 1: 1·a = a — yaşıl ox mavi oxun tam üstünə düşür. Uzunluq 2,5 sm.

k = 2: 2a eyni istiqamətlidir, iki dəfə uzundur: 2 · 2,5 = 5 sm (10 xana), 8 xana sağa, 6 xana yuxarı. Çərtik ortadadır.

k = 3: 3a üç a-nın ucu-uca düzülüşüdür: a + a + a = 3a, uzunluğu 3 · 2,5 = 7,5 sm. İki çərtik onu üç bərabər hissəyə bölür.

Mavi ox həmişə a-dır; seçilmiş k·a O nöqtəsindən çəkilir.

Laboratoriyada yoxla.

• k = 2 və k = −2 seç. Bu iki vektorun nəyi eynidir, nəyi fərqlidir?
• k = 12 / seçəndə ox neçə xana sağa və neçə xana yuxarı gedir? Bu saylar a-nın saylarından necə alınır?
• k-nı 3-dən 0-a qədər azalt. Ox necə dəyişir və hansı k-da yox olur?

Cavablara bax

2a ilə −2a-nın uzunluğu eynidir (5 sm), istiqamətləri əksdir — onlar bir-birinin əks vektorlarıdır. 12 / a 2 xana sağa və 1,5 xana yuxarı gedir: a-nın hər iki sayı yarıya bölünür. k azaldıqca ox öz düz xətti üzərində qısalır və k = 0 olanda nöqtəyə çevrilir; mənfi k-da yenidən uzanır, amma əks tərəfə.

4 · Kollinear vektorlar

Biri digərinin ədədə hasilidir

Laboratoriyada bütün oxlar bir düz xətt üzərində qaldı. Bu təsadüf deyil: vektoru ədədə vurmaq onu öz düz xəttindən çıxarmır.

Yadda saxla

«Verilən vektorla onun (sıfırdan fərqli) ədədə hasilini ifadə edən vektor kollineardır. u ≠ 0 və v vektorları kollineardırsa, onda elə yeganə k ədədi var ki, v = k·u olur.»

Dərslik, «8-4».

k-nı tapmaq üçün iki sual ver: neçə dəfə uzundur? — |k| = |v| : |u|; istiqamət eynidir, yoxsa əks? — eynidirsə k > 0, əksdirsə k < 0. Məsələn, |u| = 4, |v| = 14 və onlar əks istiqamətlidirsə, |k| = 14 : 4 = 3,5 və v = −3,5u.

Hansı vektorlar u vektorunun ədədə hasilidir?

Xanaları say: u 4 xana sağa, 2 xana aşağı gedir. Hansı vektor u-nun ədədə hasilidir?

• p: 6 xana sağa, 3 xana aşağı. Hər iki say u-nun saylarından 1,5 dəfə böyükdür, istiqamət eynidir: p = 1,5u.
• q: 2 xana sola, 1 xana yuxarı — u-nun yarısı, əks tərəfə: q = −12 / u.
• w: 4 xana sağa, 1 xana aşağı. Sağa sayı u-nunku ilə eynidir (onda k = 1 olardı), aşağı sayı isə 2 dəfə azdır — hər iki saya uyğun gələn bir k yoxdur. w vektoru u-nun ədədə hasili deyil, onlar kollinear deyil.

Niyə u ≠ 0 şərti var? Sıfır vektorun istənilən ədədə hasili yenə 0-dır, ona görə sıfırdan fərqli heç bir vektoru k·0 şəklində almaq olmaz.

5 · Qanunlar

Ədədlərlə olduğu kimi

Vektorun ədədə vurulmasının xassələri

1. Qruplaşdırma qanunu. k və n istənilən ədəddir:

(kn)·u = k(n·u)

2. Paylama qanunu. k və n istənilən ədəddir:

(k + n)u = ku + nuk(u + v) = ku + kv

Dərslik, «8-4». Dərslik ikinci bərabərliyi (u + v)k şəklində yazır; ədədi önə yazmaq daha adətdir.

