f(g(x)) = g(f(x)) tənliyi

1 · Əsas fikir

Sıra dəyişəndə nəticə dəyişir

Əsas fikir

Dərslikdən. x-in qiymətləri g funksiyasının təyin oblastına, g(x)-lər isə f funksiyasının təyin oblastına daxildirsə, hər x ∈ D(g) ədədinə f(g(x)) ədədini qarşı qoyan funksiyaya f və g funksiyalarının mürəkkəb funksiyası (kompozisiyası) deyilir: (f ∘ g)(x) = f(g(x)).

Diqqət. f(g(x)) və g(f(x)) iki müxtəlif mürəkkəb funksiyadır: ümumiyyətlə f(g(x)) ≠ g(f(x)).

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

Tapşırıqf(g(x)) = g(f(x)) tənliyi

f(x) = x² və g(x) = x − 2 funksiyaları verilmişdir. f(g(x)) = g(f(x)) tənliyini həll edin. Cavabı onluq kəsr kimi yazın.

1. f(g(x)) = f(x − 2) = (x − 2)² = x² − 4x + 4.
2. g(f(x)) = g(x²) = x² − 2.
3. Bərabərləşdiririk: x² − 4x + 4 = x² − 2. x² hər iki tərəfdən silinir: −4x + 4 = −2, −4x = −6, x = 1,5.
4. Cavab: 1,5

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

x = 1,5: g(1,5) = −0,5, f(−0,5) = 0,25; f(1,5) = 2,25, g(2,25) = 0,25. Hər iki tərəf 0,25-dir ✓. Başqa nöqtədə, məsələn x = 0: f(g(0)) = 4, g(f(0)) = −2 — bərabər deyil, deməli f(g(x)) və g(f(x)) eyni funksiya deyil.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• −1,5Son addımda işarə səhvi: −4x = −6 bərabərliyindən x = 1,5 alınır, −1,5 deyil.
• 3(x − 2)² açılanda ortadakı hədd −4x əvəzinə −2x yazılıb: x² − 2x + 4 = x² − 2 ⇒ x = 3. Doğrusu: (x − 2)² = x² − 4x + 4.
• istənilən xKompozisiyanın sırasının fərqi olmadığı güman edilib. Halbuki f(g(x)) = (x − 2)², g(f(x)) = x² − 2 — bunlar müxtəlif funksiyalardır, bərabərlik yalnız bir x-də ödənir.
• həlli yoxdur(x − 2)² yanlış olaraq x² − 4 kimi açılıb: onda x² − 4 = x² − 2 ziddiyyətə gətirir. (a − b)² ≠ a² − b².