Qruplaşdırma — videoda. Videonu əvvəl 0,5× sürətlə yazıb, sonra bu yavaş videonu 2× sürətlə oynatsan, ekranda sürət 2·(0,5v) olur. Qanun deyir ki, bu (2 · 0,5)v = 1·v = v deməkdir — velosipedçi yenə əsl sürəti ilə gedir.

Ədədlərin cəmi. 2a + 3a = 5a: eyni istiqamətli iki oxu ucu-uca qoysaq (4.56), uzunluqlar toplanır — 2 və 3 dəfə uzun oxlar 5 dəfə uzun ox verir.

Paraleloqramı 2 dəfə böyütmək: 2(a + b) = 2a + 2b

Başla Yenidən Yenidən

Paraleloqramı 2 dəfə böyüdəndə diaqonal da 2 dəfə uzanır və öz düz xəttində qalır.

Vektorların cəmi. a və b paraleloqram qurur, diaqonalı a + b-dir. Hər iki tərəfi 2 dəfə uzatsaq, oxşar, 2 dəfə böyük paraleloqram alınır: tərəfləri 2a və 2b, diaqonalı 2a + 2b. Bu diaqonal kiçik diaqonalın davamıdır və ondan 2 dəfə uzundur, yəni 2(a + b)-dir:

2(a + b) = 2a + 2b

Çıxma da belədir: a − b = a + (−1)b, ona görə k(a − b) = ka − kb. Deməli, vektor ifadələrində mötərizələri ədədlərdəki kimi açır və oxşar hədləri birləşdiririk.

6 · Hesabla

Fiqurda vektoru ifadə et

Əksər məsələlərdə iki vektor verilir (məsələn, a və b) və fiqurdakı başqa bir vektoru onlarla yazmaq lazımdır. Plan həmişə eynidir: üçbucaq qaydası ilə yolu verilən vektorlar üzərindən sal, parçanın hissəsini isə ədədə vurma ilə yaz.

Nümunə 1Mötərizələri aç

İfadəni sadələşdirin: 5(a − b) − 2(2a − 3b).

1. Paylama qanunu ilə mötərizələri açırıq: 5a − 5b − 4a + 6b. Diqqət: (−2)·(−3b) = 6b.
2. Oxşar hədləri qruplaşdırırıq: (5 − 4)a + (−5 + 6)b. a + b

Nümunə 2Parçanı nisbətdə bölən nöqtə

T nöqtəsi PQ parçası üzərindədir və PT : TQ = 2 : 3. PT və QT vektorlarını PQ ilə ifadə edin.

PQ parçası 5 bərabər hissədə, PT : TQ = 2 : 3

1. Parça 2 + 3 = 5 bərabər hissəyə bölünür: PT — 2 hissə, TQ — 3 hissə. Deməli, PT = 25 / PQ, TQ = 35 / PQ.
2. PT vektoru PQ ilə eyni istiqamətlidir: PT = 25 / PQ.
3. QT vektoru Q-dan P-yə tərəf, PQ-nin əksinə gedir: QT = −35 / PQ. Yoxlama: PT + TQ = 25 / PQ + 35 / PQ = PQ. PT = 25 / PQ, QT = −35 / PQ

Nümunə 3İki vektorla ifadə et

OAB üçbucağında OA = a, OB = b. M nöqtəsi AB tərəfi üzərindədir və AM : MB = 1 : 2. OM vektorunu a və b ilə ifadə edin.

OAB üçbucağı, M nöqtəsi AB-ni 1 : 2 nisbətində bölür

1. Üçbucaq qaydası: OM = OA + AM.
2. AB = OB − OA = b − a. AM tərəfin 13 / -idir və istiqaməti eynidir: AM = 13 / (b − a).
3. Toplayırıq və mötərizəni açırıq: OM = a + 13 / b − 13 / a. OM = 23 / a + 13 / b

Nümunə 4Orta nöqtələr və orta xətt

ABC üçbucağında M — AB-nin, N — AC-nin ortasıdır. MN vektorunu BC ilə ifadə edin.

ABC üçbucağının orta xətti MN

1. MN = MA + AN (üçbucaq qaydası).
2. M və N ortalardır: MA = 12 / BA, AN = 12 / AC.
3. Paylama qanunu: MN = 12 / (BA + AC) = 12 / BC. MN = 12 / BC

Nəticə tanışdır: MN və BC kollineardır, deməli MN ∥ BC, və MN = 12 / BC — üçbucağın orta xətti haqqında teorem vektorlarla bir sətirdə alınır.

Nümunə 5Paraleloqram diaqonallarla

KLMN paraleloqramında diaqonallar KM = p və LN = q. KL və KN tərəflərini p və q ilə ifadə edin.

KLMN paraleloqramı, diaqonallar p və q

1. Paraleloqram qaydası: p = KL + KN. Üçbucaq qaydası: q = LK + KN = KN − KL.
2. Bərabərlikləri toplayırıq: p + q = 2KN, buradan KN = 12 / (p + q).
3. Birincidən ikincini çıxırıq: p − q = 2KL, buradan KL = 12 / (p − q). KL = 12 / (p − q), KN = 12 / (p + q)

7 · Diqqət

Dörd tipik səhv

Mənfi uzunluq

|−2,5a| = −2,5|a|

Uzunluq mənfi ola bilməz.

Düzgün

|−2,5a| = 2,5|a|

Uzunluğa |k| vurulur; mənfi işarə yalnız istiqaməti çevirir.

Ədəd sıfır

0·a = 0

Vektoru ədədə vurmaq vektor verir, ədəd yox.

Sıfır vektor

0·a = 0

Uzunluğu 0 olan vektor; üstündəki ox onu ədəddən ayırır.

İşarə itdi

−2(p − 3q) = −2p − 6q

−2 ikinci hədd ilə də vurulmalıdır, işarəsi ilə birlikdə.

Düzgün

−2(p − 3q) = −2p + 6q

(−2)·(−3q) = 6q.

Nisbət əmsal sayıldı

PT : TQ = 2 : 3 → PT = 23 / PQ

23 / — iki hissənin nisbətidir, bütöv parçaya nisbət deyil.

Hissə bütövün neçədə biridir

PT = 25 / PQ

Bütöv parça 2 + 3 = 5 hissədir, PT onlardan 2-si.

8 · Həyatda

Ayda astronavt nə qədər «yüngüldür»?

Cismə təsir edən ağırlıq qüvvəsi kütləsi ilə qravitasiya təcilinin hasilidir: P = m·g. Dərslikdə deyildiyi kimi, bu qüvvəyə cismin çəkisi deyilir. Kütlə m müsbət ədəddir, ona görə P həmişə g ilə eyni istiqamətli — aşağı yönəlir; uzunluğu isə m dəfə böyükdür.

80 kq kütləli astronavtın çəkisi Yerdə və Ayda

Hər iki ox aşağıdır; Ayda ox təxminən 6 dəfə qısadır.

Skafandrla birlikdə kütləsi 80 kq olan astronavt. Yerdə qravitasiya təcili 9,8 m/san², Ayda 1,6 m/san²-dir (dərslik).

Yer: |P| = 80 · 9,8 = 784 NAy: |P| = 80 · 1,6 = 128 N

Ayda çəki 784 : 128 ≈ 6 dəfə azdır, kütlə isə dəyişmir — astronavt yenə 80 kq-dır. Vektor dili ilə: eyni ədəd (m = 80) iki fərqli g vektorunu uzadır.

9 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan |a| = 6. −12 / a vektorunun uzunluğu və istiqaməti necədir? Cavab variantları −3, a-ya əks 3, a-ya əks 3, a ilə eyni 12, a-ya əks Düzdür! Uzunluq 12 / · 6 = 3, mənfi işarə istiqaməti çevirir. Yox. Uzunluq mənfi olmur və |k|-ya vurulur; istiqaməti k-nın işarəsi həll edir. Həllə bax |−12 / a| = 12 / · 6 = 3. k = −12 / < 0, ona görə vektor a-ya əks istiqamətlidir.
2. Asan Hansı bərabərlik istənilən a vektoru üçün doğrudur? Cavab variantları 0·a = 0 0·a = 0 (ədəd) (−1)·a = a 1·a = 0 Əla! Uzunluq 0 · |a| = 0 — sıfır vektor. Yox. Vektorun ədədə hasili həmişə vektordur; uzunluq düsturunu yoxla. Həllə bax |0·a| = 0 · |a| = 0, uzunluğu 0 olan vektor 0-dır. (−1)·a = −a (əks vektor), 1·a = a.
3. Orta a və b kollinear və əks istiqamətlidir, |a| = 6, |b| = 15. b = k·a olarsa, k neçədir? Cavab variantları 2,5 −0,4 −2,5 −9 Düzdür: |k| = 15 : 6 = 2,5, əks istiqamət — mənfi. Yox. |k| — uzunluqların nisbətidir (|b| : |a|), işarə istiqamətdən gəlir. Həllə bax |k| = |b| : |a| = 15 : 6 = 2,5. Vektorlar əks istiqamətlidir, ona görə k = −2,5, b = −2,5a.
4. Orta Sadələşdirin: 4(2a − b) − 3(a + 2b). Cavab variantları 5a + 2b 5a − 10b 5a − 7b 11a − 10b Əla! 8a − 4b − 3a − 6b = 5a − 10b. Yox. Hər mötərizədə hər həddi öz işarəsi ilə vur: −3·2b = −6b. Həllə bax 4(2a − b) = 8a − 4b, −3(a + 2b) = −3a − 6b. Cəm: (8 − 3)a + (−4 − 6)b = 5a − 10b.
5. Çətin ABC üçbucağında AB = p, AC = q. K nöqtəsi BC tərəfi üzərindədir və BK : KC = 3 : 1. AK vektorunu tapın. Cavab variantları 34 / p + 14 / q p + 34 / q 34 / p + 34 / q 14 / p + 34 / q Düzdür! K C-yə yaxındır, ona görə q-nun əmsalı böyükdür. Yox. AK = AB + BK yaz və BC = q − p olduğunu unutma. Həllə bax BC = q − p, BK = 34 / BC. AK = p + 34 / (q − p) = 14 / p + 34 / q.
6. Çətin a və b kollinear deyil, AB = 3a − 6b, CD = −a + 2b. Hansı doğrudur? Cavab variantları AB = −3CD AB = 3CD AB = −13 / CD AB və CD kollinear deyil Əla! 3a − 6b = −3(−a + 2b): vektorlar kollinear və əks istiqamətlidir. Yox. 3a − 6b ifadəsindən elə ədəd mötərizə xaricinə çıxar ki, mötərizədə −a + 2b qalsın. Həllə bax Paylama qanunu ilə: −3(−a + 2b) = 3a − 6b. Deməli, AB = −3CD: AB ∥ CD, vektorlar əks istiqamətlidir və AB parçası CD-dən 3 dəfə uzundur.

Xülasə

Yadda qalanlar

• |k·a| = |k|·|a|k > 0 — eyni istiqamət, k < 0 — əks istiqamət, 0·a = 0.
• v = k·uKollinear vektorlar biri digərinin ədədə hasilidir; |k| — uzunluqların nisbəti, işarə — istiqamət.
• k(a + b) = ka + kbQanunlarla mötərizələri açır, üçbucaq qaydası ilə fiqurda vektorları iki vektorla ifadə edirik.

Növbəti mövzu: 4.60 Komponentləri ilə verilmiş vektorlar üzərində əməllər

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 9-cu sinif», «8-4. Vektorun ədədə vurulması», səh. 179–180 (tərif, kollinearlıq, qanunlar, çəki və qravitasiya təcilləri). Dərslik ikinci paylama qanununu (u + v)k kimi yazır; burada k(u + v). Dərsliyin 4 b) tapşırığında sıfır vektor «0» kimi çap olunub — düzgün yazılış 0-dır. Video, velosipedçi və astronavt nümunələri və ədədləri bu dərs üçün seçilib.